4元速度と4元運動量

相対論入門　第5章 §5.1　★★★ 座標時間 $t$ でなく固有時 $\tau$ で微分すると、速度と運動量が4元ベクトルになる

第2章から第4章までで、慣性系どうしの座標の変換（Lorentz 変換）と、その変換のもとで決まった形で変わる量（4元ベクトルとテンソル）を整えた。ただし、そこで扱ったのは時空そのものの幾何であり、質量を持つ粒子がどう動くかという力学はまだ書いていない。Newton 力学の運動量 $m\bm{u}$ と運動エネルギー $\frac12 m u^2$ は Galilei 変換と組になった量なので、Lorentz 変換のもとでは保存則の形が慣性系ごとに変わってしまう。この章では、保存則がどの慣性系でも同じ形で成り立つように運動量とエネルギーを定義し直す。

道具は第3章 §3.3 の固有時 $\tau$ と第4章の4元ベクトルである。固有時は粒子に固定した時計の読みで、粒子の速さを $u$ とすると

$$\mathrm{d}\tau=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} t}{\gamma_u},\qquad \gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}\tag{5.1}$$

で表され、どの慣性系で計算しても同じ値になる（第3章 §3.3）。第3章と同じく、2種類の $\gamma$ 因子を添字で区別する。系どうしの相対速度 $\beta=v/c$ から作るものは $\gamma$ と書く。粒子の速さ $u$ から作るものは $\gamma_u$ と書く。4元ベクトル $a^\mu$ と $b^\mu$ の内積は

$$a\cdot b=a_\mu b^\mu=a^0b^0-\bm{a}\cdot\bm{b}$$

で、Lorentz 変換で変わらない（第4章 §4.2）。

§5.1 で4元速度と4元運動量を定義する。§5.2 でその時間成分がエネルギーであることを示し、$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ を導く。§5.3 では4元運動量の保存を衝突と崩壊に使い、不変質量・しきいエネルギー・Compton 散乱を計算する。§5.4 で力を4元ベクトルに組み、一様な力のもとでの運動（双曲線運動）を解く。

この章の結果は、第6章で電磁場中の荷電粒子の運動方程式を共変な形に書くとき、第7章で一様に加速する系（Rindler 座標）を扱うとき、第9章で曲がった時空の測地線を考えるときに、そのまま出発点になる。なお、同じ結果を作用（固有時の積分）から導く道は虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第3章にある。この章は運動方程式と保存則の側から組み立てる。

4元速度

粒子の世界線を、ある慣性系 $K$ の座標で $x^\mu(\tau)=(ct(\tau),\bm{x}(\tau))$ と表す。Newton 力学の速度 $\mathrm{d}\bm{x}/\mathrm{d} t$ を時空に広げようとして $\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d} t$ を作ると、これは4元ベクトルにならない。

分子の $\mathrm{d} x^\mu$ は Lorentz 変換で $\Lambda^\mu{}_\nu\,\mathrm{d} x^\nu$ に変わる4元ベクトルである。しかし分母の $\mathrm{d} t$ は座標時間で、慣性系ごとに値が違う。分母を、どの系で測っても同じ値の固有時 $\mathrm{d}\tau$ に取り替えればよい。

(5.1) の $\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau=\gamma_u$ を使うと、慣性系 $K$ での成分は

$$u^0=c\,\frac{d t}{d \tau}=\gamma_u c,\qquad u^i=\frac{d x^i}{d t}\,\frac{d t}{d \tau}=\gamma_u u_i\quad(i=1,2,3)\tag{5.3}$$

となる（右辺の $u_i$ は3次元の速度の成分 $u_x,u_y,u_z$）。まとめて $u^\mu=(\gamma_uc,\ \gamma_u\bm{u})$ と書く。粒子が静止している系では $\gamma_u=1$ なので $u^\mu=(c,0,0,0)$ である。

証明

(i) 別の慣性系 $K'$ への Lorentz 変換を $\Lambda^\mu{}_\nu$ とする。同じ世界線の微小な変位は

$$\mathrm{d} x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\,\mathrm{d} x^\nu$$

と変わる。固有時の微小量 $\mathrm{d}\tau=\sqrt{\mathrm{d} s^2}/c$ は不変間隔から作った量なので、2つの系で同じ値である（第3章 §3.2・§3.3）。$\Lambda^\mu{}_\nu$ は定数なので、両辺を同じ $\mathrm{d}\tau$ で割ると

$$u'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu u^\nu$$

を得る。これは4元ベクトルの変換則である。

(ii) 成分 (5.3) から

$$u_\mu u^\mu=(u^0)^2-\left\vert \gamma_u\bm{u}\right\vert ^2=\gamma_u^2\bigl(c^2-u^2\bigr)=\frac{c^2-u^2}{1-u^2/c^2}=c^2 .$$

別の見方をすれば、$u_\mu u^\mu=\mathrm{d} x_\mu\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\tau^2=\mathrm{d} s^2/\mathrm{d}\tau^2=c^2$ で、固有時の定義そのものである。

(iii) $\gamma_u\ge1$ から $u^0=\gamma_uc\ge c$ である。

4元速度は4つの成分を持つが、(5.4) の拘束があるので独立な成分は3つで、3次元の速度 $\bm{u}$ と同じ数である。4元速度は3次元の速度を「時空での向き」に書き直したもので、新しい自由度を加えたものではない。

4元速度の変換と速度の合成則

4元速度が4元ベクトルであることから、第2章 §2.3 の速度の合成則が行列の掛け算1回で出てくる。標準配置（第2章）では、系 $K'$ が系 $K$ から見て一定の速さで動く。向きは $x$ の正の向きで、速さを $v=\beta c$ と書く。この配置の Lorentz 変換を $u^\mu$ に施すと

$$u'^0=\gamma\bigl(u^0-\beta u^1\bigr),\qquad u'^1=\gamma\bigl(u^1-\beta u^0\bigr),\qquad u'^2=u^2,\qquad u'^3=u^3 .\tag{5.5}$$

$K'$ での3次元の速度は $u'_x=c\,u'^1/u'^0$ などで読み取れる。$u^0=\gamma_uc$、$u^1=\gamma_uu_x$ を入れると

$$u'_x=c\,\frac{\gamma_u u_x-\beta\gamma_u c}{\gamma_u c-\beta\gamma_u u_x}=\frac{u_x-v}{1-vu_x/c^2},\qquad u'_y=\frac{c\,\gamma_uu_y}{\gamma\gamma_u(c-\beta u_x)}=\frac{u_y}{\gamma\,(1-vu_x/c^2)}\tag{5.6}$$

となり、第2章 §2.3 の速度の合成則と一致する。さらに時間成分の式から、$K'$ での $\gamma$ 因子が

$$\gamma_{u'}=\frac{u'^0}{c}=\gamma\,\gamma_u\Bigl(1-\frac{vu_x}{c^2}\Bigr)\tag{5.7}$$

と読み取れる。速度の合成則を直接使って $\gamma_{u'}$ を計算すると平方根の処理が長くなるが、4元速度の変換では1行で済む。

4元運動量

粒子の質量 $m$ を、粒子が静止している系で Newton 力学と同じ方法（遅い衝突での運動量のやり取り）で測った値と定める。粒子の静止系は粒子ごとに1つに決まるので、$m$ はどの慣性系から見ても同じ値を持つスカラーである。

質量はスカラーで、4元速度は4元ベクトルである。したがって $p^\mu$ も4元ベクトルである。その大きさは (5.4) から

$$p_\mu p^\mu=m^2c^2\tag{5.9}$$

である。遅い粒子（$u\ll c$）では $\gamma_u=1+\mathcal{O}(u^2/c^2)$ である。したがって $\bm{p}\simeq m\bm{u}$ となり、Newton 力学の運動量に戻る。

この定義を選ぶ理由は、保存則との相性にある。孤立した粒子の集まりが衝突し、粒子の種類や数が変わる過程を考える。各粒子の4元運動量の和を

$$P^\mu=\sum_a p_a^\mu\tag{5.10}$$

と書く（$a$ は粒子の番号）。$P^\mu$ も4元ベクトルである。

証明

衝突の前後の差を $\Delta P^\mu=P^\mu_{\text{後}}-P^\mu_{\text{前}}$ と書く。前後の $P^\mu$ がともに4元ベクトルなので、その差も4元ベクトルで、$\Delta P'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu\Delta P^\nu$ と変わる。

(i) 系 $K$ で $\Delta P^\nu=0$ なら、右辺は0である。したがって $\Delta P'^\mu=0$ である。

(ii) 仮定から、系 $K$ で $\Delta P^1=\Delta P^2=\Delta P^3=0$ である。系 $K'$ を、$K$ に対して標準配置で動く系とする。その速さを $\beta c$（$\beta\ne0$）と書く。仮定から、この系でも $\Delta P'^1=0$ である。ブーストの式は

$$\Delta P'^1=\gamma\bigl(\Delta P^1-\beta\Delta P^0\bigr)=-\gamma\beta\,\Delta P^0$$

で、これが0なので $\Delta P^0=0$ である。

(ii) の意味は次のとおりである。運動量の保存がすべての慣性系で成り立つことを要請すると、それと組になる時間成分の保存も自動的に要請される。§5.2 で、この時間成分がエネルギー（を $c$ で割ったもの）であることを示す。相対論ではエネルギー保存と運動量保存は別々の法則ではなく、1つの4元ベクトルの保存則の4つの成分である。

Newton 力学の運動量 $m\bm{u}$ では、保存則がある系で成り立っても別の系で成り立たない。次の例題でその様子を確かめる。

確認テスト

オリジナル

1. 5.1-1 慣性系 $K$ で、粒子が速さ $0.8c$ で動く。向きは $y$ の正の向きである。この粒子の4元速度 $u^\mu$ を書き、$u_\mu u^\mu=c^2$ を数値で確かめよ。
2. 5.1-2 5.1-1 の粒子を、系 $K'$ から見る。$K'$ は $K$ に対して標準配置で動く。その速さは $\beta=0.6$ である。この系での4元速度・3次元の速度・速さ・$\gamma_{u'}$ を求めよ。
3. 5.1-3 速さ $0.99c$ の電子（$m_ec^2=0.511\,\mathrm{MeV}$）がある。運動量の大きさ $p$ を MeV$/c$ の単位で求めよ。また、Newton 力学の $m_eu$ と比べよ。
4. 5.1-4 2つの4元速度を $u^\mu$、$w^\mu$ とする。$u_\mu w^\mu\ge c^2$ を示せ。等号はどんなときに成り立つか。さらに $u_\mu w^\mu/c^2$ が、一方の粒子から見たもう一方の粒子の $\gamma$ 因子に等しいことを示せ。