Einstein の2つの原理

相対論入門　第1章 §1.3　★★★ 相対性原理と光速不変の原理を述べ、それが Galilei 変換と両立しないこと、時計の合わせ方を定義し直す必要があることを示す

2つの原理

Galilei 変換と Maxwell 方程式の食い違いを解消するには、3つの道が考えられた。

1. Maxwell 方程式を修正する。Maxwell 方程式が正しくなく、Galilei 変換で形を保つように修正すべきだとする道である。この道は、Maxwell 方程式が電磁誘導から光の伝播まで正確に説明していることと合わない。
2. 相対性原理を力学に限る。相対性原理は力学だけのもので、電磁気学にはエーテル系という特別な系があるとする道である。この道は、Michelson–Morley の実験がエーテル系に対する運動を見つけなかったことと合わない。
3. Galilei 変換を修正する。相対性原理を電磁気学まで含めて認め、Galilei 変換の方を修正する道である。

Einstein は1905年に第三の道を選び、次の2つを理論の出発点に置いた。

第2の原理は第1の原理からかなりの部分が導ける。Maxwell 方程式がすべての慣性系で同じ形をとるなら、そこに現れる定数 $\varepsilon_0$、$\mu_0$ もすべての慣性系で同じ値である。したがって $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ もすべての慣性系で同じ値になる。

光速不変の原理は、電磁気学に相対性原理を当てはめたときの帰結を、光の速さという測れる量で言い直したものと読むことができる。2つを別に書いておく理由は、第2の原理が「光源の速さによらない」という主張も含み、それを Maxwell 方程式の詳細に頼らずに使えるからである。

光源の速さによらないことの検証

「光の速さが光源の速さに足される」という考え（放射説）も、Michelson–Morley の実験の結果とは両立する。光源が装置と一緒に動いていれば、装置から見た光の速さはどの向きにも $c$ になるからである。この考えを退けるには、速く動く光源から来た光の速さを調べる必要がある。

1913年に de Sitter は連星を使った議論を出した。連星の一方の星が軌道上で地球に近づく向きに動くときと遠ざかる向きに動くときで光の速さが違えば、遠くから届く光の到着時刻がずれて、星の見かけの運動が乱れるはずである。実際の連星の観測には、そのような乱れは見られない（例題 1.3）。1964年には CERN で、光速に近い速さで走る中性 $\pi$ 中間子が崩壊して出すガンマ線の速さが測られ、光源の速さが光の速さに足される割合は $10^{-4}$ 程度以下であることが示された。

光の球面と Galilei 変換

2つの原理が Galilei 変換と両立しないことを、光の球面で確かめる。時刻 $t=0$ に $K$ の原点から全方向へ光を出す。光速不変の原理から、$K$ で光の波面は

$$x^2+y^2+z^2=c^2t^2\tag{1.13}$$

を満たす球面である。$K'$ の原点もこの瞬間に同じ点にあった。したがって光速不変の原理は、$K'$ でも波面が自分の原点を中心とする球面

$$x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2\tag{1.14}$$

になることを要求する。しかし Galilei 変換で (1.13) を書き直すと $(x'+vt')^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2$ となり、中心が $x'=-vt'$ にずれた球面になる。これは (1.14) と一致しない。

光速不変の原理が要求するのは、1つの光の波面が次の2つを同時に満たすことである。

• $K$ で見ると、$K$ の原点を中心とする球である。
• $K'$ で見ると、$K'$ の原点を中心とする球である。

2つの原点は $t>0$ で別の場所にあるので、時間が全員に共通だと考える限り、これは矛盾である。この矛盾を解消するには、「$K$ で同じ時刻」の点の集まりと「$K'$ で同じ時刻」の点の集まりが違う、つまり時刻の付け方そのものが慣性系ごとに違うと認めるしかない。

(1.13) と (1.14) は、量 $c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ が 0 であるという条件が2つの系で同じ形をとることを言っている。第2章ではこの量が $0$ でないときも含めて保たれる変換を探し、Lorentz 変換を導く。第3章ではこの量を不変間隔と呼ぶ。

時計の合わせ方

時刻が慣性系ごとに違ってよいとなると、「ある慣性系の時刻」を測る手続きをはっきり決めておく必要がある。慣性系の各点に、同じ作りの時計を静止させて置く。

1つの場所で起きる出来事の時刻は、その場所の時計で読む。問題は離れた場所の時計どうしをどう合わせるかである。光速不変の原理を使うと、次の手続きで合わせられる。

光の速さは行きも帰りも $c$ なので、行きにかかる時間と帰りにかかる時間は等しい。それぞれ往復時間の半分で、A と B の距離は $c(t_2-t_1)/2$ である。

この手続きは、同じ慣性系の中の時計どうしで矛盾なく使える。A と B が合っていれば B と A も合っており（対称性）、A と B、B と C が合っていれば A と C も合っている（推移性）。後者は、光速が向きによらず一定という原理から確かめられる（確認テスト 1.3-5）。

この手続きで合わせた時計の読みを、その慣性系の時刻と定める。ある慣性系で2つの出来事が同時であるとは、それぞれの場所の同期した時計が同じ時刻を示すことである。

確認テスト

オリジナル

1. 1.3-1 特殊相対論の2つの原理を述べよ。また、Michelson–Morley の実験だけでは光速不変の原理のうちどの部分が確かめられないかを述べよ。
2. 1.3-2 $K$ の原点から $t=0$ に出た光の波面 (1.13) を考える。これを Galilei 変換で $K'$ の座標に書き直せ。そのうえで、球の中心と半径を時刻 $t'$ の関数として求めよ。さらに、$K'$ の各方向へ進む光の速さが次の値になることを示せ。

$$+x'\text{ 方向}: c-v,\qquad -x'\text{ 方向}: c+v,\qquad y'\text{ 方向}: \sqrt{c^2-v^2}$$ 3. 1.3-3 点 A の時計で時刻 $t_1=0$ に A から光を出し、点 B で反射した光が A に $t_2=2.00\,\mu\mathrm s$ に戻ってきた。反射の瞬間に B の時計を何秒に合わせればよいか。A と B の距離も求めよ。4. 1.3-4 例題 1.3 の設定で、距離を $D=5.0\times10^2$ 光年、$u=50\,\mathrm{km/s}$ に替える。このときの $\delta t$ を日の単位で求めよ。5. 1.3-5 慣性系の中に静止した3点 A、B、C がある。A と B、A と C の時計をそれぞれ Einstein の同期で合わせたとき、B と C の時計も合っていることを示せ。ただし光の速さはどの向きにも $c$ とし、A、B、C の時計は同じ作りで同じ速さで進むとする。