テンソル

相対論入門　第4章 §4.3　★★★ 2つ以上の添字を持つ量の変換則。電磁場・エネルギー運動量・曲率はすべてこの形で書かれる

テンソルの定義

4元ベクトルは添字を1つ持ち、その添字ごとに $\Lambda$ が1つかかって変換した。2つの4元ベクトル $a^\mu,b^\nu$ の成分を掛けた、16個の数 $a^\mu b^\nu$ を考える。これは

$$a'^\mu b'^\nu=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta\,a^\alpha b^\beta$$

のように、それぞれの添字に $\Lambda$ が1つずつかかる。この規則を、ベクトルの積に限らず一般の添字2つの量に要求したものがテンソルである。

行列の言葉で書けば、2階の反変テンソルの変換は $T'=\Lambda T\Lambda^{\mathsf T}$ である。しかし3階以上のテンソルは行列で書けないので、添字の式で扱う方が見通しがよい。テンソルの添字も、計量で上げ下げすることができる。

$$T_\mu{}^\nu\coloneqq\eta_{\mu\alpha}T^{\alpha\nu},\qquad T_{\mu\nu}\coloneqq\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}T^{\alpha\beta}$$

上げ下げしたものも、それぞれの添字の位置に応じた規則でテンソルとして変換する（(4.16) と同じ計算を添字ごとに行えばよい）。

添字の左右の順序には意味がある。$T^\mu{}_\nu$ と $T_\nu{}^\mu$ は、もとのテンソルが対称でない限り別の量である。

テンソルの演算

テンソルからテンソルを作る操作は3つある。第一に、同じ型のテンソルの線形結合はテンソルである（変換則が線形だから）。第二に、2つのテンソルの成分の積 $A^{\mu\nu}B^\rho{}_\sigma$ はテンソルである（添字ごとに $\Lambda$ が並ぶだけだから）。第三の操作が縮約である。

証明

$(1,1)$ 型で示す（添字が増えても、縮約しない添字は同じ規則で変換するだけである）。変換則と (4.14) から

$$T'^\mu{}_\mu=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\mu{}^\beta\,T^\alpha{}_\beta=\delta^\beta{}_\alpha\,T^\alpha{}_\beta=T^\alpha{}_\alpha .$$

内積の不変性（定理 4.6）は、$a_\mu b^\nu$ という $(1,1)$ 型のテンソルを縮約したものとして、この命題の特別な場合になっている。上付き同士の添字をそろえて和をとる $T^{\mu\mu}$ は、変換で $\Lambda$ どうしが打ち消し合わないのでテンソルにならない。総和規約で「上下に1回ずつ」を要求したのはこのためである。

計量 $\eta_{\mu\nu}$ 自身も (0,2) 型のテンソルとみなすことができる。その変換は

$$\eta'_{\mu\nu}=\Lambda_\mu{}^\alpha\Lambda_\nu{}^\beta\eta_{\alpha\beta}$$

である。右辺は、Lorentz 変換の条件 (4.12) を $\Lambda^{-1}$ について書き直したものにほかならない。そのため $\eta'_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ となる。

すべての慣性系で同じ成分を持つテンソルを不変テンソルと呼ぶ。計量 $\eta_{\mu\nu}$、その逆 $\eta^{\mu\nu}$、Kronecker のデルタは不変テンソルである。添字の上げ下げがどの系で行っても同じ結果になるのは、計量が不変テンソルだからである。

ある量がテンソルであることを、変換則を直接確かめずに示す方法がある。

証明

$b'_\mu=T'_{\mu\nu}a'^\nu$ と、$b_\mu$ がコベクトルであることから

$$T'_{\mu\nu}\Lambda^\nu{}_\beta\,a^\beta=b'_\mu=\Lambda_\mu{}^\alpha b_\alpha=\Lambda_\mu{}^\alpha T_{\alpha\beta}\,a^\beta .$$

これが任意の $a^\beta$ について成り立つので、係数を比べて $T'_{\mu\nu}\Lambda^\nu{}_\beta=\Lambda_\mu{}^\alpha T_{\alpha\beta}$ を得る。両辺に $(\Lambda^{-1})^\beta{}_\rho=\Lambda_\rho{}^\beta$ を掛けて、$\beta$ について和をとる。左辺は $T'_{\mu\nu}\delta^\nu{}_\rho=T'_{\mu\rho}$ になるので

$$T'_{\mu\rho}=\Lambda_\mu{}^\alpha\Lambda_\rho{}^\beta T_{\alpha\beta}$$

を得る。これは (0,2) 型の変換則である。

§4.2 で4元波数がコベクトルであることを示した議論は、この定理の「添字が1つ少ない版」である。第6章では、Lorentz 力 $\mathrm{d} p^\mu/\mathrm{d}\tau=qF^\mu{}_\nu u^\nu$ の両辺が4元ベクトルであることから、同じ論法で $F^\mu{}_\nu$ がテンソルであることを読み取る。

対称テンソルと反対称テンソル

2階のテンソルが $S^{\mu\nu}=S^{\nu\mu}$ を満たすとき対称、$A^{\mu\nu}=-A^{\nu\mu}$ を満たすとき反対称と呼ぶ。この性質は系によらない。実際、$S^{\alpha\beta}$ が対称なら

$$S'^{\nu\mu}=\Lambda^\nu{}_\alpha\Lambda^\mu{}_\beta S^{\alpha\beta}=\Lambda^\mu{}_\beta\Lambda^\nu{}_\alpha S^{\beta\alpha}=S'^{\mu\nu}$$

となる（2つめの等号で、ダミー添字 $\alpha,\beta$ の名前を入れ替えてから $S^{\alpha\beta}=S^{\beta\alpha}$ を使った）。反対称についても同じ計算で符号が1つ付く。任意の2階テンソルは、対称部分と反対称部分にただ1通りに分けられる。

$$T^{\mu\nu}=\underbrace{\tfrac12\bigl(T^{\mu\nu}+T^{\nu\mu}\bigr)}_{T^{(\mu\nu)}}+\underbrace{\tfrac12\bigl(T^{\mu\nu}-T^{\nu\mu}\bigr)}_{T^{[\mu\nu]}} .\tag{4.21}$$

独立な成分の数は、対称部分が対角の4個と上三角の6個で10個、反対称部分は対角が $0$ になるので上三角の6個である。合わせて16個になる。

対称テンソルと反対称テンソルを2つの添字で縮約すると、必ず $0$ になる。

$$S_{\mu\nu}A^{\mu\nu}=0 .\tag{4.22}$$

証明はダミー添字の名前を入れ替えるだけである。

$$S_{\mu\nu}A^{\mu\nu}=S_{\nu\mu}A^{\nu\mu}=S_{\mu\nu}(-A^{\mu\nu})$$

となり、自分自身の $-1$ 倍に等しいので0である。この事実は、式の中で反対称テンソルに対称な量が掛かっていると見たら、その項を計算せずに消せることを意味する。

4次元の反対称テンソル $A^{\mu\nu}$ の6個の成分は、3つずつの2組に分かれる。時間と空間にまたがる $A^{0i}$（3個）と、空間どうしの $A^{ij}$（3個）である。後者は3次元の Levi-Civita 記号 $\epsilon_{ijk}$（$\epsilon_{123}=+1$ で、添字の入れ替えで符号が変わる記号）を使って3次元ベクトルに対応づけることができる。そこで2つの3次元ベクトル $\bm{a},\bm{b}$ を使って

$$A^{0i}=-a^i,\qquad A^{ij}=-\epsilon_{ijk}\,b^k \qquad\left(A^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0&-a^1&-a^2&-a^3\\a^1&0&-b^3&b^2\\a^2&b^3&0&-b^1\\a^3&-b^2&b^1&0\end{pmatrix}\right)\tag{4.23}$$

と書く。この符号の付け方は、第6章で電磁場テンソルを書くときの形（$\bm{a}\to\bm{E}/c$、$\bm{b}\to\bm{B}$）に合わせてある。

Lorentz 変換は $A^{0i}$ と $A^{ij}$ を混ぜる。そのため2つの3次元ベクトルは別々には4元的な量にならず、2つ合わせて1つのテンソルを作る。第6章と『電磁気学入門』第10章で、これが「電場と磁場は観測者によって配分の変わる1つの量である」という事実の数学的な表現になる。

Levi-Civita 記号

3次元の外積に現れる $\epsilon_{ijk}$ の4次元版を定義する。

添字を計量で下げると、4つの添字すべてに $\eta$ がかかり、0でない成分には $\eta_{00}\eta_{11}\eta_{22}\eta_{33}=-1$ が掛かる。したがって

$$\epsilon_{0123}=\eta_{0\mu}\eta_{1\nu}\eta_{2\rho}\eta_{3\sigma}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}=\det\eta=-1\tag{4.24}$$

で、下付きの Levi-Civita 記号は上付きのものの $-1$ 倍になる。空間の3つの添字だけを見ると $\epsilon^{0ijk}=\epsilon_{ijk}$ が成り立ち、3次元の記号に戻る。

証明

左辺を $X^{\mu\nu\rho\sigma}$ と書き、3段で示す。

1. 反対称性。$\mu$ と $\nu$ を入れ替えた量を考える。ダミー添字 $\alpha,\beta$ の名前を入れ替え、$\epsilon^{\beta\alpha\gamma\delta}=-\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ を使うと

$$X^{\nu\mu\rho\sigma}=-X^{\mu\nu\rho\sigma}$$

を得る。ほかの添字の対についても同じなので、$X$ は完全反対称である。2. 1つの数で決まる。完全反対称な4添字の量は、1つの数 $X^{0123}$ で決まる。つまり $X^{\mu\nu\rho\sigma}=X^{0123}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ である。3. その数は行列式。残る数は

$$X^{0123}=\sum\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\Lambda^0{}_\alpha\Lambda^1{}_\beta\Lambda^2{}_\gamma\Lambda^3{}_\delta$$

である。これは行列式の定義そのものなので、$\det\Lambda$ に等しい。行列式の定義とは、各行から1つずつ列の異なる成分を選んで積をとり、列の並びの置換の符号を付けて足すことである。

空間反転 $P$ では $\det P=-1$ なので、Levi-Civita 記号を含む量は符号を反転する。このような量を擬テンソル（擬スカラー、擬ベクトル）と呼ぶ。3次元の外積で作った角運動量や磁場が空間反転で向きを変えないこと（擬ベクトルであること）の4次元版である。

縮約の公式を2つ挙げる。どちらも0でない項を数えることで確かめることができる。

$$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=-24,\qquad \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\lambda\kappa}=-2\bigl(\delta^\rho{}_\lambda\delta^\sigma{}_\kappa-\delta^\rho{}_\kappa\delta^\sigma{}_\lambda\bigr).\tag{4.26}$$

第1式では、添字の組が (0,1,2,3) の並べ替えになっている項だけが残る。その数は $4!=24$ 通りである。それぞれの項で上付きの記号は $\pm1$ で、下付きの記号はその $-1$ 倍である。そのため積はどれも $-1$ になる。

3次元で $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=+6$ だったものとの違いは、下げたときの $\det\eta=-1$ に由来する。

Levi-Civita 記号を使うと、反対称テンソルの双対

$$\tilde A^{\mu\nu}\coloneqq\tfrac12\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\rho\sigma}\tag{4.27}$$

が作れる。$\tilde A^{\mu\nu}$ も反対称テンソル（固有順時的な変換について）である。(4.23) の形のテンソルに対して成分を計算すると、双対はもとのテンソルで次の置き換えをしたものになる（確認テスト 4.3-4）。

$$\bm{a}\to\bm{b},\qquad \bm{b}\to-\bm{a}$$

確認テスト

オリジナル

1. 4.3-1 4次元で、(a) 対称な2階テンソル、(b) 反対称な2階テンソル、(c) 3つの添字について完全反対称な3階テンソル、の独立な成分の数をそれぞれ求めよ。
2. 4.3-2 テンソル $T^{\mu\nu}$ がある系で反対称なら、ほかの系でも反対称であることを示せ。また、対称テンソル $S_{\mu\nu}$ と反対称テンソル $A^{\mu\nu}$ を考える。両者の縮約が0になること (4.22) を証明せよ。
3. 4.3-3 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=-24$ を、0でない項を数えることで確かめよ。また、公式 (4.26) の第2式で $\rho=\lambda$、$\sigma=\kappa$ として和をとる。すると第1式に戻ることを確かめよ。
4. 4.3-4 (4.23) のテンソルについて、次の双対を考える。

$$\tilde A^{\mu\nu}=\frac12\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_{\rho\sigma}$$

その成分 $\tilde A^{01}$ と $\tilde A^{23}$ を求めよ。双対が、(4.23) で $\bm{a}\to\bm{b}$、$\bm{b}\to-\bm{a}$ と置き換えた形になっていることを確かめよ。5. 4.3-5 (1,1) 型のテンソル $T^\mu{}_\nu$ について、$T^\mu{}_\nu T^\nu{}_\mu$ が不変量であることを示せ。