不変間隔と光円錐

相対論入門　第3章 §3.2　★★★ どの慣性系でも値が同じになる「間隔」と、それによる事象の関係の3分類。因果律が相対論と両立する理由

不変間隔

2つの事象 $P_1=(ct_1,x_1,y_1,z_1)$ と $P_2=(ct_2,x_2,y_2,z_2)$ を考える。座標差を $\Delta t=t_2-t_1$、$\Delta x=x_2-x_1$ などと書く。

記号 $\Delta s^2$ は「ある量 $\Delta s$ の2乗」という意味ではなく、1つの量の名前である。この量は負にもなりうる。符号の約束は計量 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ に従っており、時間方向に離れた事象で正になる。

証明

Lorentz 変換 (3.1) は座標について線形で、定数項を含まない。そのため座標差も同じ式で変換される。

$$c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta\Delta x),\qquad \Delta x'=\gamma(\Delta x-\beta c\Delta t),\qquad \Delta y'=\Delta y,\qquad \Delta z'=\Delta z .$$

前の節の式 (3.5) の計算で、$(ct,x)$ を $(c\Delta t,\Delta x)$ に置き換える。すると

$$(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2$$

を得る。$y,z$ 方向の差は変わらないので、両辺から $(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$ を引いて主張を得る。

任意の向きのブーストは、空間の回転で $x$ 方向のブーストに直し、もう一度回転で戻すことで作れる。空間の回転は $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$ と $\Delta t$ を変えないので、間隔は任意の向きのブーストと回転を組み合わせた変換でも不変である。第4章では、間隔を保つ線形変換の全体として Lorentz 変換をあらためて定義する。

時間的・空間的・光的

間隔の符号は慣性系によらないので、2事象の関係を符号で分類することができる。

事象 $P_1$ を原点に置き、$\Delta s^2=0$ を満たす点の集合を考える。

$$c^2t^2=x^2+y^2+z^2$$

この集合は、空間の次元を1つ落として描くと円錐になる。これを $P_1$ の光円錐と呼ぶ。$t>0$ の側が未来の光円錐、$t<0$ の側が過去の光円錐である。

光円錐で仕切られた3つの領域には、次の名前がついている。

• 光円錐の内側（時間的に離れた点）のうち $t>0$ の部分を $P_1$ の未来と呼ぶ。
• 同じく内側のうち $t<0$ の部分を過去と呼ぶ。
• 光円錐の外側（空間的に離れた点）をよそ（elsewhere）と呼ぶことがある。

時間的に離れた2事象と、空間的に離れた2事象では、慣性系を取り替えたときに許される見え方が異なる。次の2つの命題でそれを確かめる。

証明

空間の回転で $\Delta y=\Delta z=0$ にとってよい。このとき時間的という条件は $\left\vert c\Delta t\right\vert >\left\vert \Delta x\right\vert$ である。

1. $K'$ での時間差は $c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta\Delta x)$ である。$\left\vert \beta\right\vert <1$ なので

$$\left\vert \beta\Delta x\right\vert <\left\vert \Delta x\right\vert <\left\vert c\Delta t\right\vert$$

となり、括弧の中の符号は $c\Delta t$ の符号と同じになる。$\gamma>0$ なので、2つの系の時間差は同符号である。2. $\beta=\Delta x/(c\Delta t)$ ととる。$\left\vert \beta\right\vert <1$ なので、これは許される速度である。この系では $\Delta x'=\gamma(\Delta x-\beta c\Delta t)=0$ となる。間隔の不変性から $(c\Delta t')^2=\Delta s^2$ である。

証明

同じく $\Delta y=\Delta z=0$ とし、空間的という条件 $\left\vert \Delta x\right\vert >\left\vert c\Delta t\right\vert$ を使う。

1. $\beta=c\Delta t/\Delta x$ とすると $\left\vert \beta\right\vert <1$ である。このとき

$$c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta\Delta x)=0$$

となる。不変性から $-(\Delta x')^2=\Delta s^2$ である。2. $c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta\Delta x)$ は $\beta$ の1次関数である。括弧の中は $\beta=c\Delta t/\Delta x$ で0を横切る。この値の絶対値は1より小さい。そこで $\beta$ を、この値と $\pm1$ のあいだにとる。符号は $\Delta x$ と同じ側を選ぶ。すると $\Delta t'$ は $\Delta t$ と逆の符号になる。

因果律

ある事象 $P_1$ が別の事象 $P_2$ の原因になるには、前者から後者へ何らかの信号が届かなければならない。信号の速さが $c$ を超えないとする。このとき $P_2$ は、$P_1$ から見て未来の光円錐の内側か上にある。

このとき2事象は時間的か光的に離れている。

時間的なら、命題 3.4 から、すべての慣性系で $P_1$ が先に起きる。光的な場合は $\left\vert \Delta x\right\vert =\left\vert c\Delta t\right\vert$ である。$\left\vert \beta\right\vert <1$ と合わせて同じ議論を使うと、やはり時間差の符号は変わらない。原因と結果の順序はどの慣性系でも入れ替わらない。

逆に、空間的に離れた2事象の順序は慣性系によって入れ替わる（命題 3.5）。これは、空間的に離れた2事象のあいだには因果関係がありえないことと両立している。

もし光より速い信号が存在すれば、空間的に離れた2事象のあいだで信号を送れることになり、ある慣性系では「受信が送信より前」に起きてしまう。そうした信号を2回組み合わせると、送信者が自分の過去へ信号を送り返すことができ、矛盾が生じる。特殊相対論が光速を信号の速さの上限とするのはこのためである。

確認テスト

オリジナル

1. 3.2-1 原点の事象 $O$ に対して、次の3つの事象がそれぞれ時間的・空間的・光的のどれに当たるかを答えよ。

$$P:(ct,x,y,z)=(5,3,0,0),\qquad Q:(3,2,2,1),\qquad R:(2,1,2,0)$$ 2. 3.2-2 静止系で、時間差が $c\Delta t=10\,\mathrm m$、距離が $\Delta x=6\,\mathrm m$ の2事象がある。$y,z$ 方向の差は0とする。2事象が同じ場所で起きる慣性系の $\beta$ と、その系での時間差 $c\Delta t'$ を求めよ。3. 3.2-3 間隔の不変性は、ブーストを2回続けた変換でも成り立つことを示せ。さらに、2回のブーストを続けた変換を考える。向きはどちらも同じで、速度は1回目が $\beta_1$、2回目が $\beta_2$ とする。これが次の速度の1回のブーストと一致することを、$ct''$ の式を比べて確かめよ。

$$\beta_3=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$ 4. 3.2-4 光的に離れた2事象（$\Delta s^2=0$、$\Delta t>0$）を考える。どの慣性系でも $\Delta t'>0$ となることを示せ。さらに、$\beta\to1$ の極限で $\Delta t'$ がどうなるかを調べよ。場合は2つあり、$\Delta x=c\Delta t$ の場合と $\Delta x=-c\Delta t$ の場合である。