確認テストの解答

相対論入門　第4章 §4.6

1. 4.1-1 (a) は正しい（$\nu$ はダミー、$\mu$ は両辺で上の自由添字）。(b) は正しい（$\nu$ はダミー、$\mu$ は両辺で下の自由添字）。 (c) は規則1に反する。右辺で $\nu$ が3回現れ、和のとり方が決まらない。(d) は規則2に反する。左辺の自由添字は下付き、右辺は上付きで、変換の規則が違う量を等号で結んでいる。
2. 4.1-2 $a_\mu=(5,-4,0,-3)$、$b_\mu=(1,-1,-1,-1)$。

$$a\cdot a=25-16-0-9=0,\qquad b\cdot b=1-1-1-1=-2,\qquad a\cdot b=5\cdot1-(4\cdot1+0\cdot1+3\cdot1)=5-7=-2 .$$

$a+b=(6,5,1,4)$ なので $(a+b)\cdot(a+b)=36-25-1-16=-6$。一方 $a\cdot a+2a\cdot b+b\cdot b=0-4-2=-6$ で一致する。（$a$ は光的、$b$ は空間的である。）3. 4.1-3 1つめは、デルタとの縮約で添字を付け替えて $\delta^\mu{}_\nu\delta^\nu{}_\mu=\delta^\mu{}_\mu=4$ となる。2つめは、$\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\lambda}=\delta_\mu{}^\lambda$ と $\eta_{\lambda\rho}\eta^{\rho\mu}=\delta_\lambda{}^\mu$ を使う。全体は $\delta_\mu{}^\lambda\delta_\lambda{}^\mu=\delta_\mu{}^\mu=4$ となる。4. 4.1-4 次のように変形する。

$$\begin{aligned}a_\mu b^\mu&=\eta_{\mu\nu}a^\nu b^\mu &&\text{（定義 (4.6)）}\\ &=\eta_{\nu\mu}a^\mu b^\nu &&\text{（ダミー添字の名前を入れ替えた）}\\ &=a^\mu(\eta_{\mu\nu}b^\nu)=a^\mu b_\mu &&\text{（$\eta_{\nu\mu}=\eta_{\mu\nu}$ を使った）}\end{aligned}$$ 5. 4.2-1 (4.11) は左上の $2\times2$ ブロックと単位行列のブロックに分かれるので、$\det\Lambda=\gamma\cdot\gamma-(-\gamma\beta)(-\gamma\beta)=\gamma^2(1-\beta^2)=1$。また $\Lambda^0{}_0=\gamma\ge1$。よって固有順時的である。6. 4.2-2 $\beta=0.6$ なので $\gamma=1.25$ である。積は $\gamma\beta=0.75$ となる。

$$\begin{aligned} a'^0&=1.25\cdot5-0.75\cdot3=6.25-2.25=4,\qquad a'^1=-0.75\cdot5+1.25\cdot3=-3.75+3.75=0,\\ a'^2&=1,\qquad a'^3=0 . \end{aligned}$$

したがって $a'^\mu=(4,0,1,0)$、$a'_\mu=(4,0,-1,0)$ である。$a\cdot a=25-9-1=15$、$a'\cdot a'=16-0-1=15$ で一致する。

共変成分の規則 $a'_0=\gamma(a_0+\beta a_1)$ でも確かめる。$a_\mu=(5,-3,-1,0)$ から

$$a'_0=1.25(5-0.6\cdot3)=1.25\cdot3.2=4$$

となり、合っている。7. 4.2-3 $y,z$ は変わらないので左上の $2\times2$ ブロックだけを掛ける。$\gamma_i=(1-\beta_i^2)^{-1/2}$ と書くと

$$\begin{pmatrix}\gamma_2&-\gamma_2\beta_2\\-\gamma_2\beta_2&\gamma_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma_1&-\gamma_1\beta_1\\-\gamma_1\beta_1&\gamma_1\end{pmatrix} =\gamma_1\gamma_2\begin{pmatrix}1+\beta_1\beta_2&-(\beta_1+\beta_2)\\-(\beta_1+\beta_2)&1+\beta_1\beta_2\end{pmatrix}.$$

これを $\Gamma\begin{pmatrix}1&-\beta\\-\beta&1\end{pmatrix}$ と書けば、

$$\Gamma=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2),\qquad \beta=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$

である。あとは $\Gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ を確かめればよい。

$$1-\beta^2=\frac{(1+\beta_1\beta_2)^2-(\beta_1+\beta_2)^2}{(1+\beta_1\beta_2)^2}=\frac{(1-\beta_1^2)(1-\beta_2^2)}{(1+\beta_1\beta_2)^2}$$

（分子は $1+\beta_1^2\beta_2^2-\beta_1^2-\beta_2^2$ で、これは $(1-\beta_1^2)(1-\beta_2^2)$ に等しい）。したがって $(1-\beta^2)^{-1/2}=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2)=\Gamma$。積は速さ $\beta$ のブーストであり、$\beta$ は第2章の速度の合成則に一致する。8. 4.2-4 $P^{\mathsf T}\eta P$ は対角行列の積である。その対角成分は

$$(1\cdot1\cdot1,\,(-1)(-1)(-1),\,\dots)=(1,-1,-1,-1)$$

なので、計量に等しい。また $\det P=-1$ である。

Lorentz 変換の行列式は $\pm1$ のどちらかしかとらない（命題 4.4 (1)）。行列式は成分の連続関数なので、連続的な変形の途中で $+1$ から $-1$ へ飛び移ることはできない。恒等変換の行列式は $+1$ なので、空間反転とはつながらない。9. 4.2-5 仮定から、別の系で $a'_\mu b'^\mu=a_\nu b^\nu$ である。$b'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu b^\nu$ を入れると

$$a'_\mu\Lambda^\mu{}_\nu b^\nu=a_\nu b^\nu$$

がすべての $b^\nu$ について成り立つ。基底ベクトルを入れて係数を比べると、$a'_\mu\Lambda^\mu{}_\nu=a_\nu$ を得る。

両辺に $(\Lambda^{-1})^\nu{}_\rho=\Lambda_\rho{}^\nu$ を掛けて、$\nu$ について和をとる。すると

$$a'_\mu\delta^\mu{}_\rho=\Lambda_\rho{}^\nu a_\nu,\qquad\text{すなわち}\qquad a'_\rho=\Lambda_\rho{}^\nu a_\nu$$

となる。10. 4.3-1 - (a) 対角4個と $\mu<\nu$ の6個で、10個である。

• (b) 対角は $A^{\mu\mu}=-A^{\mu\mu}$ から0である。残りは $\mu<\nu$ の6個である。
• (c) 添字がすべて異なる組だけが残り、並べ方は符号で決まる。したがって4個の値から3個を選ぶ組の数で、$\binom43=4$ 個である。

11. 4.3-2 $T^{\alpha\beta}=-T^{\beta\alpha}$ とする。

$$\begin{aligned}T'^{\nu\mu}&=\Lambda^\nu{}_\alpha\Lambda^\mu{}_\beta T^{\alpha\beta}=\Lambda^\mu{}_\beta\Lambda^\nu{}_\alpha T^{\alpha\beta}\\ &=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta T^{\beta\alpha} &&\text{（ダミー添字の名前を }{\alpha\leftrightarrow\beta}\text{ と入れ替えた）}\\ &=-\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta T^{\alpha\beta}=-T'^{\mu\nu} .\end{aligned}$$

後半は、$X=S_{\mu\nu}A^{\mu\nu}$ のダミー添字の名前を入れ替えて $X=S_{\nu\mu}A^{\nu\mu}$ とする。対称性 $S_{\nu\mu}=S_{\mu\nu}$ と反対称性 $A^{\nu\mu}=-A^{\mu\nu}$ を使う。すると $X=-X$ となる。よって $X=0$ である。12. 4.3-3 0でない項は、添字の組が (0,1,2,3) の並べ替えのときだけで、$4!=24$ 項ある。置換の符号を $s=\pm1$ と書く。各項で上付きの記号は $s$、下付きの記号は $-s$ である。積は $-s^2=-1$ なので、合計は $-24$ である。

第2式で $\rho=\lambda$、$\sigma=\kappa$ とおいて和をとると、右辺は

$$-2(\delta^\rho{}_\rho\delta^\sigma{}_\sigma-\delta^\rho{}_\sigma\delta^\sigma{}_\rho)=-2(4\cdot4-4)=-24$$

となり、第1式に一致する。13. 4.3-4 まず下付きの成分を作る。(4.23) から $A_{0i}=-A^{0i}=a^i$、$A_{ij}=A^{ij}=-\epsilon_{ijk}b^k$。 $\tilde A^{01}=\tfrac12\epsilon^{01\rho\sigma}A_{\rho\sigma}=\tfrac12(\epsilon^{0123}A_{23}+\epsilon^{0132}A_{32})=A_{23}=-\epsilon_{231}b^1=-b^1$。(4.23) で $\bm{a}\to\bm{b}$ と置き換えた形では $\tilde A^{01}=-b^1$ になるべきなので合っている。 $\tilde A^{23}=\tfrac12(\epsilon^{2301}A_{01}+\epsilon^{2310}A_{10})=\epsilon^{2301}A_{01}$ である。並び (2,3,0,1) は (0,1,2,3) の偶置換（互換2回）なので $\epsilon^{2301}=+1$ であり、$\tilde A^{23}=A_{01}=a^1$ となる。置き換えた形では $\tilde A^{23}=-\epsilon_{231}(-a^1)=a^1$ になるべきなので合っている。ほかの成分も同じ計算で、$\tilde A^{0i}=-b^i$、$\tilde A^{ij}=\epsilon_{ijk}a^k$ となる。14. 4.3-5 変換則 $T'^\mu{}_\nu=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\nu{}^\beta T^\alpha{}_\beta$ を2つ並べると

$$\begin{aligned} T'^\mu{}_\nu T'^\nu{}_\mu&=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda_\nu{}^\beta\Lambda^\nu{}_\gamma\Lambda_\mu{}^\delta\,T^\alpha{}_\beta T^\gamma{}_\delta =\bigl(\Lambda_\mu{}^\delta\Lambda^\mu{}_\alpha\bigr)\bigl(\Lambda_\nu{}^\beta\Lambda^\nu{}_\gamma\bigr)T^\alpha{}_\beta T^\gamma{}_\delta\\ &=\delta^\delta{}_\alpha\,\delta^\beta{}_\gamma\,T^\alpha{}_\beta T^\gamma{}_\delta=T^\alpha{}_\beta T^\beta{}_\alpha . \end{aligned}$$

(4.14) を2回使った。行列で言えば $\operatorname{Tr}(T^2)$ が相似変換で変わらないことに当たる。15. 4.4-1 $\partial_\mu x^\nu=\partial x^\nu/\partial x^\mu=\delta^\nu{}_\mu$（4つの座標は互いに独立）。縮約して $\partial_\mu x^\mu=\delta^\mu{}_\mu=4$。16. 4.4-2 $s=\eta_{\nu\lambda}x^\nu x^\lambda$ と書いて積の微分をとると$\partial_\mu s=\eta_{\nu\lambda}(\delta^\nu{}_\mu x^\lambda+x^\nu\delta^\lambda{}_\mu)=\eta_{\mu\lambda}x^\lambda+\eta_{\nu\mu}x^\nu=2x_\mu$。次に $\partial^\mu s=2x^\mu$（添字を上げた）で、$\Box s=\partial_\mu\partial^\mu s=2\partial_\mu x^\mu=2\cdot4=8$。成分でも確かめる。$s=c^2t^2-\left\vert \bm{x}\right\vert ^2$ に対して

$$\frac{1}{c^2}\partial_t^2s=2,\qquad \nabla^2s=-6,\qquad \Box s=2-(-6)=8 .$$ 17. 4.4-3 $u=k_\nu x^\nu$ とおく。$k$ は定数なので $\partial_\mu u=k_\mu$ である。連鎖律で $\partial_\mu\phi=f'(u)k_\mu$、$\partial^\mu\phi=f'(u)k^\mu$ となる。もう一度微分して $\Box\phi=\partial_\mu(f'(u)k^\mu)=f''(u)\,k_\mu k^\mu=0$ を得る。最後に $k\cdot k=0$ を使った。たとえば $k^\mu=(1,1,0,0)$ なら $\phi=f(x^0-x^1)=f(ct-x)$ である。これは $+x$ 方向に形を変えずに進む波である。18. 4.4-4 $A'^\mu(x')=\Lambda^\mu{}_\nu A^\nu(x)$ の各成分はスカラー場の Lorentz 変換と同じ「点の付け替え」を含むので、(4.30) と同じ連鎖律を使うことができる。$\Lambda$ は定数なので

$$\partial'_\mu A'^\mu=\Lambda_\mu{}^\rho\partial_\rho\bigl(\Lambda^\mu{}_\nu A^\nu\bigr)=\bigl(\Lambda_\mu{}^\rho\Lambda^\mu{}_\nu\bigr)\partial_\rho A^\nu=\delta^\rho{}_\nu\,\partial_\rho A^\nu=\partial_\nu A^\nu .$$

ここで右辺は事象 $x$ での値、左辺は同じ事象を新しい系の座標で読んだ値である。これは (4.28) の形になっている。19. 4.4-5 分散関係 $\omega^2=c^2k^2+m^2c^4/\hbar^2$ に $\omega=2mc^2/\hbar$ を入れると

$$\frac{4m^2c^4}{\hbar^2}=c^2k^2+\frac{m^2c^4}{\hbar^2}$$

となる。よって $k=\sqrt3\,mc/\hbar$ である。群速度は例題 4.5 の $v_{\mathrm g}=c^2k/\omega$ から

$$\frac{v_{\mathrm g}}{c}=\frac{ck}{\omega}=\frac{\sqrt3\,mc^2/\hbar}{2mc^2/\hbar}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866 .$$

これは $\gamma=2$ の粒子の速さ $\beta=\sqrt{1-1/4}=\sqrt3/2$ に一致する。$\hbar\omega=\gamma mc^2$ だからである。