この章のまとめ

相対論入門　第4章 §4.5

この章では、不変間隔を計量 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ で書くことから出発して、相対論の式を書くための文法を作った。総和規約のもとでは、上付きと下付きの添字を1回ずつ並べたところで和をとる。下付きの成分は計量で添字を下げて作り、空間成分の符号が反転する。2種類の成分が必要になるのは、Minkowski 時空の基底が長さの2乗の符号の異なるベクトルを含み、計量が単位行列にならないためである。

Lorentz 変換は、不変間隔を保つ線形変換として定義し直した。偏極恒等式によって、これは内積全体を保つ条件 $\Lambda^{\mathsf T}\eta\Lambda=\eta$ と同じである。この条件から、次の3つが順に従った。

1. 逆行列は、添字の上げ下げと転置で得られる (4.14)。
2. 下付きの成分は、逆行列の転置で変換する (4.16)。
3. 4元ベクトルの内積は不変である（定理 4.6）。

4元波数は、位相が系によらないことから4元ベクトルであると分かった。その変換1回で光行差と Doppler 効果が同時に得られた。地球の公転による光行差の角は約 $20.5''$ である。

テンソルは、添字ごとに $\Lambda$ を1つずつ掛けて変換する量である。線形結合・積・縮約でテンソルからテンソルを作ることができ、上下の添字を縮約しきった量は不変量になる。対称性と反対称性は系によらず、反対称テンソルは2つの3次元ベクトルの組として書くことができる。

その組から作る2つの不変量 $\left\vert \bm{b}\right\vert ^2-\left\vert \bm{a}\right\vert ^2$ と $\bm{a}\cdot\bm{b}$ は、第6章で電磁場の2つの不変量になる。Levi-Civita 記号は $\epsilon^{0123}=+1$、$\epsilon_{0123}=-1$ である。この記号は、固有順時的な変換のもとで成分を変えない。

最後に、座標での微分 $\partial_\mu$ が下付きの添字の量として変換することを連鎖律から示し、ダランベルシアン $\Box=\partial_\mu\partial^\mu$ が不変な演算子であることを確かめた。波動方程式が Lorentz 変換で形を保ち、Galilei 変換では保たないことは、第1章で述べた電磁気学と Newton 力学の食い違いを、微分の言葉で言い直したものである。

第5章では、この章の4元ベクトルの定義をそのまま使い、4元速度 $u^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\tau$ と4元運動量 $p^\mu=mu^\mu$ を作る。$p\cdot p=m^2c^2$ という内積の不変性が、エネルギーと運動量の関係そのものになる。第6章では反対称テンソル $F^{\mu\nu}$、双対テンソル、エネルギー運動量テンソルを扱う。

第8章からは、2つの置き換えを行う。計量 $\eta_{\mu\nu}$ を位置によって変わる $g_{\mu\nu}$ に置き換え、偏微分を共変微分に置き換える。それでも添字の文法はこの章のまま使う。