衝突と崩壊

相対論入門　第5章 §5.3　★★★ 全4元運動量の保存と、その大きさ（不変質量）がどの系でも同じことを組み合わせると、反応の運動学は数行で解ける

全4元運動量の保存と不変質量

孤立した系で粒子が衝突したり崩壊したりするとき、粒子の種類と数は変わってよいが、全4元運動量 $P^\mu$ は変わらない（命題 5.4）。個々の粒子の質量は保存しない。保存するのは全エネルギーと全運動量で、例題 5.2 のように運動エネルギーが静止エネルギーに変わることも、その逆も起きる。

反応の計算で使う量は、全4元運動量の大きさ

$$M^2c^4=c^2P_\mu P^\mu=E_{\text{全}}^2-\left\vert \bm{P}\right\vert ^2c^2\tag{5.22}$$

である。粒子物理ではこの $Mc^2$ を不変質量、その2乗を $s$ と書くことが多い。$M$ は (5.20) の系の質量と同じもので、次の2つの性質を持つ。

• (a) 衝突の前後で変わらない。全4元運動量が保存するからである。
• (b) どの慣性系で計算しても同じ値になる。全4元運動量が4元ベクトルだからである。

反応の前の状態を実験室系で計算し、反応の後の状態を都合のよい系で計算して、両者を $M$ で結ぶことが運動学の基本の手順である。

証明

空間の回転で $\bm{P}$ を $x$ 軸の正の向きにそろえる。すなわち $\bm{P}=(P,0,0)$ とする。$P^\mu$ が時間的なので $P<P^0=E_{\text{全}}/c$ である。したがって

$$\beta=\frac{P}{P^0}=\frac{Pc}{E_{\text{全}}}$$

は $0\le\beta<1$ を満たす。この $\beta$ でブーストすると

$$P'^1=\gamma\bigl(P^1-\beta P^0\bigr)=\gamma\Bigl(P-\frac{P}{P^0}P^0\Bigr)=0$$

となり、$K'$ が重心系である。

後半を示す。各 $p_a^\mu$ は、$p_a^0>0$ の時間的または光的なベクトルである。2つのそのようなベクトルを $a^\mu$、$b^\mu$ とすると、

$$\left\vert \bm{a}\cdot\bm{b}\right\vert \le\left\vert \bm{a}\right\vert \left\vert \bm{b}\right\vert \le a^0b^0$$

から $a_\mu b^\mu\ge0$ である。したがって

$$P_\mu P^\mu=\sum_am_a^2c^2+2\sum_{a<b}p_{a\mu}p_b^\mu\ge\sum_am_a^2c^2 ,$$

で、質量を持つ粒子が1つでもあれば右辺は正である。

質量0の粒子だけでも、運動量の向きが2つ以上あれば $P^\mu$ は時間的になる。向きのそろった光子の集まりだけが $P_\mu P^\mu=0$ で、重心系を持たない。

2体崩壊

静止した質量 $M$ の粒子が、2粒子に崩壊する場合を考える。崩壊後の2粒子の質量を $m_1$、$m_2$ とする。崩壊前の4元運動量は $P^\mu=(Mc,\bm{0})$ で、崩壊後は $p_1^\mu+p_2^\mu=P^\mu$ である。運動量の保存から、2粒子は逆向きに同じ大きさ $p$ の運動量を持つ。$p_2^\mu=P^\mu-p_1^\mu$ の大きさを計算すると

$$m_2^2c^2=(P-p_1)_\mu(P-p_1)^\mu=M^2c^2-2P_\mu p_1^\mu+m_1^2c^2 .$$

静止系では $P_\mu p_1^\mu=Mc\cdot E_1/c=ME_1$ なので

$$E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M}\,c^2,\qquad E_2=\frac{M^2+m_2^2-m_1^2}{2M}\,c^2\tag{5.24}$$

である（$E_2$ は添字を入れ替える）。運動量の大きさは $p^2c^2=E_1^2-m_1^2c^4$ から

$$pc=\frac{c^2}{2M}\sqrt{\bigl[M^2-(m_1+m_2)^2\bigr]\bigl[M^2-(m_1-m_2)^2\bigr]}\tag{5.25}$$

となる。この式は、次の変形を組み替えて導ける。

$$\begin{aligned}\frac{4M^2(E_1^2-m_1^2c^4)}{c^4}&=(M^2+m_1^2-m_2^2)^2-4M^2m_1^2\\ &=(M^2+m_1^2-m_2^2-2Mm_1)(M^2+m_1^2-m_2^2+2Mm_1)\\ &=\bigl[(M-m_1)^2-m_2^2\bigr]\bigl[(M+m_1)^2-m_2^2\bigr]\\ &=(M-m_1-m_2)(M-m_1+m_2)(M+m_1-m_2)(M+m_1+m_2)\end{aligned}$$

2行目で差の積に分解し、4行目で各因子をさらに分解した。$p$ が実数であるためには $M\ge m_1+m_2$ が要る。重い粒子は軽い粒子の組にしか崩壊しない。

しきいエネルギー

加速した粒子 $a$ を、静止した標的粒子 $b$ に当てる反応を考える。入射粒子の質量を $m_a$、エネルギーを $E_a$ とする。標的粒子の質量を $m_b$ とする。反応で作る粒子の組の質量の和を $\sum_f m_f$ と書く。

反応の後の粒子は、重心系で全部静止しているときにエネルギーが最小で、そのとき不変質量は $\sum_fm_f$ である。したがって、反応が起きるためには、反応の前の不変質量が

$$M\ge\sum_fm_f\tag{5.26}$$

を満たさなければならない。等号のときのエネルギーをしきいエネルギーと呼ぶ。反応の前の不変質量は、実験室系で

$$M^2c^4=(E_a+m_bc^2)^2-\left\vert \bm{p}_a\right\vert ^2c^2=m_a^2c^4+m_b^2c^4+2E_am_bc^2$$

と計算できる（$E_a^2-\left\vert \bm{p}_a\right\vert ^2c^2=m_a^2c^4$ を使った）。(5.26) の等号から

$$E_a^{\text{しきい}}=\frac{\bigl(\sum_fm_f\bigr)^2-m_a^2-m_b^2}{2m_b}\,c^2\tag{5.27}$$

を得る。反応の後の粒子の質量の和の2乗に比例するので、重い粒子を作るほど、しきいエネルギーは急に大きくなる。しきいエネルギーでは反応の後の粒子は重心系で全部静止しており、実験室系では全部が重心系の速度 (5.23) で一緒に動いている。入射粒子のエネルギーの一部は、この重心の運動に使われて新しい粒子の静止エネルギーにはならない。

Compton 散乱

光子が静止した電子に当たって散乱する過程を、4元運動量で計算する（A. H. Compton による X 線の散乱の実験で確かめられた）。記号を次のように置く（図 5.2）。

• 入射光子と散乱光子の4元運動量を $k^\mu$、$k'^\mu$ とする。エネルギーは $E$、$E'$ とする。
• 静止した電子と反跳した電子の4元運動量を $p_e^\mu$、$p_e'^\mu$ とする。電子の質量は $m_e$ である。
• 散乱角を $\theta$ とする。

ここだけ、光子の4元運動量に (5.19) の $\hbar$ を含めて $k^\mu$ と書く。第4章の4元波数とは $\hbar$ 倍だけ違うものである。

$$k^\mu=\frac{E}{c}(1,\hat{\bm{n}}),\qquad k'^\mu=\frac{E'}{c}(1,\hat{\bm{n}}'),\qquad p_e^\mu=(m_ec,\bm{0}),\qquad \hat{\bm{n}}\cdot\hat{\bm{n}}'=\cos\theta .$$

保存則 $k^\mu+p_e^\mu=k'^\mu+p_e'^\mu$ から、測らない量である反跳電子の4元運動量 $p_e'^\mu=k^\mu+p_e^\mu-k'^\mu$ を消去する。両辺の大きさをとり、$k_\mu k^\mu=k'_\mu k'^\mu=0$、$p_{e\mu}p_e^\mu=p'_{e\mu}p_e'^\mu=m_e^2c^2$ を使うと

$$m_e^2c^2=m_e^2c^2+2k_\mu p_e^\mu-2k_\mu k'^\mu-2p_{e\mu}k'^\mu .$$

各内積は

$$k_\mu p_e^\mu=\frac{E}{c}\,m_ec=m_eE,\qquad p_{e\mu}k'^\mu=m_eE',\qquad k_\mu k'^\mu=\frac{EE'}{c^2}\bigl(1-\hat{\bm{n}}\cdot\hat{\bm{n}}'\bigr)=\frac{EE'}{c^2}(1-\cos\theta)$$

なので、$m_e(E-E')=EE'(1-\cos\theta)/c^2$ となる。両辺を $m_eEE'$ で割ると

$$\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}=\frac{1-\cos\theta}{m_ec^2}.\tag{5.28}$$

光子の波長は $\lambda=hc/E$ である（$h=2\pi\hbar$）。両辺に $hc$ を掛けて

$$\lambda'-\lambda=\lambda_{\mathrm C}\,(1-\cos\theta),\qquad \lambda_{\mathrm C}=\frac{h}{m_ec}\approx2.426\times10^{-12}\,\mathrm{m}\tag{5.29}$$

を得る。$\lambda_{\mathrm C}$ を電子の Compton 波長と呼ぶ。波長のずれは入射光の波長によらず散乱角だけで決まり、最大は後方散乱（$\theta=\pi$）の $2\lambda_{\mathrm C}$ である。

可視光（波長 500 nm 程度）では、ずれの割合が $10^{-5}$ 程度で測りにくい。ずれは、波長が $\lambda_{\mathrm C}$ に近い X 線やガンマ線で初めてはっきり現れる。古典的な電磁波の散乱（Thomson 散乱）では散乱波は入射波と同じ波長なので、この実験は光が $p^\mu=\hbar k^\mu$ を持つ粒子として電子と衝突することを示している。

確認テスト

オリジナル

1. 5.3-1 真空中で1つの光子が電子と陽電子の対に変わる反応 $\gamma\to e^-+e^+$ が起きないことを、不変質量を使って1行で示せ。
2. 5.3-2 静止した $\Lambda$ 粒子が、陽子と $\pi^-$ 中間子に崩壊する。静止エネルギーは、$\Lambda$ 粒子が 1115.683 MeV、陽子が 938.272 MeV、$\pi^-$ 中間子が 139.570 MeV である。陽子の運動量とエネルギーを求めよ。
3. 5.3-3 光子を静止した陽子に当てて $\gamma+p\to p+\pi^0$ の反応で中性パイ中間子（$m_{\pi^0}c^2=134.977\,\mathrm{MeV}$）を作るときの、光子のしきいエネルギーを求めよ。
4. 5.3-4 $1.00\,\mathrm{MeV}$ の光子が静止した電子に Compton 散乱されるとき、電子が受け取る運動エネルギーの最大値を求めよ（$m_ec^2=0.511\,\mathrm{MeV}$）。
5. 5.3-5 質量 $m$ の粒子が、静止した同じ質量 $m$ の粒子に当たって弾性散乱する（粒子の種類は変わらない）。散乱後の2粒子の運動量のなす角が $90^\circ$ より小さいことを示せ。Newton 力学ではこの角が $90^\circ$ に等しいことと比べよ。