この章のまとめ

相対論入門　第2章 §2.5

この章では、時空の一様性から変換が線形であること、空間の等方性と相対性原理から運動に垂直な座標が変わらず$x'=\gamma(x-vt)$ の形になることを示し、最後に光速不変の原理で $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ を決めてLorentz 変換 (2.12) を得た。この変換は $(ct)^2-x^2-y^2-z^2$ を保ち (2.14)、$c\to\infty$ で Galilei 変換に戻る。

同じ変換を、2通りの事象の組に使った。

• $K'$ で同じ場所の2事象に使うと、時間の遅れ $\Delta t=\gamma\Delta\tau$ (2.16) が出る。
• $K$ で同じ時刻の2事象に使うと、長さの収縮 $L=L_0/\gamma$ (2.17) が出る。

宇宙線のミューオンが地表に届くことは、地表の系では時間の遅れで、ミューオンの系では長さの収縮で説明できる。2つの説明は同じ確率を与える。

変換を微分の比に使うと、速度の変換 (2.19)・(2.20) が得られる。そこから、光速未満の速さが光速未満のまま保たれること (2.22) と、光行差 (2.23) が導かれた。最後に、ブーストを双曲線回転 $B(\theta)$ と見ると、同じ向きのブーストの合成はラピディティの足し算 (2.28) になり、向きの異なるブーストの合成には Thomas–Wigner 回転が加わることを見た。

次の第3章では、Lorentz 変換を Minkowski 図の上に描き、$K'$ の時間軸と同時刻線が $K$ の図の中でどう傾くか、不変間隔 (2.14) が光円錐と因果の区別をどう与えるかを調べる。この章の時間の遅れは第3章 §3.3 で固有時の積分として一般の世界線に拡がり、双子のパラドックスの解決に使われる。第4章では行列 $L(\beta)$ を添字で書いた $\Lambda^\mu{}_\nu$ に置き換え、4元ベクトルの変換則として整理する。電磁場の変換への応用は『電磁気学入門』第10章 §10.5 にある。