覚えておく変換対と性質

要点

必ず覚える変換対（$\alpha>0$）

• $\delta(t)\leftrightarrow 1$、　 $1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$、　$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$
• 矩形 $p_T(t)\leftrightarrow \dfrac{2\sin\omega T}{\omega}$
• 片側指数 $\mathrm{e}^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow\dfrac{1}{\alpha+\mathrm{j}\omega}$
• 両側指数 $\mathrm{e}^{-\alpha\left\vert t\right\vert }\leftrightarrow\dfrac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$
• Gauss $\mathrm{e}^{-\alpha t^2}\leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}\,\mathrm{e}^{-\omega^2/4\alpha}$
• 符号 $\operatorname{sgn}(t)\leftrightarrow\dfrac{2}{\mathrm{j}\omega}$、　ステップ $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{\mathrm{j}\omega}$
• DTFT: $a^n u[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-a\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\Omega}}$（$\left\vert a\right\vert <1$）

必ず覚える性質：線形性、時間シフト $\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0}$、周波数シフト（変調）$X(\omega-\omega_0)$、スケール $\tfrac1{\left\vert a\right\vert }X(\omega/a)$、微分 $\mathrm{j}\omega X$、畳み込み定理 $x* y\leftrightarrow XY$、Parseval $\int\left\vert x\right\vert ^2=\tfrac1{2\pi}\int\left\vert X\right\vert ^2$。定理：サンプリング定理 $f_s>2f_{\max}$、$\operatorname{sinc}$ 補間による復元。

要点

必ず覚える z 変換対（ROC 込みで）

• $\delta[n]\leftrightarrow1$（全平面）、　$u[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-z^{-1}}$（$\left\vert z\right\vert >1$）、　$-u[-n-1]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-z^{-1}}$（$\left\vert z\right\vert <1$）
• $\alpha^nu[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}}$（$\left\vert z\right\vert >\left\vert \alpha\right\vert$）、　$nu[n]\leftrightarrow\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$（$\left\vert z\right\vert >1$）

必ず覚える性質：時間シフト $z^{-m}$、スケール $\alpha^nx[n]\to X(z/\alpha)$、畳み込み $X(z)Y(z)$、DTFT は $z=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega}$（単位円上の z 変換）。システムの要点：$y=x* h$、$H(z)=Y(z)/X(z)$、因果性 $h[n]=0$（$n<0$）、BIBO 安定 $\Leftrightarrow\sum\left\vert h\right\vert <\infty\Leftrightarrow$（因果的なら）全極が単位円内。FIR は常に安定。位相特性の要点：最小位相＝零点も単位円内／最大位相＝係数逆順 $z^{-Q}H_m(z^{-1})$（振幅同一・位相最遅）／線形位相＝係数偶対称・零点鏡像対・$\arg H=-Q\Omega$・FIRのみ／全域通過＝極零が鏡像対・$\left\vert H\right\vert \equiv1$。フィルタ設計の要点：理想 LPF の係数 $h[n]=\sin(\Omega_Cn)/(n\pi)$ →打ち切り（最小2乗最適）→ $M/2$ シフトで因果化（線形位相）→窓（Kaiser：$\beta$ 大でリップル減・遷移域増）。周波数変換 $(-1)^nh$（HPF）・$2\cos(n\Omega_S)h$（BPF）。IIR はアナログ LPF（Butterworth：$\left\vert H\right\vert ^2=1/(1+(\omega/\omega_c)^{2M})$、極は半径 $\omega_c$ の円周上・左半平面の $M$ 個を採用）をインパルス不変変換 $\frac{\beta}{s-\alpha}\to\frac{T\beta}{1-\mathrm{e}^{\alpha T}z^{-1}}$（エイリアシングあり・HPF不可）または双線形変換$s\to\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$（エイリアシングなし・ワーピング $\omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega}{2}$ →プリワーピング）で離散化。