この章のまとめ

相対論入門　第3章 §3.6

この章では、Lorentz 変換 (3.1) を Minkowski 図の上の座標軸の取り替えとして読むことから始めた。動く系の時間軸と空間軸は光の世界線を挟んで対称に傾き、目盛りの位置は双曲線 $(ct)^2-x^2=\text{一定}$ で決まる。時間の遅れが2つの系で互いに成り立つことは、同時刻線の向きが系ごとに違うことで説明された。

双曲線で目盛りが決まる理由は、間隔 $\Delta s^2=(c\Delta t)^2-\left\vert \Delta\bm{x}\right\vert ^2$ がすべての慣性系で同じ値をとることにあった（定理 3.2）。間隔の符号によって2事象の関係は時間的・空間的・光的の3つに分かれ、時間的・光的な2事象の順序はどの慣性系でも変わらない。空間的な2事象の順序は系によって入れ替わるが、そのあいだには信号が届かないので因果の順序とは衝突しない。

時計の世界線に沿って $\mathrm{d}\tau=\mathrm{d} s/c$ を積分したものが固有時で、これは座標系によらない量である。2事象を結ぶ時間的な世界線のうち、直線（慣性運動）の世界線で固有時が最大になる（定理 3.7）。

双子のパラドックスでは、地球に残った兄の世界線がこの直線に当たり、旅をした弟の固有時はそれより短い。はしごと車庫のパラドックスでは、「収まる」かどうかが空間的に離れた2事象の順序の問題であり、その順序は系によって違ってよい。Doppler 効果の式 $f=f_0/[\gamma(1-\beta\cos\theta)]$ は、光源の時計の遅れと光の伝播時間の変化を合わせたもので、横の Doppler 効果は時間の遅れだけを取り出す。

第4章では、間隔を Minkowski 計量 $\eta_{\mu\nu}$ を使った4元ベクトルの内積 $\Delta x^\mu\Delta x_\mu$ として書き直し、間隔を保つ変換として Lorentz 変換を一般的に定義する。第5章では固有時 $\tau$ で世界線を微分して4元速度 $u^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\tau$ を作り、相対論的な力学を組み立てる。第7章では重力が固有時の進み方を変えることを扱い、第9章では固有時が停留する世界線として測地線を定める。