微分演算子と場

相対論入門　第4章 §4.4　★★★ $\partial_\mu$ が下付きの添字を持つ理由と、ダランベルシアンが不変であること。場の方程式を共変な形に書く出発点

スカラー場とベクトル場

ここまで扱った4元ベクトルは、時空の1点（あるいは1つの粒子）に付随する量であった。電磁場や物質の密度のように、時空の各点に値を持つ量を場と呼ぶ。場の変換則では、値の変換と同時に「どの点の値か」の付け替えが起きる。

(4.28) は、関数の形 $\phi'$ が $\phi$ と同じだという意味ではない。たとえばもとの系で $\phi(x)=x^1$ という場を考える。逆変換 (4.15) を使うと、新しい系では

$$\phi'(x')=x^1=\gamma(x'^1+\beta x'^0)$$

という別の関数になる。同じ事象での値が等しいことだけを要求している。§4.2 の平面波の位相は、スカラー場の典型例である。

微分は下付きの添字を持つ

スカラー場 $\phi$ を座標で偏微分した4つの量

$$\partial_\mu\phi\coloneqq\frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}=\Bigl(\frac1c\frac{\partial \phi}{\partial t},\,\nabla\phi\Bigr)\tag{4.29}$$

がどう変換するかを調べる。$x$ を $x'$ の関数とみる。逆変換は $x^\nu=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu x'^\mu$ である。(4.14) と合わせて

$$\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}=(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu=\Lambda_\mu{}^\nu$$

を得る。(4.28) の両辺を $x'^\mu$ で微分し、右辺に連鎖律を使うと

$$\partial'_\mu\phi'=\frac{\partial \phi(x)}{\partial x'^\mu}=\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu}\frac{\partial \phi}{\partial x^\nu}=\Lambda_\mu{}^\nu\,\partial_\nu\phi .\tag{4.30}$$

これはコベクトルの変換則 (4.16) そのものである。座標 $x^\mu$ は上付きの添字を持つが、それで微分した $\partial_\mu$ は下付きの添字の量として変換する。「分母の上付き添字は下付き添字として数える」と覚えておけばよい。

$\partial_\mu$ の添字を上げたものは

$$\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\nu=\Bigl(\frac1c\frac{\partial }{\partial t},\,-\nabla\Bigr)\tag{4.31}$$

である。座標では、反変成分 $x^\mu=(ct,\bm{x})$ の空間成分が正の符号を持つ。これに対し微分では、共変成分 $\partial_\mu$ の空間成分が $+\nabla$ になる。符号の位置が逆に見えるのはこのためである。

ベクトル場 $A^\mu$ に $\partial_\mu$ を作用させて縮約した4元発散

$$\partial_\mu A^\mu=\frac1c\frac{\partial A^0}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{A}\tag{4.32}$$

はスカラー場である。(4.30) をベクトル場の各成分に当てはめると、微分はコベクトルとして変換する。あとは命題 4.8 と同じ計算で、変換の行列が打ち消し合う。4元電流 $J^\mu=(c\rho,\bm{J})$ に当てはめると、電荷の保存則

$$\partial_\mu J^\mu=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}=0\tag{4.33}$$

が1本の式にまとまる。左辺がスカラーなので、ある慣性系で電荷が保存すれば、すべての慣性系で保存する。

ダランベルシアン

$\partial_\mu$ と $\partial^\mu$ を縮約すると、2階の微分演算子

$$\Box\coloneqq\partial_\mu\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2\tag{4.34}$$

を得る。これをダランベルシアン（名前は J. le R. d'Alembert に由来する）と呼ぶ。添字がすべて縮約されているので、$\Box$ はスカラーの演算子である。スカラー場に作用させた $\Box\phi$ は、またスカラー場になる。したがって波動方程式

$$\Box\phi=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi=0\tag{4.35}$$

は、ある慣性系で成り立てばすべての慣性系で同じ形で成り立つ。

第1章 §1.2 で述べた電磁気学と Galilei 変換の食い違いは、ここでは次の形で現れる。この方程式は Galilei 変換 $x'=x-vt$ のもとでは、交差項 $\partial_t\partial_x$ を生じて形を変える（例題 4.4）。光の伝わり方が観測者によらないという要請と、波動方程式の形が保たれることとは同じ内容である。

場の方程式を共変に書く

物理法則を「すべての慣性系で同じ形」に書く方法は、ここまでの道具でまとめることができる。方程式の両辺を同じ型のテンソル（場）として書き、自由添字をそろえておけば、ある系で成り立つ式は変換したあとも同じ形で成り立つ。たとえば両辺が4元ベクトル場の式 $X^\mu=Y^\mu$ は、別の系で次の形になる。

$$X'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu X^\nu=\Lambda^\mu{}_\nu Y^\nu=Y'^\mu$$

このような式を共変な式と呼ぶ。第6章の Maxwell 方程式 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ はその代表例である。

最も簡単な例として、スカラー場の方程式

$$\Bigl(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Bigr)\phi=0\tag{4.36}$$

を考える（Klein–Gordon 方程式。名前は O. Klein と W. Gordon に由来する）。$m$ は不変な定数で、$m=0$ なら波動方程式に戻る。平面波 $\phi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_\mu x^\mu}$ を入れると、$\partial_\mu\phi=-\mathrm{i} k_\mu\phi$ である。したがって

$$\Box\phi=\partial_\mu\partial^\mu\phi=-k_\mu k^\mu\phi$$

となり、方程式から

$$k_\mu k^\mu=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \omega^2=c^2\left\vert \bm{k}\right\vert ^2+\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\tag{4.37}$$

を得る。$E=\hbar\omega$、$\bm{p}=\hbar\bm{k}$ と読めば、これは第5章で導く式と同じ形である。

$$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$$

(4.37) の左の式は「4元波数のノルムが一定」という不変な条件なので、分散関係がどの慣性系でも同じ形になることは計算するまでもなく分かる。

確認テスト

オリジナル

1. 4.4-1 $\partial_\mu x^\mu$ と $\partial_\mu x^\nu$ を求めよ。
2. 4.4-2 スカラー場 $s=x_\nu x^\nu$ について、$\partial_\mu s=2x_\mu$ を示せ。また $\Box s=8$ を示せ。
3. 4.4-3 $k^\mu$ を光的な定数4元ベクトル（$k\cdot k=0$）とする。$f$ を任意の2回微分可能な関数とする。このとき $\phi(x)=f(k_\mu x^\mu)$ が、波動方程式 $\Box\phi=0$ を満たすことを示せ。
4. 4.4-4 $A^\mu$ がベクトル場のとき、4元発散 $\partial_\mu A^\mu$ がスカラー場であることを、(4.30) を使って証明せよ。
5. 4.4-5 質量 $m$ の Klein–Gordon 方程式の平面波を考える。$\omega=2mc^2/\hbar$ のときの、波数の大きさと群速度 $v_{\mathrm g}/c$ を求めよ。