速度の合成則と光行差

相対論入門　第2章 §2.3　★★★ 速度は足し算でなく (2.19) で合成する。光速を超えない理由と、星の見える向きのずれが同じ式から出る

速度の変換

$K$ で速度 $\bm{u}=(u_x,u_y,u_z)$ で動く粒子を考える。この粒子を $K'$ から見た速度 $\bm{u}'$ を求める。粒子の世界線上で近い2つの事象の座標の差を $(\mathrm{d} t,\mathrm{d} x,\mathrm{d} y,\mathrm{d} z)$ とすると、$\mathrm{d} x=u_x\,\mathrm{d} t$ などである。Lorentz 変換は線形なので、座標の差も同じ式で変換される。

$$\mathrm{d} t'=\gamma\left(\mathrm{d} t-\frac{v}{c^2}\mathrm{d} x\right)=\gamma\left(1-\frac{vu_x}{c^2}\right)\mathrm{d} t,\qquad \mathrm{d} x'=\gamma\,(\mathrm{d} x-v\,\mathrm{d} t)=\gamma\,(u_x-v)\,\mathrm{d} t,$$

$\mathrm{d} y'=\mathrm{d} y=u_y\,\mathrm{d} t$、$\mathrm{d} z'=u_z\,\mathrm{d} t$ である。速度は $\bm{u}'=\mathrm{d}\bm{x}'/\mathrm{d} t'$ なので、比をとって

$$u'_x=\frac{u_x-v}{1-vu_x/c^2},\tag{2.19}$$

$$u'_y=\frac{u_y}{\gamma\,(1-vu_x/c^2)},\qquad u'_z=\frac{u_z}{\gamma\,(1-vu_x/c^2)}\tag{2.20}$$

を得る。逆向きは $v$ を $-v$ に替えたもので、

$$u_x=\frac{u'_x+v}{1+vu'_x/c^2}$$

などとなる。

運動の方向に垂直な成分 $u_y$ も変わることに注意する。座標は $y'=y$ なのに、速度の成分は $u'_y\ne u_y$ となる。これは、$y$ を割る時間の側が変わるからである。

$x$ 軸に沿った運動（$u_y=u_z=0$）に限る。物体の $K'$ での速度を $u'$ と書く。このとき $K$ での速度は

$$u=\frac{u'+v}{1+u'v/c^2}\tag{2.21}$$

である。これを速度の合成則と呼ぶ。$u'v\ll c^2$ なら分母は 1 に近く、Galilei の足し算 $u=u'+v$ に戻る。

$u'=c$ を入れると $u=(c+v)/(1+v/c)=c$ である。光の速さはどの慣性系でも $c$ のままである。

光速を超えないこと

速度の合成則で、光速より遅い速度をいくら合成しても光速に届かないことを示す。

証明

$D=1-vu_x/c^2$ と書く。(2.19)・(2.20) から

$$c^2D^2-u'^2D^2=c^2D^2-(u_x-v)^2-\frac{u_y^2+u_z^2}{\gamma^2}.$$

右辺を展開する。次の3つを使う。

$$\begin{aligned}c^2D^2&=c^2-2vu_x+\frac{v^2u_x^2}{c^2},\\ (u_x-v)^2&=u_x^2-2vu_x+v^2,\\ \frac1{\gamma^2}&=1-\frac{v^2}{c^2}\end{aligned}$$

これらを入れると

$$c^2-2vu_x+\frac{v^2u_x^2}{c^2}-u_x^2+2vu_x-v^2-(u_y^2+u_z^2)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) =c^2-v^2-u^2+\frac{v^2u^2}{c^2}$$

となる。$-2vu_x$ は打ち消し合う。残りの速さの2乗の項は、まとまって $u^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2$ になる。

右辺は $c^2(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)$ と因数分解できる。両辺を $c^2D^2$ で割れば (2.22) である。最後に結論の2つを確かめる。

• (i) $\left\vert v\right\vert <c$ かつ $u<c$ とする。このとき $\left\vert vu_x\right\vert <c^2$ なので $D>0$ である。右辺は正なので、$u'<c$ である。
• (ii) $u=c$ なら右辺は 0 で、$u'=c$ である。

物体を光速より速く送れないことは、第3章 §3.2 で因果律として、第5章 §5.2 でエネルギーが発散することとして、別の角度から確かめる。

光行差

光の速度にも (2.19)・(2.20) が使える。光が届く向きは観測者の速度によって変わり、星の見える方向がずれる。これを光行差と呼ぶ。

$K$ で静止した星を考える。星の方向を、観測者から星へ向かう単位ベクトル $\bm{n}$ で表す。その $x$ 軸となす角を $\alpha$ とする。

$xy$ 面内で $\bm{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha,0)$ である。星から来る光は $-\bm{n}$ の向きに進むので、光の速度は $\bm{u}=-c\bm{n}$ である。$K'$ の観測者が見る星の方向は $\bm{n}'=-\bm{u}'/c$ である。(2.19)・(2.20) に $u_x=-c\cos\alpha$、$u_y=-c\sin\alpha$ を入れると

$$\cos\alpha'=\frac{\cos\alpha+\beta}{1+\beta\cos\alpha},\qquad \sin\alpha'=\frac{\sin\alpha}{\gamma\,(1+\beta\cos\alpha)}\tag{2.23}$$

を得る（$u'=c$ なので $\cos^2\alpha'+\sin^2\alpha'=1$ は自動的に成り立つ）。$0<\alpha<\pi$ の星を考える。$\beta>0$ なら $\cos\alpha'>\cos\alpha$ で、星は進む向きの側へ寄って見える。

$\beta\ll1$ で1次まで展開すると、$\alpha'=\alpha-\Delta\alpha$ として

$$\Delta\alpha\simeq\beta\sin\alpha\tag{2.24}$$

である。実際、$\cos\alpha'\simeq(\cos\alpha+\beta)(1-\beta\cos\alpha)\simeq\cos\alpha+\beta\sin^2\alpha$ と$\cos(\alpha-\Delta\alpha)\simeq\cos\alpha+\Delta\alpha\sin\alpha$ を比べればよい。

図 2.3 のとおり、$\beta$ が $1$ に近づくと、ほとんどの星が進む向きの小さな円錐の中に集まって見える。$K$ で $\alpha=90^\circ$ の星を考える。(2.23) から、この星は $\cos\alpha'=\beta$、すなわち $\sin\alpha'=1/\gamma$ の方向に見える。したがって静止系で前半分の空にある星は、$K'$ では半頂角 $\arcsin(1/\gamma)$ の円錐の中に収まる。

同じ式を、光源が動く場合に読み替えることもできる。$K'$ に静止した光源が、すべての向きに一様に光を出すとする。$K$ ではその光の半分が、進む向きの半頂角 $\arcsin(1/\gamma)$ の円錐に集まる。光速に近い電子が出す放射が細いビームになるのはこのためで、放射の強さも含めた議論は『電磁気学入門』第11章 §11.4 で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 2.3-1 $K'$ の速さは $0.9c$ である（標準配置）。$K'$ で、同じ向きに速さ $0.9c$ で粒子を打ち出した。$K$ での粒子の速さを求めよ。
2. 2.3-2 屈折率 $n$ の水が管の中を速さ $v$ で流れている。水の静止系で光の速さは $c/n$ である。実験室で、流れと同じ向きに進む光の速さを$v$ の1次まで求め、$u\simeq c/n+v\,(1-1/n^2)$ となることを示せ。$n=1.333$ のときの係数 $1-1/n^2$ の値を求めよ。
3. 2.3-3 命題 2.2 の式 (2.22) を、$x$ 軸に沿った運動（$u_y=u_z=0$）の場合に(2.19) から直接導け。
4. 2.3-4 $K'$ に静止した光源が全方向に一様に光を出す。$K'$ の速さは $\beta=0.99$ である。$K$ で、光の半分が入る前方の円錐の半頂角を度で求めよ。