添字の記法と計量

相対論入門　第4章 §4.1　★★★ 上付き・下付きの添字と総和規約は、以後のすべての式の書き方の規則になる

第2章で導いた Lorentz 変換は、$ct$ と $x$ を混ぜる線形変換であった。第3章では、その変換で値を変えない量として不変間隔

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2\tag{4.1}$$

を見つけた。これから先、エネルギーと運動量、電荷密度と電流密度、電場と磁場のように、Lorentz 変換で互いに混ざり合う量が次々に出てくる。そのたびに $\gamma$ と $\beta$ の入った変換式を個別に書き下していては、式の数が増えるだけで見通しが立たない。

この章では、発想を逆にする。座標と同じ規則で変換する量に「4元ベクトル」という名前を付け、その規則を一度だけ確かめておく。そうしておけば、ある量が4元ベクトルだと分かった時点で変換則は自動的に決まり、内積をとれば不変量が得られる。

2つ以上の添字を持つ量（テンソル）にも同じ考え方を広げる。最後に、場の微分を同じ文法で扱えるようにする。

この章で作る道具の使い道を先に挙げておく。

• 第5章では4元速度と4元運動量を定義し、$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ を4元運動量の内積として読む。
• 第6章では電磁場を反対称テンソル $F^{\mu\nu}$ として扱い、そのエネルギー運動量テンソルを書く。
• 第8章からは計量 $\eta_{\mu\nu}$ を、位置によって変わる $g_{\mu\nu}$ に置き換える。それでも添字の上げ下げ・縮約・テンソルの変換則は、この章の規則がそのまま使われる。

前の章から借りる結果は2つある。1つめは $x$ 方向のブーストである。

$$ct'=\gamma(ct-\beta x),\qquad x'=\gamma(x-\beta ct),\qquad y'=y,\qquad z'=z\tag{4.2}$$

ここで $K'$ 系は、もとの系に対して速度 $v\hat{\bm{x}}$ で動く系である。記号は $\beta=v/c$、$\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ である。2つめは、不変間隔 (4.1) がこの変換で値を変えないことである。

座標と添字

時空の点（事象）を4つの数で指定する。時間の座標に $c$ を掛けて長さの次元にそろえ、

$$x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,\,x,\,y,\,z)\tag{4.3}$$

と書く。添字 $\mu$ は上付きであり、指数ではない。$x^2$ は $y$ 座標のことであり、2乗ではない。2乗を書きたいときは $(x^1)^2$ のように括弧で包む。

添字の文字には次の約束を置く。

• ギリシャ文字 $\mu,\nu,\rho,\sigma,\alpha,\beta,\dots$ は0, 1, 2, 3を動く。
• ラテン文字 $i,j,k,\dots$ は空間の成分1, 2, 3だけを動く。

3次元の位置ベクトルは太字で $\bm{x}=(x^1,x^2,x^3)$ と書く。したがって $x^\mu=(ct,\bm{x})$ である。

ただし $\beta$ と $\gamma$ は、ブーストの速さを表す記号として使い続ける。添字としての $\beta$ は文脈で区別する。この章では添字に $\beta$ を使う箇所でも、ブーストの速さと同じ式には並べない。

計量と不変間隔

不変間隔 (4.1) は、係数 $+1,-1,-1,-1$ を対角に並べた行列

$$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix} =\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\tag{4.4}$$

を使うと、

$$\Delta s^2=\sum_{\mu=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}\eta_{\mu\nu}\,\Delta x^\mu\Delta x^\nu\tag{4.5}$$

と1つの式にまとまる。$\eta_{\mu\nu}$ を Minkowski 計量（または単に計量）と呼ぶ。名前は H. Minkowski に由来する。

(4.5) は、3次元の距離の2乗 $\sum_i(\Delta x^i)^2$ を「長さを測る規則」とみなしたときの4次元版である。時間の方向と空間の方向とで符号が逆になっていることが、Euclid 空間との唯一の違いである。

この符号の付け方 $(+,-,-,-)$ は流儀の1つで、時間的な間隔で $\Delta s^2>0$ になる。逆の流儀 $(-,+,+,+)$ の本では、同じ式の符号がところどころ反転する。式を比べるときは、計量の流儀を先に確かめる必要がある。

総和規約

(4.5) の2つの $\sum$ は、書かなくても添字の形から読み取ることができる。そこで次の約束を置く。

この約束のもとで、(4.5) は次のように書くことができる。

$$\Delta s^2=\eta_{\mu\nu}\Delta x^\mu\Delta x^\nu$$

和をとる添字（この例の $\mu,\nu$）をダミー添字と呼ぶ。ダミー添字は和の変数なので、別の文字に取り替えても式の意味は変わらない。たとえば次の2つは同じ数である。

$$\eta_{\mu\nu}\Delta x^\mu\Delta x^\nu=\eta_{\alpha\beta}\Delta x^\alpha\Delta x^\beta$$

これに対し、項の中に1回だけ現れる添字を自由添字と呼ぶ。自由添字は「この式が $\mu=0,1,2,3$ の4本の式をまとめたものである」ことを表す。

添字の式が正しく書けているかどうかは、次の3つの規則で機械的に点検することができる。

1. 1つの項の中で、同じ添字は2回までしか現れない。2回現れるときは上下に1回ずつである。
2. 等号や和でつながれたすべての項で、自由添字の文字と上下の位置が一致している。
3. ダミー添字の文字は、同じ項の中のほかの添字と重ならないように選ぶ。

例を3つ挙げる。

• $a^\mu=b^\mu c_\nu d^\nu$ は正しい。右辺の $\nu$ はダミー添字で、$\mu$ は両辺で上の自由添字である。
• $a^\mu=b_\mu$ は規則2に反する。
• $a_\mu b^\mu c_\mu$ は規則1に反し、和をどう取るかが決まらない。

添字の上げ下げ

4元ベクトル $a^\mu$ と計量から、下付きの添字を持つ組

$$a_\mu\coloneqq\eta_{\mu\nu}a^\nu=(a^0,\,-a^1,\,-a^2,\,-a^3)\tag{4.6}$$

を作る。$a^\mu$ を反変成分、$a_\mu$ を共変成分と呼ぶ。計量が対角なので、空間成分の符号が反転するだけである。逆に戻すには、$\eta_{\mu\nu}$ の逆行列 $\eta^{\mu\nu}$ を使う。$\eta_{\mu\nu}$ は対角成分が $\pm1$ なので逆行列も同じ成分を持ち、

$$\eta^{\mu\lambda}\eta_{\lambda\nu}=\delta^\mu{}_\nu,\qquad \eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)\tag{4.7}$$

を満たす。ここで $\delta^\mu{}_\nu$ は Kronecker のデルタである。添字が等しいとき1、それ以外で0をとる。(4.7) を使うと、確かにもとの成分に戻る。

$$\eta^{\mu\nu}a_\nu=\eta^{\mu\nu}\eta_{\nu\lambda}a^\lambda=\delta^\mu{}_\lambda a^\lambda=a^\mu$$

最後の等号では、Kronecker のデルタとの縮約が「添字の文字を $\lambda$ から $\mu$ に付け替える」操作になることを使った。

2つの4元ベクトルの内積を

$$a\cdot b\coloneqq\eta_{\mu\nu}a^\mu b^\nu=a_\mu b^\mu=a^\mu b_\mu=a^0b^0-\bm{a}\cdot\bm{b}\tag{4.8}$$

と定める。中央の2つの等号は、(4.6) と、$\eta_{\mu\nu}$ が対称であることから従う。右辺の $\bm{a}\cdot\bm{b}$ は3次元の内積であり、点で書いた4次元の内積とは記号の文脈で区別する。

$a\cdot a$ を $a$ のノルムと呼ぶ。Euclid 空間と違って、ノルムは負にも0にもなりうる。第3章 §3.2 で座標差について述べた分類は、任意の4元ベクトルに対して同じように定める。

• $a\cdot a>0$ なら時間的。
• $a\cdot a=0$ なら光的。
• $a\cdot a<0$ なら空間的。

なぜ2種類の成分が要るのか

上付きと下付きの区別は、計量の符号に由来する技術的な都合に見えるかもしれない。しかし実際には、基底が直交していないときにはいつでも現れる、より一般的な区別である。

図4.1 の2次元の Euclid 平面で、互いに直交しない基底 $\bm{e}_1,\bm{e}_2$ をとる。2種類の成分は次のように読む。

• 反変成分：ベクトルを $\bm{a}=a^1\bm{e}_1+a^2\bm{e}_2$ と書いたときの係数である。基底に平行に射影して読む（平行四辺形の辺の長さ）。
• 共変成分：ベクトルと基底との内積 $a_i\coloneqq\bm{a}\cdot\bm{e}_i$ である。基底に垂直に射影して読む。

2つの組は

$$a_i=\bm{a}\cdot\bm{e}_i=a^j\,\bm{e}_j\cdot\bm{e}_i=g_{ij}\,a^j,\qquad g_{ij}\coloneqq\bm{e}_i\cdot\bm{e}_j\tag{4.9}$$

で結ばれる。基底どうしの内積を並べた行列 $g_{ij}$ が計量であり、添字を下げる操作はこの行列を掛けることにほかならない。正規直交基底では $g_{ij}=\delta_{ij}$ になり、2種類の成分は一致する。3次元の物理で両者を区別しなかったのはこのためである。

Minkowski 時空では、慣性系の基底 $e_0,e_1,e_2,e_3$ は「4次元の内積」(4.8) について互いに直交している。しかし長さの2乗の符号が違い、$e_0\cdot e_0=+1$、$e_i\cdot e_i=-1$ である。そのため $g_{\mu\nu}=e_\mu\cdot e_\nu=\eta_{\mu\nu}$ が単位行列にならず、反変成分と共変成分が空間成分の符号の分だけずれる。

第8章で曲がった時空を扱うと、基底は位置ごとに斜交し、計量 $g_{\mu\nu}$ は対角ですらなくなる。そのときも (4.9) の関係はそのまま成り立つ。

確認テスト

オリジナル

1. 4.1-1 次の式のうち、添字の規則に反しているものを選び、どの規則に反するかを答えよ。

$$\text{(a)}\ a^\mu=\eta^{\mu\nu}b_\nu\qquad \text{(b)}\ a_\mu=b_\mu c^\nu d_\nu\qquad \text{(c)}\ a^\mu=b_\nu c^\nu d^\nu\qquad \text{(d)}\ a_\mu=b^\mu$$ 2. 4.1-2 $a^\mu=(5,\,4,\,0,\,3)$、$b^\mu=(1,\,1,\,1,\,1)$ とする。次の4つの内積を求めよ。

$$a\cdot a,\qquad b\cdot b,\qquad a\cdot b,\qquad (a+b)\cdot(a+b)$$

さらに、次の式が成り立つことを数値で確かめよ。

$$(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+2\,a\cdot b+b\cdot b$$ 3. 4.1-3 $\delta^\mu{}_\nu\delta^\nu{}_\mu$ と $\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\lambda}\eta_{\lambda\rho}\eta^{\rho\mu}$ を求めよ。4. 4.1-4 任意の4元ベクトル $a,b$ について、$a_\mu b^\mu=a^\mu b_\mu$ を証明せよ。計量の対称性 $\eta_{\mu\nu}=\eta_{\nu\mu}$ を使ってよい。