本章のまとめ — フィルタ設計早見表

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第11章フィルタの設計 — FIR と IIR

AI 生成・木下が未勉強

信号処理論入門　第11章 §11.5　★★ 11章の全手法を1枚に。まずここを覚える

フィルタは多いが、骨は「理想LPFを1つ作り、あとは変換で他へ移す」の一本道である。FIR は打ち切り＋窓で線形位相に作り、IIR はアナログLPFを $s\to z$ で離散化する。下表に本章の全事項を、式と使い所つきでまとめる。

事項	要点（式）	使い所・注意
理想特性	LPF/HPF/BPF/BSF＝通過域で振幅 $1$ ・阻止域で $0$ の矩形。境界＝遮断 $\Omega_C$	設計の目標（この矩形を近似する）
FIR 設計	①逆DTFT $h_{\mathrm{ideal}}[n]=\dfrac{\sin\Omega_C n}{n\pi}$ （無限長・非因果）②打ち切り＝最小2乗最適（そのまま切る）③ $M/2$ 右シフトで因果・線形位相	線形位相FIRの作り方。②は「Fourier係数の打ち切りが最良近似」の再演
窓関数	Kaiser 窓 $w[n]$ （ $\beta$ で方形 $\to$ Hamming $\to$ Hann $\to$ Blackman を連続化）。 $\beta\!\uparrow$ でリップル $\downarrow$ ・遷移域 $\uparrow$	打ち切りのGibbsリップルを抑制。誤差最大を最小化＝等リップル（Parks–McClellan/minimax）
FIR 周波数変換	HPF： $(-1)^n h_{\mathrm{LPF}}[n]$ （遮断 $\pi-\Omega_{\mathrm L}$ ）／BPF： $2\cos(n\Omega_S)h_{\mathrm{LPF}}[n]$ （通過 $\Omega_S\pm\Omega_{\mathrm L}$ ）／BSF： $\delta[n]-2\cos(n\Omega_S)h_{\mathrm{LPF}}[n]$	LPFからHPF/BPF/BSF。零位相フィルタに施してから因果化。HPFは特性保存、BPF/BSFは干渉あり
IIR：インパルス不変	$\dfrac{\beta_m}{s-\alpha_m}\Rightarrow\dfrac{T\beta_m}{1-\mathrm{e}^{\alpha_m T}z^{-1}}$ （極 $s{=}\alpha_m\mapsto z{=}\mathrm{e}^{\alpha_m T}$ ）	アナログLPFの離散化。安定は保存。弱点＝エイリアシング（高域が残るHPF/BSFには不可）
IIR：双線形変換	$s\Rightarrow\dfrac{2}{T}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 、周波数対応 $\omega=\dfrac{2}{T}\tan\dfrac\Omega2$	左半平面 $\to$ 円内・虚軸 $\to$ 単位円で折り返しなし（HPF/BSF可）。代償＝ワーピング $\to$ プリワーピング $\omega_c{=}\frac2T\tan\frac{\Omega_C}2$ 。 $s{=}\infty\to z{=}-1$ に零点
IIR 周波数変換	全域通過置換 $z^{-1}\Rightarrow\dfrac{z^{-1}-\alpha}{1-\alpha z^{-1}}$ 、 $\alpha=\dfrac{\sin((\Omega_C-\Psi_C)/2)}{\sin((\Omega_C+\Psi_C)/2)}$	有理関数のまま遮断を移す。BPF/BSFは2次。位相が歪む（線形位相保持は困難）
FIR vs IIR	FIR：常に安定・線形位相可・自由度大・急峻には高次・演算誤差小／IIR：極が単位円内で安定・線形位相近似のみ・低次で急峻・演算誤差大	波形保持（線形位相）→FIR、低計算量で鋭く→IIR

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