確認テストの解答

相対論入門　第2章 §2.6

2.1 の解答

2.1-1　 変換の式は次のとおりである。

$$t'=\gamma\Bigl(t-\frac{vx}{c^2}\Bigr),\qquad x'=\gamma(x-vt)$$

$c\to\infty$ とする。このとき $\beta=v/c\to0$、$\gamma\to1$ となる。$t'$ の式では $vx/c^2$ の項が 0 になる。結果は $t'=t$、$x'=x-vt$ で、Galilei 変換に戻る。

2.1-2　 $\beta=0.8$ なので $\gamma=1/\sqrt{1-0.64}=1/0.6=5/3$ である。

$$ct'=\frac53\,(10-0.8\times6)\ \mathrm m=\frac53\times5.2\ \mathrm m=8.67\ \mathrm m,\qquad x'=\frac53\,(6-0.8\times10)\ \mathrm m=\frac53\times(-2)\ \mathrm m=-3.33\ \mathrm m .$$

$(ct)^2-x^2$ を2つの系で比べると、次のように一致する。

$$\begin{aligned}K&:\ (ct)^2-x^2=100-36=64\ \mathrm{m^2},\\ K'&:\ (ct')^2-x'^2=(26/3)^2-(10/3)^2=(676-100)/9=64\ \mathrm{m^2}\end{aligned}$$

2.1-3　 $c\,\Delta t'=\gamma(c\,\Delta t-\beta\,\Delta x)=0$ から $\beta=c\,\Delta t/\Delta x=3/5=0.6$ である。$\gamma=1.25$ で、その系での距離は

$$\Delta x'=\gamma\,(\Delta x-\beta\,c\,\Delta t)=1.25\,(5-0.6\times3)\ \mathrm{km}=1.25\times3.2\ \mathrm{km}=4\ \mathrm{km}$$

である。不変量からも確かめられる。$\Delta t'=0$ なので、次が成り立つ。

$$-(\Delta x')^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=9-25=-16\ \mathrm{km^2}$$

したがって $\Delta x'=4\ \mathrm{km}$ である。

2.1-4　 連立方程式

$$ct'=\gamma\,ct-\gamma\beta\,x,\qquad x'=-\gamma\beta\,ct+\gamma\,x$$

の係数行列は $L(\beta)$ で、その行列式は $\gamma\cdot\gamma-(-\gamma\beta)(-\gamma\beta)=\gamma^2(1-\beta^2)=1$ である。$2\times2$ 行列の逆行列の公式 $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{smallmatrix}d&-b\\-c&a\end{smallmatrix}\right)$ を使うと

$$L(\beta)^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta\\ \gamma\beta & \gamma\end{pmatrix}$$

となり、$ct=\gamma\,ct'+\gamma\beta\,x'=\gamma(ct'+\beta x')$、$x=\gamma\beta\,ct'+\gamma\,x'=\gamma(x'+\beta\,ct')$ を得る。これは (2.13) と同じである。

2.2 の解答

2.2-1　 腕時計の時間が固有時である。2つの事象（駅を通過する瞬間）は、列車の系では腕時計と同じ場所で起きるので、1個の時計で測れる。地上では2つの事象は別の場所で起き、駅の2つの時計を使う。(2.16) により地上の時計で測った時間の方が $\gamma$ 倍長い。

2.2-2　 $\gamma=1/\sqrt{1-0.99^2}=1/\sqrt{0.0199}=7.09$ である。平均の距離は

$$\gamma\beta c\tau_0=7.09\times0.990\times2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}\times26.0\times10^{-9}\ \mathrm s=54.7\ \mathrm m$$

である。時間の遅れが無ければ $\beta c\tau_0=7.72\ \mathrm m$ で、その $7.09$ 倍になる。

2.2-3　 $K'$ での棒の成分は次のとおりである。

$$L'_x=1.00\cos60^\circ=0.500\ \mathrm m,\qquad L'_y=1.00\sin60^\circ=0.866\ \mathrm m$$

$\gamma=5/3$ で、縮むのは $x$ 成分だけである。

$$L_x=\frac{0.500}{\gamma}=0.300\ \mathrm m,\qquad L_y=0.866\ \mathrm m$$

長さは

$$L=\sqrt{0.300^2+0.866^2}\ \mathrm m=\sqrt{0.090+0.750}\ \mathrm m=0.917\ \mathrm m ,$$

$x$ 軸となす角は $\arctan(0.866/0.300)=70.9^\circ$ である。棒は短くなり、運動に垂直な向きへ起き上がって見える。

2.2-4　 2つの事象の $K$ での座標 $(t,x)$ は、次のとおりである。

$$(0,0),\qquad (T,0)$$

(2.12) から、$K'$ での時刻は次のようになる。

$$t'_1=0,\qquad t'_2=\gamma(T-v\cdot0/c^2)=\gamma T$$

差は $\gamma T$ である。$K$ の時計はその原点に固定されているので、$T$ は固有時である。$K'$ の時計の列は、それより長い $\gamma T$ を測る。$K'$ から見ても動く時計（$K$ の時計）が遅れている。

$K'$ の原点にある時計を考える。この時計が、$K'$ で2つ目の事象と同時刻 $t'=\gamma T$ を指す事象に注目する。その事象の $K$ での座標は、(2.13) から次のようになる。

$$t=\gamma(\gamma T+0)=\gamma^2T,\qquad x=\gamma v\cdot\gamma T$$

$K$ で見ると、この事象は2つ目の事象と同時刻でない。$\gamma^2T-T=\gamma^2\beta^2T$ だけ後にある。

$K'$ の原点の時計を $K$ の立場で見る。時刻 $\gamma^2T$ に、この時計は $\gamma T$ を指している。すなわちこちらの立場では、$K'$ の時計が $1/\gamma$ 倍に遅れている。「どちらの時計が遅れるか」は、どの事象どうしを「同時」として比べるかで決まり、その同時刻が系によって違うので、2つの主張は矛盾しない。

2.3 の解答

2.3-1　 (2.21) から $u=(0.9+0.9)c/(1+0.81)=1.8c/1.81=0.9945c$ である。

2.3-2　 水の静止系を $K'$ とする。$K'$ での光の速度は $u'=c/n$ である。$K'$ は実験室に対して速さ $v$ で動く。(2.21) から

$$u=\frac{c/n+v}{1+v/(nc)}.$$

$v/c$ の1次まで展開すると、$(1+v/(nc))^{-1}\simeq1-v/(nc)$ なので

$$u\simeq\left(\frac cn+v\right)\left(1-\frac{v}{nc}\right)=\frac cn+v-\frac{v}{n^2}-\frac{v^2}{nc}\simeq\frac cn+v\left(1-\frac1{n^2}\right)$$

である（最後に $v^2$ の項を落とした）。$n=1.333$ では $1-1/n^2=1-0.5628=0.437$ である。流れの速さのうち約44% だけが光に上乗せされる。この係数は Fresnel の随伴係数と呼ばれ、1851年に H. Fizeau が流水中の光の実験で観測した。

2.3-3　 $u_y=u_z=0$ では、$u=\left\vert u_x\right\vert$ である。同様に $u'=\left\vert u'_x\right\vert$ である。$D=1-vu_x/c^2$ として

$$c^2D^2-(u_x-v)^2=c^2-2vu_x+\frac{v^2u_x^2}{c^2}-u_x^2+2vu_x-v^2=c^2-u_x^2-v^2+\frac{u_x^2v^2}{c^2}=c^2\Bigl(1-\frac{u_x^2}{c^2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr).$$

左辺は $c^2D^2(1-u'^2_x/c^2)$ である。$c^2D^2$ で割れば

$$1-\frac{u'^2}{c^2}=\frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{D^2}$$

である。

2.3-4　 $K'$ で光源から見て前半分（$\alpha'\le 90^\circ$ の向き）に出た光が、全体の半分である。光の進む向きが運動方向の軸となす角を考える。この角を $K'$ では $\psi'$ と書く。$K$ では $\psi$ と書く。

進む向きは $\bm{u}/c$ で表される。(2.19) の逆変換

$$u_x=\frac{u'_x+v}{1+vu'_x/c^2}$$

に $u'_x=c\cos\psi'$ を入れると、次を得る。

$$\cos\psi=\frac{\cos\psi'+\beta}{1+\beta\cos\psi'}$$

$\psi'=90^\circ$ では $\cos\psi=\beta$ である。したがって $\sin\psi=\sqrt{1-\beta^2}=1/\gamma$ となる。$\beta=0.99$ では $\gamma=7.09$ で

$$\psi=\arcsin\frac{1}{7.09}=\arcsin0.141=8.11^\circ$$

である。光の半分が半頂角約 $8^\circ$ の円錐に集まる。

2.4 の解答

2.4-1　 (2.27) から $\theta=\frac12\ln\frac{1.5}{0.5}=\frac12\ln3=0.5493$ である。$\cosh\theta=(\mathrm{e}^{\theta}+\mathrm{e}^{-\theta})/2=(\sqrt3+1/\sqrt3)/2=2/\sqrt3=1.1547$ で、$\gamma=1/\sqrt{1-0.25}=2/\sqrt3$ と一致する。

2.4-2　 $\tanh\theta=(\mathrm{e}^{\theta}-\mathrm{e}^{-\theta})/(\mathrm{e}^{\theta}+\mathrm{e}^{-\theta})=(\mathrm{e}^{2\theta}-1)/(\mathrm{e}^{2\theta}+1)=\beta$ を $\mathrm{e}^{2\theta}$ について解く。$\mathrm{e}^{2\theta}-1=\beta\,\mathrm{e}^{2\theta}+\beta$ から

$$\mathrm{e}^{2\theta}=\frac{1+\beta}{1-\beta},\qquad \theta=\frac12\ln\frac{1+\beta}{1-\beta}$$

である。平方根をとれば $\mathrm{e}^{\theta}=\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$（$\mathrm{e}^\theta>0$ なので正の根）。

2.4-3　 $\theta_1=\frac12\ln\frac{1.6}{0.4}=\frac12\ln4=\ln2=0.6931$、$\theta_2=\frac12\ln\frac{1.8}{0.2}=\frac12\ln9=\ln3=1.0986$ である。和は $\ln6$ で、$\beta=\tanh(\ln6)=(36-1)/(36+1)=35/37=0.9459$ である。合成則では $(0.6+0.8)/(1+0.48)=1.4/1.48=0.9459$ で一致する。

2.4-4　 $\gamma_1=\gamma_2=1.25$、$\gamma_1\beta_1=\gamma_2\beta_2=0.75$ なので、(2.30) は

$$B_yB_x=\begin{pmatrix}1.5625 & -0.9375 & -0.75\\ -0.75 & 1.25 & 0\\ -0.9375 & 0.5625 & 1.25\end{pmatrix}$$

である。次の2組の成分が異なるので、対称でない。

• 第1行第2列は $-0.9375$、第2行第1列は $-0.75$ である。
• 第2行第3列は0、第3行第2列は0.5625である。

$K$ の原点に静止した物体の世界線は $(ct,x,y)=(ct,0,0)$ である。変換後は、行列の第1列に $ct$ を掛けた次の形になる。

$$(1.5625,\,-0.75,\,-0.9375)\,ct$$

速度は $u'_x=c\times(-0.75)/1.5625=-0.48c$、$u'_y=c\times(-0.9375)/1.5625=-0.60c$ である。速さは $\sqrt{0.48^2+0.60^2}\,c=0.768c$ である。これは $\gamma=1.5625$ から求めた $\sqrt{1-1/1.5625^2}=0.768$ と整合する。(2.31) から回転の角は $\cos\omega=2.5/2.5625=0.9756$、$\omega=12.7^\circ$ である。