電磁気学との食い違いと Michelson–Morley の実験

相対論入門　第1章 §1.2　★★★ 波動方程式が Galilei 変換で形を変えることと、光の媒質に対する地球の運動が見つからなかった実験を並べ、相対論が要る理由を示す

波動方程式は Galilei 変換で形を変える

真空中の Maxwell 方程式から、電場と磁場の各成分 $\psi$ が波動方程式

$$\frac{\partial ^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\psi}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2\psi}{\partial t^2}=0,\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\tag{1.6}$$

に従うことが導かれる（導出は『電磁気学入門』第9章 §9.1）。$c$ は真空の誘電率と透磁率だけで決まる定数で、「何に対する速さか」という情報を含んでいない。

この方程式を Galilei 変換で $K'$ の座標に書き直す。$y,z$ は変わらない。したがって $x$ と $t$ の微分だけを調べればよい。$K'$ の座標を $K$ の座標の関数とみて連鎖律を使うと

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial }{\partial x'}+\frac{\partial t'}{\partial x}\frac{\partial }{\partial t'}=\frac{\partial }{\partial x'},\qquad \frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial x'}{\partial t}\frac{\partial }{\partial x'}+\frac{\partial t'}{\partial t}\frac{\partial }{\partial t'}=-v\frac{\partial }{\partial x'}+\frac{\partial }{\partial t'}$$

となる。2階の微分は、これをもう一度作用させて

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2}{\partial x'^2},\qquad \frac{\partial ^2}{\partial t^2}=\Bigl(-v\frac{\partial }{\partial x'}+\frac{\partial }{\partial t'}\Bigr)^2=v^2\frac{\partial ^2}{\partial x'^2}-2v\frac{\partial^2}{\partial x'\partial t'}+\frac{\partial ^2}{\partial t'^2}\tag{1.7}$$

である。これらを (1.6) に入れると、$K'$ での方程式は

$$\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)\frac{\partial ^2\psi}{\partial x'^2}+\frac{2v}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial x'\partial t'}+\frac{\partial ^2\psi}{\partial y'^2}+\frac{\partial ^2\psi}{\partial z'^2}-\frac1{c^2}\frac{\partial ^2\psi}{\partial t'^2}=0\tag{1.8}$$

になる。$x'$ の2階微分の係数が 1 から $1-v^2/c^2$ へ変わり、もとの式に無かった交差微分の項が現れた。どちらも $v\neq0$ なら消えないので、波動方程式は Galilei 変換のもとで形を保たない。

(1.8) の意味は平面波を入れると分かる。$K$ で $x$ 方向に進む平面波を考える。

$$\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)},\qquad \omega=ck$$

その位相を $K'$ の座標で書くと

$$kx-\omega t=k(x'+vt')-\omega t'=kx'-(\omega-kv)t'$$

となる。$K'$ での角振動数は $\omega'=\omega-kv$ である。したがって位相速度は $\omega'/k=c-v$ である。

Galilei 変換を認めると、光の速さは慣性系ごとに変わり、$K'$ で測った光の速さは $c-v$ になる。光の速さが $c$ に見える慣性系はただ1つに限られ、Maxwell 方程式が (1.6) の形で成り立つのはその系だけということになる。

エーテルの仮説

19世紀の物理学者の多くは、この食い違いを次のように解釈した。音が空気を伝わる波であるのと同じように、光もエーテルと呼ばれる媒質を伝わる波であり、Maxwell 方程式 (1.6) はエーテルに対して静止した系（エーテル系）でだけ成り立つ。この解釈では相対性原理は力学だけの原理になり、電磁気学には特別な慣性系がある。エーテル系に対する地球の速さが分かれば、地上で測る光の速さは向きによって $c\pm v$ の範囲で変わるはずである。

地球は太陽のまわりを約 $30\,\mathrm{km/s}$ で回っている。季節によって速度の向きが変わるので、少なくとも1年のうちのどこかで、地球はエーテルに対してこの程度の速さで動いているはずである。比 $v/c$ は約 $10^{-4}$ と小さい。光の往復の時間は $v/c$ の2乗でしか変わらないことが後で分かるので、検出には $10^{-8}$ の精度が要る。

Michelson–Morley の干渉計

Michelson と Morley は1887年に、干渉計を使ってエーテルに対する地球の運動を測ろうとした。装置を図 1.2 に示す。光源 S からの光を半透明鏡 H で2つに分け、互いに直交する2本の腕の先の鏡 M$_1$、M$_2$ で反射させて H に戻し、重ね合わせて検出器 D で干渉縞を見る。2本の光の往復時間に差があると干渉縞の位置がずれる。

エーテルの仮説に従って、2本の腕を光が往復する時間を計算する。装置はエーテルに対して腕1の方向へ速さ $v$ で動いているとし、$\beta=v/c$ と書く。

腕1（運動に平行）　 装置から見ると、行きの光は相対的な速さ $c-v$ で鏡 M$_1$ に近づく。帰りの光は速さ $c+v$ で H に近づく。往復の時間は

$$T_1=\frac{L_1}{c-v}+\frac{L_1}{c+v}=\frac{2L_1c}{c^2-v^2}=\frac{2L_1}{c}\,\frac{1}{1-\beta^2}\tag{1.9}$$

である。

腕2（運動に垂直）　 エーテル系から見て、光が H を出てから M$_2$ に着くまでの時間は $T_2/2$ である。その間に装置は $vT_2/2$ だけ横へ動く。エーテル系で光は速さ $c$ で斜めに進むので、Pythagoras の定理より

$$\Bigl(\frac{cT_2}{2}\Bigr)^2=L_2^2+\Bigl(\frac{vT_2}{2}\Bigr)^2$$

が成り立ち、これを $T_2$ について解くと

$$T_2=\frac{2L_2}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{2L_2}{c}\,\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\tag{1.10}$$

を得る。帰りも同じ形の直角三角形になるので、往復で同じ式になる。

2本の光の到着時刻の差は $\Delta T=T_1-T_2$ である。腕の長さを $10^{-8}$ の精度でそろえることはできない。したがって $\Delta T$ そのものから $v$ を読むことはできない。

そこで Michelson と Morley は装置全体を水平面内で $90^\circ$ 回転させ、腕1と腕2の役割を入れ替えた。回転後の時間差は

$$\Delta T_{\mathrm{rot}}=\frac{2L_1}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-\frac{2L_2}{c}\frac{1}{1-\beta^2}$$

であり、回転の前後での時間差の変化は

$$\Delta T-\Delta T_{\mathrm{rot}}=\frac{2(L_1+L_2)}{c}\Bigl(\frac{1}{1-\beta^2}-\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\Bigr)\tag{1.11}$$

となる。腕の長さの差は打ち消し合い、和だけが残った。$\beta\ll1$ では次の近似が使える。

$$(1-\beta^2)^{-1}\simeq1+\beta^2,\qquad (1-\beta^2)^{-1/2}\simeq1+\frac{\beta^2}{2}$$

したがって括弧の中は $\beta^2/2$ で近似できる。時間差の変化を光の周期 $\lambda/c$ で割ったものが、干渉縞のずれの本数（縞1本を1とする）である。

$$\Delta N=\frac{c\,(\Delta T-\Delta T_{\mathrm{rot}})}{\lambda}\simeq\frac{(L_1+L_2)\,\beta^2}{\lambda}.\tag{1.12}$$

1887年の装置は、多数の鏡で光を何度も往復させて腕の実効的な長さを約 $11\,\mathrm m$ にしていた。例題 1.2 で計算するとおり、エーテルの仮説が予言する縞のずれは $0.4$ 本程度になる。実際に観測されたずれは $0.02$ 本を下回り、予言の数十分の一以下であった。その後、季節や時刻を変えた多くの追試でも、地球のエーテルに対する運動は見つかっていない。

確認テスト

オリジナル

1. 1.2-1 $K$ で $+x$ 方向に進む光を考える。その速さは $c$ である。Galilei の速度合成則 (1.2) を認めると、この光が $K'$ では速さ $c-v$ で進むことを1行で示せ。
2. 1.2-2 腕の長さがともに $L$ の干渉計を考える。回転させない状態の時間差 $\Delta T=T_1-T_2$ を、$\beta$ の4次まで展開せよ。$L=11\,\mathrm m$、$\beta=1.0\times10^{-4}$ での値を秒で求めよ。
3. 1.2-3 腕1だけがエーテルに対する運動の向きに長さ $L_1\to L_1\sqrt{1-\beta^2}$ と縮むと仮定する。$L_1=L_2$ のとき、$T_1=T_2$ となって縞がずれないことを示せ。
4. 1.2-4 1次元の波動方程式

$$\partial_x^2\psi-c^{-2}\partial_t^2\psi=0$$

と、次の波を考える。

$$\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(x'-ct')}$$

これは $K'$ で正の向きへ速さ $c$ で進む波である。この波を Galilei 変換で $K$ の座標に戻すと、方程式を満たさないことを示せ。左辺に代入した値を $k,v,c$ で表せ。5. 1.2-5 光行差の角度は、星の方向と地球の速度が直交するとき $\tan\alpha=v/c$ で与えられるとする。$v=29.8\,\mathrm{km/s}$ のときの $\alpha$ を求めよ。答えは角度の秒（$''$）で表し、$c=2.998\times10^8\,\mathrm{m/s}$ を使え。