固有時と双子のパラドックス

相対論入門　第3章 §3.3　★★★ 世界線に沿って時計が刻む時間。慣性運動の世界線で最大になる性質が双子のパラドックスの答えであり、のちに測地線の定義になる

固有時

時計を持って運動する観測者を考える。その時計が刻む時間は、観測者の世界線だけで決まり、どの慣性系で記述するかにはよらないはずである。この時間を間隔から作る。

時計の世界線の上の隣り合う2事象を考える。ある瞬間に時計とともに動く慣性系（瞬間静止系）では、2事象は同じ場所で起き、時計はその時間差 $\mathrm{d} t_0$ を刻む。命題 3.4 から $c\,\mathrm{d} t_0=\mathrm{d} s$ である。$\mathrm{d} s$ は不変量なので、どの慣性系で計算しても同じ値になる。

固有時の要素 (3.8) は加速度を含まない。時計の進み方は、その瞬間の速さだけで決まると仮定している。この仮定を時計の仮説と呼ぶ。原子の振動のように、時計の内部の時間の尺度に比べて加速度による速さの変化がゆっくりな場合には、この仮説が実験とよく合うことが確かめられている。

$u$ が一定なら、式 (3.9) は次の形になる。

$$\tau=\frac{\Delta t}{\gamma_u},\qquad \gamma_u=\Bigl(1-\frac{u^2}{c^2}\Bigr)^{-1/2}$$

これは第2章 §2.2 の時間の遅れである。

慣性運動の世界線は固有時を最大にする

2つの事象 $P$、$Q$ が時間的に離れているとき、2事象を結ぶ時間的な世界線はたくさんある。そのうち $P$ から $Q$ へ一定の速度で進む直線の世界線（慣性運動）が特別な性質を持つ。

証明

命題 3.4 から、2事象が同じ場所で起きる慣性系が存在する。これを $K_0$ と書く。$K_0$ では、直線の世界線は空間の1点に静止する世界線である。その固有時は座標の時間差 $T=t_Q-t_P$ に等しい。

2事象を結ぶ別の時間的な世界線を、$K_0$ で $\bm{x}(t)$ と書く。その固有時は

$$\tau=\int_{t_P}^{t_Q}\sqrt{1-\frac{u(t)^2}{c^2}}\,\mathrm{d} t\le\int_{t_P}^{t_Q}\mathrm{d} t=T$$

である。被積分関数は1以下である。

等号が成り立つのは、すべての $t$ で $u(t)=0$ のときに限る。つまり世界線が $K_0$ で静止した直線のときである。

実際、$u$ が連続なら、どこかで $u\ne0$ となる区間がある限り、そこで被積分関数は1より真に小さい。そのため積分も真に小さくなる。固有時は不変量なので、この大小関係はどの慣性系で見ても同じである。

Euclid 平面では、2点を結ぶ曲線のうち直線が最も短い。時空では直線が最も長い固有時を与える。この向きの違いは、間隔 (3.7) の空間部分が負の符号を持つことによる。空間方向に寄り道するほど $\mathrm{d} s$ は小さくなる。

一方、固有時の下限は存在しない。光の世界線に沿ってジグザグに進む世界線の固有時は、いくらでも0に近づけることができる（確認テスト 3.3-3）。

この定理は、第9章で測地線（自由落下する粒子の世界線）を「固有時が停留する世界線」として定めるときの出発点になる。固有時の作用 $-mc\int\mathrm{d} s$ から運動方程式を導く道は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第3章で扱っている。

双子のパラドックス

双子の兄は地球に残り、弟は宇宙船で遠くの星まで行って戻ってくる。地球の系 $K$ から見ると弟の時計は遅れるので、再会したとき弟のほうが若い。ところが弟の宇宙船から見ると地球が動いているので、兄の時計が遅れ、兄のほうが若くなるようにも思える。これが双子のパラドックスである。

答えは定理 3.7 にある。兄の世界線は出発と再会の2事象を結ぶ直線（慣性運動）であり、弟の世界線は途中で向きを変える折れ線である。

2人の状況は対称ではない。弟は折り返しのときに加速度を受け、1つの慣性系に留まっていない。直線の世界線の固有時が最も長いので、兄のほうが年をとる。

弟の立場から何が起きているかを見るには、往路の慣性系と復路の慣性系の同時刻線の違いを調べればよい。具体的な数値で追ってみる。

確認テスト

オリジナル

1. 3.3-1 旅客機が地上に対して 250 m/s で40時間飛ぶとき、機内の時計が地上の時計に比べてどれだけ遅れるかを、$\beta^2/2$ までの近似で見積もれ（重力の影響は第7章で扱うので、ここでは無視する。地球の自転も無視する）。
2. 3.3-2 円形の蓄積リングを $\gamma=29.3$ で周回するミューオンの寿命を、リングの系で測ると何 $\mu$s になるか。静止したミューオンの寿命は $2.197\,\mu$s とする。等速円運動で加速度があっても、式 (3.9) がそのまま使えることを時計の仮説と結びつけて述べよ。
3. 3.3-3 事象 $P=(0,0)$ と $Q=(cT,0)$ を結ぶ世界線として、次のものを考える。速さ $u$ で $x$ 方向へ進んでから戻る。進む時間は $T/(2N)$ で、この往復を $N$ 回繰り返す。固有時を求め、$u\to c$ でいくらでも0に近づくことを示せ。$N$ に依存するか。
4. 3.3-4 例題 3.3 の設定で、弟が星に1.0年間滞在してから戻る場合の、再会時の2人の年齢の進みを求めよ。滞在のあいだ弟は星とともに $K$ で静止しているとする。