有限長打ち切りと窓関数

信号処理論入門　第6章 §6.1　★★ スペクトル漏れと窓のトレードオフ

実際の信号は有限長でしか観測できず、しかも DFT は速く計算したい。本章は、有限長で切り出すことの副作用（スペクトル漏れ）を抑える窓関数と、DFT を $O(N\log N)$ で計算する高速 Fourier 変換（FFT）を扱う。

無限に続く信号を長さ $N$ で観測するのは、時間領域で矩形窓 $w[n]$（区間内で $1$）を掛けることに等しい。畳み込み定理より、これは周波数領域で「真のスペクトル」を窓のスペクトルで畳み込むことになる。矩形窓のスペクトルは $\operatorname{sinc}$ 型で、鋭い主ローブの脇に大きなサイドローブをもつ。このサイドローブを通じて、ある周波数のパワーが周囲の周波数へ漏れ出す—これがスペクトル漏れ（リーケージ）である。

漏れが最も目立つのは、観測区間に信号の周期が整数回入らないときである。たとえばサンプリング周波数 $64\ \mathrm{Hz}$、観測長1秒で$4\ \mathrm{Hz}$ の信号はちょうど4周期入って綺麗な線スペクトルになるが、$4.5\ \mathrm{Hz}$ の信号は端が不連続になり、スペクトルが広くにじむ。

窓関数は、区間の端で滑らかに $0$ へ落とす重み $w[n]$ を掛けて、この不連続を和らげる工夫である。代表例が Hamming 窓

$$w[n]=0.54-0.46\cos\!\Bigl(\frac{2\pi n}{N-1}\Bigr)\qquad(0\le n\le N-1).$$

窓の性能は二つの指標のトレードオフで決まる。主ローブの幅（狭いほど周波数分解能が高い）と、サイドローブの高さ（低いほどダイナミックレンジが広く、微弱な近接成分を見分けられる）である。矩形窓は主ローブが最も狭い（分解能は最良）がサイドローブが高く漏れが大きい。Hamming 窓などはサイドローブを大きく下げる代わりに主ローブが広がる。分解能を取るか、漏れの少なさを取るかという選択がここにある。

このトレードオフは定性的な話に留めず、数値で持っておくと答案での比較が速い。下の表は代表的な四つの窓について、主ローブ幅と最大サイドローブ高さを実測した値である。主ローブ幅は窓長 $N$ に反比例するので、$N$ に依らない量にするためにビン幅 $2\pi/N$ の何倍かで表す（DFT の隣り合う周波数点の間隔が1ビンである）。零点間幅は主ローブの左右の零点にはさまれた幅、$-3$ dB 幅は振幅が直流成分の $1/\sqrt2$ になる二点の間隔で、前者は「二本の線スペクトルが完全に分離する距離」、後者は「実用上の分解能」の目安になる。