全域通過システム

信号処理論入門　第9章 §9.5　★★ 極零が鏡像対で|H|=1

最大位相と最小位相の商を取るとどうなるか。

$$H_{\mathrm{AP}}(z)=\frac{H_M(z)}{H_m(z)} =\frac{b_Q+b_{Q-1}z^{-1}+\cdots+b_0z^{-Q}}{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Qz^{-Q}}$$

振幅応答は $\left\vert H_M\right\vert =\left\vert H_m\right\vert$ より

$$\left\vert H_{\mathrm{AP}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\right\vert =1\qquad(\forall\Omega)$$

と恒等的に 1 になる。すべての周波数を素通しするので全域通過（all-pass）システムと呼ぶ。位相は$\arg H_{\mathrm{AP}}=\arg H_M-\arg H_m\le0$ で、振幅を一切変えずに位相だけを遅らせることができる。極零配置で言えば、分母の零点（＝システムの極、単位円内）と分子の零点（単位円外）が単位円に関して鏡像のペアをなす：1次なら

$$H_{\mathrm{AP}}(z)=\frac{z^{-1}-\alpha}{1-\alpha z^{-1}} \qquad(\text{極 }z=\alpha,\ \text{零点 }z=1/\alpha)$$

が基本形である（$\left\vert \alpha\right\vert <1$、実係数なら $\alpha\in\mathbb{R}$）。用途は位相の補償（等化器）と、第11章で扱う IIR フィルタの周波数変換である。

混合位相系の分解（最小位相 $\times$ 全域通過）

★★　混合位相系を最小位相と全域通過に分解する

零点が単位円の内側にも外側にもある系は、最小位相でも最大位相でもないので混合位相系と呼ばれる。この場合に見通しを与えるのが任意の有理伝達関数を「最小位相 $\times$ 全域通過」に分解する見方である。

作り方は機械的である。円外の零点 $c$（$\left\vert c\right\vert >1$）を一つ選び、単位円に関する共役逆数点 $1/\overline c$（これは円内）へ映す。この操作を支えているのは次の恒等式で、単位円上に限れば零点を鏡像へ移しても振幅は変わらない。

$$\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-\tfrac{1}{\overline c}\right\vert =\frac{1}{\left\vert c\right\vert }\,\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-c\right\vert \qquad(\forall\Omega).\tag{9.1}$$

（証明は両辺を2乗するだけである。$\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-a\right\vert ^2=1-2\operatorname{Re}(a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})+\left\vert a\right\vert ^2$ を$a=1/\overline c$ と $a=c$ の二通りに使い、$\operatorname{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega}/\overline c)=\operatorname{Re}(c\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})/\left\vert c\right\vert ^2$ に注意すると、どちらも $1+1/\left\vert c\right\vert ^2-2\operatorname{Re}(c\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega})/\left\vert c\right\vert ^2$ になる。）移した零点をもつ系を $H_m$、元へ戻すための因子を $A$ とすれば

$$H(z)=\underbrace{\left\vert c\right\vert \,\cdot H(z)\cdot\frac{z-\frac{1}{\overline c}}{z-c}}_{H_m(z)} \cdot \underbrace{\frac{1}{\left\vert c\right\vert }\,\frac{z-c}{z-\frac{1}{\overline c}}}_{A(z)}, \qquad \left\vert A(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega})\right\vert \equiv1$$

と書ける。$A$ の振幅が $1$ になるのは、式(9.1)より単位円上で$\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-c\right\vert \big/\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}-1/\overline c\right\vert =\left\vert c\right\vert$ が成り立ち、前に置いた $1/\left\vert c\right\vert$ とちょうど打ち消し合うからである。$A$ は極 $1/\overline c$（円内）と零点 $c$（円外）が鏡像対をなす1次の全域通過であり、円外の零点が複数あればそれぞれについて同じ操作を繰り返せばよい。