本章のまとめ

信号処理論入門　第12章 §12.1　★ 教養。「同じ数学」の一言で見通しが良くなる

前半で築いた Fourier 解析は光学系でもそのまま使える。話題は第7〜11章の z変換・LTIシステム・フィルタ設計から離れるが、Fourier 変換の物理的な現れとして理解しておくと見通しが良い。

光学の要点は「レンズは Fourier 変換器である」という一文に集約される。波動光学では、開口面の複素振幅分布を $g(x,y)$ とすると、遠方（Fraunhofer 回折）または焦点面での振幅分布は $g$ の二次元 Fourier 変換$G(f_x,f_y)$ に比例する。空間座標 $x$ が時間 $t$ に、空間周波数 $f_x$ が角周波数 $\omega$ に対応し、前半で学んだ変換対・性質がそっくり移植できる。

この対応から、光学系の結像は空間周波数フィルタリングとして記述できる。レンズの有限の開口は高い空間周波数を通さない低域通過フィルタとして働き、これが結像の分解能限界（回折限界）を決める。開口を矩形とみれば、そのスペクトル（点像分布関数 PSF）は $\operatorname{sinc}$ 型になり、第6章の窓関数とサイドローブの議論がそのまま像のリンギングの話になる。「時間信号のFourier解析」と「空間・光のFourier解析」が同じ数学であることが、この章の一番のメッセージである。このほかにコンピュテーショナルイメージング（符号化計測＋再構成処理）、コンプレッシブセンシング（$\ell_1$ 正則化 $\hat f=\operatorname{argmin}_f\left\Vert g-Hf\right\Vert ^2+\tau\left\Vert f\right\Vert _1$によるナイキスト限界以下からの復元）、散乱イメージング（スペックル相関と位相回復）といった話題もあるが、ここでは名前を挙げるにとどめる。

本章の骨は「レンズは Fourier 変換器であり、結像は空間周波数フィルタリングである」の一点で、前半で学んだ Fourier 解析がそのまま光学系へ移植できる。下表に本章の事項をまとめる。