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Minkowski 図

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第3章 時空図と不変間隔
目次
  1. 事象と世界線
  2. 動く系の座標軸
  3. 目盛りの双曲線
  4. 図で読む時間の遅れ
  5. 確認テスト
  6. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対論入門　第3章 §3.1　★★★ Lorentz 変換を「斜めに傾いた座標軸」として図で読む方法。以後の時空の議論はすべてこの図の上で行う

第2章（§2.1）では、慣性系 KK と、それに対して速度 vx^v\hat{\bm{x}} で動く慣性系の座標の関係を導いた。動く系を K′K' と書く。2つの系の座標は次の式で結ばれる。

ct′=γ(ct−βx),x′=γ(x−βct),y′=y,z′=z(3.1)ct'=\gamma(ct-\beta x),\qquad x'=\gamma(x-\beta ct),\qquad y'=y,\qquad z'=z\tag{3.1}

ここで β=v/c\beta=v/c、γ=(1−β2)−1/2\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2} である。同じ章では、この変換から時間の遅れ、長さの収縮、速度の合成則が出ることも確かめた。

ただし式 (3.1) を代数的に操作するだけでは、2つの系の見え方の関係が頭に入りにくい。「動く時計が遅れる」と「止まっている時計も相手からは遅れて見える」が両立する理由を、式だけで納得するのは難しい。

この章では、時間と空間を1枚の平面に描く Minkowski 図を導入し、Lorentz 変換を図の上の座標軸の取り替えとして読む。次に、どの慣性系で測っても同じ値になる量（不変間隔）を見つけ、それを使って2つの事象の関係を時間的・空間的・光的の3種類に分ける。この分類から、原因と結果の順序がどの慣性系でも入れ替わらないことが従う。

さらに、世界線に沿って測る時間（固有時）を定義し、双子のパラドックスとはしごと車庫のパラドックスを図の上で解決する。最後に、光源が動くときに振動数が変わる Doppler 効果を、縦方向と横方向の両方について導く。

ここで作る道具のうち、不変間隔は第4章で Minkowski 計量 ημν\eta_{\mu\nu} による内積として一般化される。固有時は第5章で4元速度を定義するときの時間の変数になり、第7章の重力による時間の遅れや、第9章の測地線（固有時が停留する世界線）でも中心的な役割を担う。

事象と世界線

相対論では、「いつ・どこで」起きたかを指定された出来事を事象と呼ぶ。ある慣性系 KK では、事象は4つの数 (ct,x,y,z)(ct,x,y,z) で表される。時間に光速 cc を掛けて長さの次元にそろえておくと、時間と空間を同じ目盛りで描くことができる。

この章では、運動を xx 方向に限り、y,zy,z は描かない。横軸に xx、縦軸に ctct をとった平面を Minkowski 図（時空図）と呼ぶ。名前は H. Minkowski に由来する。

粒子は各時刻にある位置にいるので、時空図の上では1本の曲線を描く。これを粒子の世界線と呼ぶ。KK で静止している粒子の世界線は縦軸に平行な直線 x=一定x=\text{一定} である。一定の速度 uu で動く粒子の世界線はx=x0+utx=x_0+ut、すなわち

ct=cu(x−x0)(3.2)ct=\frac{c}{u}(x-x_0)\tag{3.2}

である。図の上での傾き（縦の増分を横の増分で割ったもの）は c/uc/u になる。

光の世界線は u=±cu=\pm c なので、傾きは ±1\pm1 である。すなわち光の世界線は座標軸と45°をなす直線である。速さが cc より小さい粒子の世界線は、どの点でも光の世界線より縦軸に近い側（傾きの絶対値が1より大きい）を通る。

動く系の座標軸

KK の時空図の上に、K′K' の座標軸を描き込むことを考える。この系の時間軸（ct′ct' 軸）とは、原点にいる観測者の世界線のことであり、その上では x′=0x'=0 である。式 (3.1) の x′=γ(x−βct)=0x'=\gamma(x-\beta ct)=0 から

ct′軸:ct=xβ(3.3)ct'\text{軸}:\quad ct=\frac{x}{\beta}\tag{3.3}

を得る。これは速度 vv で動く点の世界線であり、傾き 1/β1/\beta の直線である。

一方、空間軸（x′x' 軸）とは、動く系で時刻 t′=0t'=0 となる事象の集合である。つまり K′K' の観測者にとっての「同時刻線」である。ct′=γ(ct−βx)=0ct'=\gamma(ct-\beta x)=0 から

x′軸:ct=βx(3.4)x'\text{軸}:\quad ct=\beta x\tag{3.4}

となる。これは傾き β\beta の直線である。

2本の軸の傾きを比べる。角度を

α=arctan⁡β\alpha=\arctan\beta

と置くと、ct′ct' 軸は縦軸から角度 α\alpha だけ右へ倒れている。x′x' 軸は横軸から同じ角度だけ上へ持ち上がっている。2本の軸は光の世界線 ct=xct=x を挟んで鏡映の位置にある。β→1\beta\to1 の極限では、2本の軸はともに光の世界線に近づいて重なる。

K′K' の同時刻線は x′x' 軸に平行な直線であり、次の式で表される。

ct−βx=一定ct-\beta x=\text{一定}

KK の同時刻線は横軸に平行なので、2つの系で同時刻線が異なる向きを持つ。これが第1章 §1.4 で見た同時の相対性の図の上での表れである。KK で同時（同じ高さ）の2つの事象を、β>0\beta>0 の動く系から見る。この系では右側の事象のほうが ct′ct' が小さくなり、先に起きたことになる。

ある事象 EE の K′K' での座標は、斜交座標の読み方で図から読める。

  • ct′ct' を読むには、事象を通って x′x' 軸に平行な直線を引く。それが ct′ct' 軸と交わる点の目盛りが ct′ct' である。
  • x′x' を読むには、事象を通って ct′ct' 軸に平行な直線を引く。それが x′x' 軸と交わる点の目盛りが x′x' である。

目盛りの双曲線

軸の向きが分かっても、K′K' の軸の上の目盛りの間隔は KK の軸の目盛りと同じではない。目盛りを決めるために、2次元の量 (ct)2−x2(ct)^2-x^2 を Lorentz 変換で書き直してみる。式 (3.1) から

(ct′)2−(x′)2=γ2[(ct−βx)2−(x−βct)2]=γ2[(ct)2−2βct x+β2x2−x2+2βx ct−β2(ct)2]=γ2(1−β2)[(ct)2−x2]=(ct)2−x2\begin{align*}(ct')^2-(x')^2 &=\gamma^2\bigl[(ct-\beta x)^2-(x-\beta ct)^2\bigr]\\&=\gamma^2\bigl[(ct)^2-2\beta ct\,x+\beta^2x^2-x^2+2\beta x\,ct-\beta^2(ct)^2\bigr]\\&=\gamma^2(1-\beta^2)\bigl[(ct)^2-x^2\bigr]=(ct)^2-x^2\tag{3.5}\end{align*}

となる。最後に γ2(1−β2)=1\gamma^2(1-\beta^2)=1 を使った。(ct)2−x2(ct)^2-x^2 は Lorentz 変換で値を変えない。この性質は次の節で4次元に拡張し、不変間隔と呼ぶ。

したがって、次の双曲線（ct>0ct>0 の枝）の上の点は、K′K' でも同じ形の式を満たす。

(ct)2−x2=a2⟺(ct′)2−(x′)2=a2.(ct)^2-x^2=a^2\quad\Longleftrightarrow\quad(ct')^2-(x')^2=a^2 .

ct′ct' 軸の上では x′=0x'=0 である。したがってこの双曲線と時間軸の交点では ct′=act'=a となる。つまり2つの系の時間軸の上で、「時刻 a/ca/c」の目盛りは同じ双曲線の上に並ぶ。実際に交点を求めるには、ct=x/βct=x/\beta を双曲線の式に代入する。結果は

(ct,x)=(γa, γβa)(3.6)(ct,x)=(\gamma a,\ \gamma\beta a)\tag{3.6}

となる。動く系の時間軸の目盛り ct′=act'=a は、静止系の目盛り ct=act=a より高い位置に来る。γ>1\gamma>1 だからである。

空間軸の目盛りも同様に決まる。x′=ax'=a の目盛りは、次の双曲線と x′x' 軸の交点にある。

x2−(ct)2=a2x^2-(ct)^2=a^2

その位置は

(ct,x)=(γβa, γa)(ct,x)=(\gamma\beta a,\ \gamma a)

である。

図

図 3.1　β=0.5\beta=0.5 の Minkowski 図。黒が KK の軸、青が K′K' の軸、灰の破線が光の世界線。赤の双曲線 (ct)2−x2=1,4(ct)^2-x^2=1,4 と x2−(ct)2=1,4x^2-(ct)^2=1,4 が、どちらの系でも目盛り 1,21,2 の位置を与える。青の点線は K′K' の同時刻線 ct′=1ct'=1（x′x' 軸に平行）である。

図で読む時間の遅れ

図 3.1 から、第2章の時間の遅れを読み直すことができる。

K′K' の原点にある時計が ct′=1ct'=1 を指す事象を考える。この事象は、KK の図の上で高さ ct=γct=\gamma の点にある。KK の同時刻線（水平線）で比べると、動く時計が1目盛り進む間に、静止した時計は γ\gamma 目盛り進んでいる。KK から見て K′K' の時計は遅れる。

逆に、KK の原点の時計が ct=1ct=1 を指す事象を考える。座標は (ct,x)=(1,0)(ct,x)=(1,0) である。K′K' の同時刻線は x′x' 軸に平行な斜めの線である。そこで、この事象を通る同時刻線と ct′ct' 軸の交点で、K′K' の時刻を読む。式 (3.1) からその時刻は

ct′=γ(1−0)=γct'=\gamma(1-0)=\gamma

である。動く時計が γ\gamma 進んだときに、KK の時計は1しか進んでいない。

K′K' から見ても KK の時計は遅れる。2つの主張が矛盾しないのは、「同時に比べる」ときの同時刻線が2つの系で違う向きを持つからである。図の上では、水平な線で比べるか斜めの線で比べるかの違いとして見えている。

例題 3.1　斜交座標で事象の座標を読む ★★

オリジナル系 K′K' は系 KK に対して、横軸の正の向きへ動いている。その速さは β=0.6\beta=0.6 である。静止系で座標が (ct,x)=(5,4)(ct,x)=(5,4) の事象 EE がある（単位はメートル）。

  1. EE の K′K' での座標を式 (3.1) で求めよ。
  2. 図の上で、EE を通って x′x' 軸に平行な直線を引く。この直線が ct′ct' 軸と交わる点の、KK での座標を求めよ。さらに、目盛りの双曲線がその点で ct′ct' の値を与えることを確かめよ。
  3. (ct)2−x2(ct)^2-x^2 と (ct′)2−(x′)2(ct')^2-(x')^2 が等しいことを確かめよ。
解答
  1. γ=(1−0.36)−1/2=1/0.8=1.25\gamma=(1-0.36)^{-1/2}=1/0.8=1.25 である。式 (3.1) から

ct′=1.25 (5−0.6×4)=1.25×2.6=3.25,x′=1.25 (4−0.6×5)=1.25×1=1.25.ct'=1.25\,(5-0.6\times4)=1.25\times2.6=3.25,\qquad x'=1.25\,(4-0.6\times5)=1.25\times1=1.25 . 2. x′x' 軸に平行な直線は ct−0.6x=一定ct-0.6x=\text{一定} の形をしている。EE を通るので定数は 5−2.4=2.65-2.4=2.6 である。ct′ct' 軸は ct=x/0.6ct=x/0.6 なので、これと連立して解く。

x0.6−0.6x=2.60.640.6 x=2.6（1/0.6−0.6=(1−0.36)/0.6 を使った）\begin{aligned}\frac{x}{0.6}-0.6x&=2.6\\ \frac{0.64}{0.6}\,x&=2.6 &&\text{（}{1/0.6-0.6=(1-0.36)/0.6}\text{ を使った）}\end{aligned}

これより

x=2.6×0.60.64=2.4375,ct=2.43750.6=4.0625.x=2.6\times\frac{0.6}{0.64}=2.4375,\qquad ct=\frac{2.4375}{0.6}=4.0625 .

この点は ct′ct' 軸の上にあるので、その ct′ct' の値は次の双曲線から読む。

(ct)2−x2=(ct′)2(ct)^2-x^2=(ct')^2

実際に左辺を計算すると

(4.0625)2−(2.4375)2=16.504−5.941=10.5625=(3.25)2(4.0625)^2-(2.4375)^2=16.504-5.941=10.5625=(3.25)^2

となり、(1) の ct′=3.25ct'=3.25 に一致する。3. 2つの量はどちらも9で等しい。

(ct)2−x2=25−16=9,(ct′)2−(x′)2=10.5625−1.5625=9.(ct)^2-x^2=25-16=9,\qquad (ct')^2-(x')^2=10.5625-1.5625=9 .

確認テスト

オリジナル

  1. 3.1-1 β=0.8\beta=0.8 とする。次の2つの角度を求めよ。

    • ct′ct' 軸が ctct 軸となす角度。
    • x′x' 軸が xx 軸となす角度。

  2. 3.1-2 x′x' 軸の上の目盛り x′=ax'=a を考える。この目盛りが、静止系の図の上の次の点にあることを式 (3.1) から示せ。

(ct,x)=(γβa, γa)(ct,x)=(\gamma\beta a,\ \gamma a)

さらに、この点が双曲線 x2−(ct)2=a2x^2-(ct)^2=a^2 の上にあることを確かめよ。3. 3.1-3 K′K' で静止した長さ L0L_0 の棒がある。棒は x′=0x'=0 から x′=L0x'=L_0 までを占める。静止系の同時刻線 ct=0ct=0 の上で、棒の両端の xx 座標を求めよ。それを使って、KK で測った棒の長さが L0/γL_0/\gamma になることを示せ。図の上では何と何の交点を見ていることになるかも述べよ。4. 3.1-4 K′K' の速さを β=0.5\beta=0.5 とする。KK で同時の2事象を次のようにとる。

A:(ct,x)=(2,0),B:(ct,x)=(2,3)A:(ct,x)=(2,0),\qquad B:(ct,x)=(2,3)

この2事象の K′K' での時刻差 ctB′−ctA′ct'_B-ct'_A を求めよ。どちらが先に起きたことになるか。

木下の勉強ステータス

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