線形位相システム

信号処理論入門　第9章 §9.4　★★★ 係数偶対称・零点鏡像対・argは-QΩ・FIRのみ

最小位相 $H_m$ と最大位相 $H_M=z^{-Q}H_m(z^{-1})$ の積を考える。

$$H_m(z)H_M(z)=c_0+c_1z^{-1}+\cdots+c_{2Q}z^{-2Q}$$

の係数は $c_q=c_{2Q-q}$ を満たす、中心に対して偶対称な列（相反多項式）になる（畳み込み $b*(\text{逆順の }b)$ は自己相関だから対称、と読んでもよい）。

このシステムの振幅・位相応答は

$$\left\vert H_mH_M\right\vert =\left\vert H_m\right\vert ^2,\qquad \arg(H_mH_M)=\arg H_m+\bigl(-Q\Omega-\arg H_m\bigr)=-Q\Omega$$

となる。位相応答が $\Omega$ の一次関数になるので、これを線形位相システムと呼ぶ。群遅延は $-\mathop{}\!\mathrm{d}(-Q\Omega)/\mathop{}\!\mathrm{d}\Omega=Q$（定数）である。

線形位相の何がうれしいのか。位相が $-Q\Omega$ ということは、すべての周波数成分が等しく $Q$ サンプルだけ遅れるということである。波形は $x[n-Q]$ 型にそっくり保たれ、波形歪みが起きない（厳密には振幅の重みは掛かる）。逆に群遅延が周波数に依存すると、周波数の違う波束が違う時刻に届き、波形が崩れる—これが位相歪みである。音声・画像・計測など波形そのものに意味がある応用で線形位相が要求される理由である。

零点の配置で言うと、$H_M$ の零点は $H_m$ の零点の鏡像 $1/z_k^*$ だから、線形位相システムの零点は単位円に関して鏡像対で現れる（単位円上の零点は自分自身が鏡像）。極を持つとこの対称性と安定性が両立しない（極の鏡像は単位円外に出てしまう）ため、厳密な線形位相は FIR システムでのみ実現可能である。なお、インパルス応答が偶対称なら線形位相（かつ群遅延一定）、奇対称でも群遅延は一定になる。これらをまとめて一般化線形位相システムと呼び、対称性と次数の偶奇で Type I〜IV に分類される（ここでは名称の紹介まで）。