確認テストの解答

相対論入門　第3章 §3.7

1. 3.1-1 $ct'$ 軸は直線 $ct=x/\beta$ である。この軸は縦軸から角度 $\alpha=\arctan\beta$ だけ傾く。$x'$ 軸は直線 $ct=\beta x$ で、横軸から同じ角度だけ傾く。 $\beta=0.8$ では $\alpha=\arctan0.8=38.66^\circ$ である。2本の軸のなす角は $90^\circ-2\times38.66^\circ=12.68^\circ$ まで狭まる。
2. 3.1-2 $x'$ 軸の上の点は $ct'=0$ を満たす。式 (3.1) を逆に解くと（$\beta\to-\beta$ と置き換える）

$$ct=\gamma(ct'+\beta x'),\qquad x=\gamma(x'+\beta ct')$$

である。この2式に $(ct',x')=(0,a)$ を代入すると、問題文の位置 $(\gamma\beta a,\gamma a)$ を得る。このとき

$$x^2-(ct)^2=\gamma^2a^2-\gamma^2\beta^2a^2=\gamma^2(1-\beta^2)a^2=a^2$$

なので、点は双曲線 $x^2-(ct)^2=a^2$ の上にある。3. 3.1-3 棒の両端の世界線は $x'=0$ と $x'=L_0$ である。$x'=\gamma(x-\beta ct)$ に $ct=0$ を代入する。すると $x'=\gamma x$ となる。したがってこの時刻での両端の位置は、$x=0$ と $x=L_0/\gamma$ である。長さは $L_0/\gamma$ である。図の上では、静止系の同時刻線（$x$ 軸）と、棒の両端の世界線の交点を見ている。両端の世界線は $ct'$ 軸に平行な2本の直線である。動く系の同時刻線（$x'$ 軸）の上で測れば長さは $L_0$ である。どちらの同時刻線で切るかによって長さが違う。4. 3.1-4 $\gamma=1/\sqrt{0.75}=1.1547$ である。

$$\begin{aligned}ct'_A&=\gamma(2-0)=2.309,\\ ct'_B&=\gamma(2-0.5\times3)=\gamma\times0.5=0.577,\\ ct'_B-ct'_A&=\gamma(-\beta\times3)=-1.5\gamma=-1.732 .\end{aligned}$$

動く系では $B$（$x$ の大きいほう）が先に起きる。5. 3.2-1 $P$：$\Delta s^2=25-9=16>0$ で時間的。$Q$：$9-4-4-1=0$ で光的。$R$：$4-1-4-0=-1<0$ で空間的。6. 3.2-2 $\Delta s^2=100-36=64>0$ で時間的である。命題 3.4 から $\beta=\Delta x/(c\Delta t)=0.6$。このとき$\gamma=1.25$ で $c\Delta t'=\gamma(10-0.6\times6)=1.25\times6.4=8\,\mathrm m$。これは $\sqrt{64}=8$ に一致する。7. 3.2-3 1回目のブーストで $(c\Delta t)^2-\left\vert \Delta\bm{x}\right\vert ^2$ は保たれ、2回目のブーストでも保たれるので、合成でも保たれる。合成を具体的に計算する。$\gamma_i=(1-\beta_i^2)^{-1/2}$ として

$$ct''=\gamma_2(ct'-\beta_2x')=\gamma_2\bigl[\gamma_1(ct-\beta_1x)-\beta_2\gamma_1(x-\beta_1ct)\bigr]=\gamma_1\gamma_2\bigl[(1+\beta_1\beta_2)ct-(\beta_1+\beta_2)x\bigr].$$

これを $\gamma_3(ct-\beta_3x)$ と比べると、次の2式が必要である。

$$\gamma_3=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2),\qquad \gamma_3\beta_3=\gamma_1\gamma_2(\beta_1+\beta_2)$$

比をとって $\beta_3=(\beta_1+\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$ を得る。この $\beta_3$ に対して実際に $\gamma_3=(1-\beta_3^2)^{-1/2}$ となることは

$$1-\beta_3^2=\frac{(1+\beta_1\beta_2)^2-(\beta_1+\beta_2)^2}{(1+\beta_1\beta_2)^2}=\frac{(1-\beta_1^2)(1-\beta_2^2)}{(1+\beta_1\beta_2)^2}$$

から確かめられる。$x''$ についても同様の計算で $\gamma_3(x-\beta_3ct)$ となる。8. 3.2-4 $\Delta y=\Delta z=0$ にとると、光的な条件は $\Delta x=\pm c\Delta t$ である。このとき

$$c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta\Delta x)=\gamma c\Delta t(1\mp\beta)$$

である。$\left\vert \beta\right\vert <1$ なので $1\mp\beta>0$ である。よって $\Delta t'>0$ となる。

$\beta\to1$ の極限は2つの場合で異なる。どちらの場合も符号は正のままである。

• $\Delta x=+c\Delta t$ の場合、次の式は $\beta\to1$ で0に近づく。

$$c\Delta t'=c\Delta t\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$$

• $\Delta x=-c\Delta t$ の場合、次の式は $\beta\to1$ で発散する。

$$c\Delta t'=c\Delta t\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$ 9. 3.3-1 $\beta=250/(3.00\times10^8)=8.33\times10^{-7}$、$\beta^2/2=3.47\times10^{-13}$ である。$40$ 時間 $=1.44\times10^5\,\mathrm s$ なので、遅れは

$$\Delta t\,(1-\sqrt{1-\beta^2})\simeq\frac{\beta^2}{2}\Delta t=3.47\times10^{-13}\times1.44\times10^5\,\mathrm s=5.0\times10^{-8}\,\mathrm s=50\,\mathrm{ns}$$

程度である。原子時計の精度で測ることのできる大きさである。10. 3.3-2 リングの系での寿命は $\gamma\times2.197\,\mu\mathrm s=29.3\times2.197=64.4\,\mu\mathrm s$ である。等速円運動では速さ $u$ が一定なので、式 (3.9) の被積分関数は一定で $\tau=\Delta t/\gamma$ となる。式 (3.9) は瞬間の速さだけを使い、加速度を含まないので、時計の仮説のもとでは円運動の加速度は寿命に影響しない。11. 3.3-3 どの区間でも速さは $u$ で一定なので、全体の固有時は $\tau=T\sqrt{1-u^2/c^2}$ である。$u\to c$ で $\tau\to0$ となる。世界線が $Q$ に戻るには、往復1回の時間 $T/N$ のうち半分の時間で出て、残りの半分で戻ればよい。どんな $N$ でも同じ式になるので、固有時は $N$ に依存しない。時間的な世界線であるためには $u<c$ が必要である。そのため固有時は0にはならないが、いくらでも0に近づく。12. 3.3-4 兄の側（$K$）では往路5.0年、滞在1.0年、復路5.0年で、合計11.0年である。弟の固有時は、往路と復路で3.0年ずつである。滞在中は弟も $K$ で静止しているので1.0年であり、合計は7.0年である。年齢差は4.0年で、滞在しない場合と同じである。滞在中は2人とも同じ慣性系にいるので差は増えない。13. 3.4-1 $L_0/\gamma<L_g$、すなわち $\gamma>L_0/L_g=1.2$ が条件である。$1-\beta^2<1/1.44$ から $\beta>\sqrt{1-1/1.44}=0.553$ となる。14. 3.4-2 車庫の系では、収まっている時間は事象 $B$ から事象 $A$ までである。$ct$ で測って0から1.75 m までにあたる。

$$\Delta t=\frac{1.75}{3.00\times10^8}=5.83\times10^{-9}\,\mathrm s$$

はしごの系では、$A$ が $ct'=-3.75\,\mathrm m$ に起きる。$B$ は時刻0に起きる。

$$\Delta t'=\frac{3.75}{3.00\times10^8}=1.25\times10^{-8}\,\mathrm s$$ 15. 3.4-3 光の世界線は $A=(1.75,5.0)$ から $-x$ 方向へ進む。その式は

$$x=5.0-(ct-1.75)=6.75-ct$$

である。後端の世界線 $x=0.8\,ct$ と連立すると $1.8\,ct=6.75$ となる。すなわち交点は $ct=3.75\,\mathrm m$、$x=3.0\,\mathrm m$ である。この事象をはしごの系に変換すると

$$ct'=\frac53(3.75-0.8\times3.0)=\frac53\times1.35=2.25\ \mathrm m,\qquad x'=\frac53(3.0-0.8\times3.75)=0 .$$

$x'=0$ ははしごの後端の静止位置で、はしごの系でも光が後端に届く事象になっている。時刻 $ct'=2.25$ は $ct'_A=-3.75$ より後であり、順序は車庫の系と同じである。この2事象は光的に結ばれているので、順序はどの系でも変わらない。16. 3.4-4 $K$ で後端が入口を通過する時刻を0とする。前端の世界線と事象 $A$ の座標は

$$x=\frac{L_0}{\gamma}+\beta ct;\qquad c t_A=\frac{L_g-L_0/\gamma}{\beta},\quad x_A=L_g$$

である。間隔は

$$\Delta s^2=\frac{(L_g-L_0/\gamma)^2}{\beta^2}-L_g^2 .$$

空間的であることは $\left\vert L_g-L_0/\gamma\right\vert <\beta L_g$ と同値である。これを2つの不等式に分けて示す。

• 下からの評価：はしごが収まるという仮定から $L_g-L_0/\gamma\ge0$ である。
• 上からの評価：$L_0>L_g$ と $\gamma^{-1}>1-\beta$ を順に使う。

$$\begin{aligned}L_g-\frac{L_0}{\gamma}&<L_g-\frac{L_g}{\gamma}=L_g\Bigl(1-\frac1\gamma\Bigr) &&\text{（}{L_0>L_g}\text{ を使った）}\\ &<\beta L_g &&\text{（$\gamma^{-1}=\sqrt{1-\beta^2}>\sqrt{(1-\beta)^2}=1-\beta$ を使った）}\end{aligned}$$

合わせて $0\le L_g-L_0/\gamma<\beta L_g$ が成り立ち、$\Delta s^2<0$ である。したがって、2事象の順序は数値によらず2つの系で食い違ってよい。本文の解決はこの数値例に限らない。17. 3.5-1 近づく場合の波長は $\lambda=\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\,\lambda_0=\sqrt{0.4/1.6}\times650=0.5\times650=325\,\mathrm{nm}$ で、紫外線になる。18. 3.5-2 $\theta'=\pi/2$ では $\cos\theta'=0$ である。したがって光行差の式から $\cos\theta=\beta$ となる。式 (3.12) に代入すると

$$f=\frac{f_0}{\gamma(1-\beta^2)}=\frac{f_0}{\gamma\cdot\gamma^{-2}}=\gamma f_0 .$$ 19. 3.5-3 $\gamma(1-\beta\cos\theta)=1$ から

$$\cos\theta=\frac{1-1/\gamma}{\beta}=\frac{1-\sqrt{1-\beta^2}}{\beta}$$

である。2つの極限は次のとおりである。

• $\beta\to0$ では $1-\sqrt{1-\beta^2}\simeq\beta^2/2$ である。したがって $\cos\theta\simeq\beta/2\to0$ となる。すなわち $\theta\to\pi/2$ である。
• $\beta\to1$ では $\cos\theta\to1$ となる。すなわち $\theta\to0$（光源の進行方向の前方）に近づく。

20. 3.5-4 鏡の系で受け取る振動数は、遠ざかる鏡から見たレーダーの光なので $f_1=\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\,f$ である。鏡はこの振動数で反射し、遠ざかる光源としてレーダーに送り返すので、レーダーが受け取る振動数は $f_2=\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\,f_1=\frac{1-\beta}{1+\beta}f$ である。変化は $f_2-f=-\frac{2\beta}{1+\beta}f\simeq-2\beta f=-2\times10^{-7}\times10^{10}\,\mathrm{Hz}=-2.0\times10^{3}\,\mathrm{Hz}$ で、$2.0\,\mathrm{kHz}$ 下がる。