Lorentz 変換と4元ベクトル

相対論入門　第4章 §4.2　★★★ Lorentz 変換を「計量を保つ行列」として定義し直し、それと同じ規則で変換する量を4元ベクトルと呼ぶ。内積の不変性はこの定義から1行で出る

変換の行列

ブースト (4.2) は線形変換なので、4行4列の行列 $\Lambda^\mu{}_\nu$ を使って

$$x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,x^\nu\tag{4.10}$$

と書ける。$x$ 方向のブーストの行列は

$$\Lambda^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta&0&0\\-\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\tag{4.11}$$

である。行の番号が上の添字 $\mu$、列の番号が下の添字 $\nu$ に対応する。添字の高さを保って行列を書くため、下の添字は1文字ぶん右にずらして $\Lambda^\mu{}_\nu$ と書く。この位置はあとで添字を上げ下げしたときにどちらの添字が先かを区別するために必要になる。

第3章では、ブーストで不変間隔が保たれることを成分の計算で確かめた。ここでは向きを逆にして、不変間隔を保つことを Lorentz 変換の定義にする。

この定義は「2乗の量」が保たれることしか要求していない。しかし、実は内積全体が保たれることが従う。

証明

2つのベクトル $x,y$ について、内積の双線形性と $\eta$ の対称性から

$$(x+y)\cdot(x+y)=x\cdot x+2\,x\cdot y+y\cdot y$$

が成り立つので、$x\cdot y=\tfrac12\bigl[(x+y)\cdot(x+y)-x\cdot x-y\cdot y\bigr]$ と書ける（この書き換えを偏極恒等式と呼ぶ）。右辺の3つの2乗はどれも Lorentz 変換で保たれるので、左辺の内積 $x\cdot y$ も保たれる。すなわち、すべての $x,y$ について

$$\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta\,x^\alpha y^\beta=\eta_{\alpha\beta}\,x^\alpha y^\beta .$$

ここで $x$ と $y$ に基底ベクトル（1つの成分だけ1で残りは0）を代入する。すると両辺の係数が成分ごとに一致して、(4.12) を得る。逆に (4.12) が成り立てば、両辺に $x^\alpha x^\beta$ を掛けて和をとることで定義の条件が出る。

ブースト (4.11) がこの条件を満たすことは、直接の計算で確かめることができる。添字の組 $(\alpha,\beta)$ ごとに書くと

$$\begin{aligned}(0,0)&:\quad \eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_0\Lambda^\nu{}_0=\gamma^2-\gamma^2\beta^2=1=\eta_{00},\\ (0,1)&:\quad \gamma\cdot(-\gamma\beta)-(-\gamma\beta)\cdot\gamma=0=\eta_{01},\\ (1,1)&:\quad \gamma^2\beta^2-\gamma^2=-1=\eta_{11}\end{aligned}$$

となり、残りの成分は自明である。

空間の回転も Lorentz 変換である。たとえば $z$ 軸まわりの角 $\theta$ の回転は、次の成分を持つ。

$$\Lambda^1{}_1=\Lambda^2{}_2=\cos\theta,\qquad \Lambda^1{}_2=-\Lambda^2{}_1=\sin\theta,\qquad \Lambda^0{}_0=\Lambda^3{}_3=1$$

この変換は $x^0$ を変えず、$\left\vert \bm{x}\right\vert ^2$ を保つ。

条件から分かること

条件 (4.12) から、Lorentz 変換の一般的な性質をいくつか読み取ることができる。

証明

(1) 行列の式 $\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta$ の両辺の行列式をとると、$(\det\Lambda)^2\det\eta=\det\eta$ である。$\det\eta=-1\neq0$ なので $(\det\Lambda)^2=1$ となる。

(2) (4.12) の $\alpha=\beta=0$ の成分を書き出すと

$$\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_0\Lambda^\nu{}_0=(\Lambda^0{}_0)^2-\sum_i(\Lambda^i{}_0)^2=\eta_{00}=1 .$$

(3) $\Lambda_1,\Lambda_2$ がともに条件を満たすとする。積については

$$(\Lambda_1\Lambda_2)^{\mathsf T}\eta(\Lambda_1\Lambda_2)=\Lambda_2^{\mathsf T}(\Lambda_1^{\mathsf T}\eta\Lambda_1)\Lambda_2=\Lambda_2^{\mathsf T}\eta\Lambda_2=\eta$$

である。逆については、(1) から $\Lambda$ は正則である。条件の両辺に、左から $(\Lambda^{-1})^{\mathsf T}$、右から $\Lambda^{-1}$ を掛ける。すると $\eta=(\Lambda^{-1})^{\mathsf T}\eta\Lambda^{-1}$ を得る。

(2) は、$\Lambda^0{}_0\ge1$ か $\Lambda^0{}_0\le-1$ のどちらかであることを意味する。前者は時間の向きを保つ変換、後者は時間の向きを反転する変換である。$\det\Lambda=+1$ かつ $\Lambda^0{}_0\ge1$ の変換を固有順時的（proper orthochronous）な Lorentz 変換と呼ぶ。

ブーストと回転はこれに属し、恒等変換から連続的につながる変換はすべてここに入る。行列式と $\Lambda^0{}_0$ の符号は、連続的な変形では飛び移れないためである。固有順時的でない変換の例は次の2つである。

• 空間反転 $P=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ は $\det P=-1$ である。
• 時間反転 $T=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ は $T^0{}_0=-1$ である。

物理法則を「Lorentz 変換で形を変えない」と言うときは、ふつう固有順時的な変換を指す。

独立な変数の数も数えておく。$\Lambda$ は16個の成分を持ち、(4.12) は対称な $4\times4$ 行列の等式なので独立な条件は10本である。残る自由度は $16-10=6$ で、3方向のブーストと3つの軸まわりの回転の数に一致する。

第2章 §2.4 で述べたように、向きの違う2つのブーストの積はブーストと回転の積になる（Thomas–Wigner 回転）。(3) により、その積も条件 (4.12) を満たす。

逆変換と共変成分の変換

下付きの成分 $a_\mu$ がどう変換するかを調べる。そのために、Lorentz 変換の行列の添字を計量で上げ下げした量

$$\Lambda_\mu{}^\nu\coloneqq\eta_{\mu\alpha}\,\Lambda^\alpha{}_\beta\,\eta^{\beta\nu}\tag{4.13}$$

を定義する。条件 (4.12) の両辺に $\eta^{\beta\gamma}$ を掛けて、$\beta$ について和をとる。両辺はそれぞれ

$$\begin{aligned}\text{左辺}&=\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta\eta^{\beta\gamma}=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\gamma &&\text{（(4.13) を使った）}\\ \text{右辺}&=\eta_{\alpha\beta}\eta^{\beta\gamma}=\delta_\alpha{}^\gamma\end{aligned}$$

になる。したがって

$$\Lambda_\mu{}^\gamma\,\Lambda^\mu{}_\alpha=\delta^\gamma{}_\alpha,\qquad\text{すなわち}\qquad (\Lambda^{-1})^\gamma{}_\mu=\Lambda_\mu{}^\gamma\tag{4.14}$$

である。Lorentz 変換の逆行列は、添字を上げ下げして転置するだけで得られる。これは回転行列の逆が転置で与えられることの4次元版である。

$x$ 方向のブーストでは、(4.13) で非対角の2成分に符号が掛かる。2成分とは $\Lambda^0{}_1$ と $\Lambda^1{}_0$ である。その符号は $\eta_{00}\eta^{11}=-1$ である。したがって

$$(\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta&0&0\\\gamma\beta&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\tag{4.15}$$

となる。これは $\beta$ を $-\beta$ に替えたブーストである。「動く系から見ると、もとの系は逆向きに速さ $v$ で動いている」という事実と一致する。

共変成分の変換は、定義 (4.6) に反変成分の変換を入れて求める。

$$a'_\mu=\eta_{\mu\nu}a'^\nu=\eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu{}_\beta\,a^\beta=\eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu{}_\beta\,\eta^{\beta\gamma}a_\gamma=\Lambda_\mu{}^\gamma\,a_\gamma .\tag{4.16}$$

3つめの等号で $a^\beta=\eta^{\beta\gamma}a_\gamma$ を使い、最後に (4.13) を使った。(4.14) と合わせると、共変成分は逆行列の転置 $(\Lambda^{-1})^{\mathsf T}$ で変換する。$x$ 方向のブーストで書くと

$$a'_0=\gamma(a_0+\beta a_1),\qquad a'_1=\gamma(a_1+\beta a_0)$$

となり、反変成分の式と $\beta$ の符号だけが違う。

4元ベクトルの定義と不変な内積

定義の要点は、成分が4つ並んでいることではなく、変換の規則にある。$(ct,x,y,z^2)$ は4つの数の組だが、ブーストで (4.17) に従わないので4元ベクトルではない。

また、厳密に言うと座標 $x^\mu$ そのものは原点の取り方に依存する。そこで時空の並進 $x^\mu\to x^\mu+b^\mu$ まで含めた変換（Poincaré 変換）を考える。その場合は、並進で変わらない量が4元ベクトルの原型になる。座標の差 $\Delta x^\mu$ や、微小変位 $\mathrm{d} x^\mu$ である。

証明

(4.16) と (4.17)、(4.14) を順に使うと

$$a'_\mu b'^\mu=\Lambda_\mu{}^\gamma a_\gamma\,\Lambda^\mu{}_\nu b^\nu=\bigl(\Lambda_\mu{}^\gamma\Lambda^\mu{}_\nu\bigr)a_\gamma b^\nu=\delta^\gamma{}_\nu\,a_\gamma b^\nu=a_\nu b^\nu .$$

この定理の使い方は単純である。式の中のすべての添字が上下で対になって和をとられていれば、その量は計算するまでもなく不変である。添字の記法を使う最大の利点はこの点にある。

4元ベクトルの例：4元波数

新しい4元ベクトルを見つける方法の1つは、「4元ベクトルとの内積がどの系でも同じになる量」を探すことである。

平面波 $\cos(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{x})$ の位相 $\phi=\omega t-\bm{k}\cdot\bm{x}$ を考える。位相は、波の山がある事象を通過したかどうかを数える量であり、時空の1点が波の山に当たっているかどうかは観測者によらない事実である。したがって位相は系によらない量（スカラー）である。別の系で同じ事象を $x'$ と書けば、$\phi'(x')=\phi(x)$ が成り立つ。

4元波数を

$$k^\mu\coloneqq\Bigl(\frac{\omega}{c},\,\bm{k}\Bigr),\qquad k_\mu=\Bigl(\frac{\omega}{c},\,-\bm{k}\Bigr)\tag{4.18}$$

と並べると、位相は $\phi=k_\mu x^\mu$ と書くことができる。すべての事象で $k'_\mu x'^\mu=k_\mu x^\mu$ が成り立つ。これに $x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ を入れると

$$k'_\mu\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu=k_\nu x^\nu\quad(\text{すべての }x) \qquad\Longrightarrow\qquad k'_\mu\Lambda^\mu{}_\nu=k_\nu .$$

両辺に右から $(\Lambda^{-1})^\nu{}_\rho$ を掛けると

$$k'_\rho=k_\nu(\Lambda^{-1})^\nu{}_\rho=\Lambda_\rho{}^\nu k_\nu$$

となる。つまり $k_\mu$ はコベクトルの規則 (4.16) に従う。したがって $k^\mu$ は4元ベクトルである。成分で書けば、$x$ 方向のブーストのもとで

$$\frac{\omega'}{c}=\gamma\Bigl(\frac{\omega}{c}-\beta k_x\Bigr),\qquad k'_x=\gamma\Bigl(k_x-\beta\frac{\omega}{c}\Bigr),\qquad k'_y=k_y,\qquad k'_z=k_z .\tag{4.19}$$

真空中の光では $\omega=c\left\vert \bm{k}\right\vert$ なので、ノルムは0になる。

$$k\cdot k=\frac{\omega^2}{c^2}-\left\vert \bm{k}\right\vert ^2=0$$

すなわち $k^\mu$ は光的である。不変性から、どの系でも $\omega'=c\left\vert \bm{k}'\right\vert$ が保たれる。

光が $+x$ 方向に進む場合は $k_x=\omega/c$ である。このとき (4.19) の第1式は

$$\omega'=\gamma(1-\beta)\omega=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\,\omega$$

を与え、第3章 §3.5 で光の信号を数えて求めた縦の Doppler 効果に一致する。周波数と波数の変換が1本の行列で済むことが、4元ベクトルとしてまとめた利点である。

図4.2 は、共変ベクトル $k_\mu$ を「等位相面の重なり」として描いたものである。変位 $\Delta x^\mu$ がまたぐ等位相面の数は、$k_\mu\Delta x^\mu/(2\pi)$ に等しい。コベクトルとベクトルの縮約は、「矢印が何枚の面を貫くか」を数える操作とみなすことができる。

4元ベクトルの例はほかにもある。4元速度 $u^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\tau$ と4元運動量 $p^\mu=mu^\mu$ は第5章で導入する。電荷密度と電流密度を並べた4元電流 $J^\mu=(c\rho,\bm{J})$ も4元ベクトルであり、その理由は『電磁気学入門』第10章 §10.2 で確かめる。いずれの場合も、「4元ベクトルを不変量で割る」「不変量を掛ける」という2つの操作で新しい4元ベクトルが作られている。

• $\mathrm{d} x^\mu$ を不変量 $\mathrm{d}\tau$ で割ると、4元速度になる。これを $u^\mu$ と書く。
• 4元速度に不変量 $m$ を掛けると、4元運動量 $p^\mu$ になる。

確認テスト

オリジナル

1. 4.2-1 $x$ 方向のブースト (4.11) について、行列式と成分 $\Lambda^0{}_0$ を求めよ。それを使って、固有順時的であることを確かめよ。
2. 4.2-2 $K$ 系で $a^\mu=(5,\,3,\,1,\,0)$ である4元ベクトルを考える。これを、$\beta=0.6$ の $x$ 方向のブーストで別の系へ移せ。共変成分 $a'_\mu$ も求め、$a'\cdot a'=a\cdot a$ を確かめよ。
3. 4.2-3 $x$ 方向のブーストを2回続けた積 $\Lambda(\beta_2)\Lambda(\beta_1)$ を計算せよ。それが次の速度のブーストに等しいことを示せ。

$$\beta=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$ 4. 4.2-4 空間反転 $P=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ が条件 (4.12) を満たすことを確かめよ。また、空間反転が恒等変換から連続的な変形でつながらない理由を述べよ。5. 4.2-5 4成分の量 $a_\mu$ を考える。すべての4元ベクトル $b^\mu$ に対して、縮約 $a_\mu b^\mu$ が不変になるとする。このとき $a_\mu$ が (4.16) の規則で変換することを証明せよ。