エネルギーと質量

相対論入門　第5章 §5.2　★★★ 4元運動量の時間成分はエネルギーで、$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ は4元運動量の大きさが一定であることの言い換え

仕事とエネルギー

4元運動量の時間成分 $p^0=\gamma_umc$ の意味を、仕事とエネルギーの関係から決める。粒子に働く3次元の力 $\bm{F}$ を、Newton の第2法則と同じ形で

$$\bm{F}=\frac{d \bm{p}}{d t},\qquad \bm{p}=\gamma_um\bm{u}\tag{5.11}$$

と定める（この定義が4元ベクトルの言葉でどう表されるかは §5.4 で扱う）。Newton 力学と同じく、力が単位時間あたりにする仕事 $\bm{F}\cdot\bm{u}$ が運動エネルギー $T$ の増える割合だと定める。$\bm{F}\cdot\bm{u}$ を計算する。$\gamma_u$ を時間で微分すると、$u^2=\bm{u}\cdot\bm{u}$ に注意して

$$\frac{d \gamma_u}{d t}=\frac{d }{d t}\Bigl(1-\frac{\bm{u}\cdot\bm{u}}{c^2}\Bigr)^{-1/2} =-\frac12\Bigl(1-\frac{u^2}{c^2}\Bigr)^{-3/2}\Bigl(-\frac{2\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}}}{c^2}\Bigr) =\frac{\gamma_u^3}{c^2}\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}}$$

である（$\dot{\bm{u}}=\mathrm{d}\bm{u}/\mathrm{d} t$）。これを使うと

$$\bm{F}\cdot\bm{u}=m\,\bm{u}\cdot\frac{d }{d t}\bigl(\gamma_u\bm{u}\bigr) =m\gamma_u\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}}+m\,u^2\,\frac{\gamma_u^3}{c^2}\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}} =m\gamma_u\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}}\Bigl(1+\frac{\gamma_u^2u^2}{c^2}\Bigr).$$

括弧の中は $1+\gamma_u^2u^2/c^2=\gamma_u^2\bigl(1-u^2/c^2+u^2/c^2\bigr)=\gamma_u^2$ なので

$$\bm{F}\cdot\bm{u}=m\gamma_u^3\,\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}}=mc^2\,\frac{d \gamma_u}{d t}=\frac{d }{d t}\bigl(\gamma_umc^2\bigr)\tag{5.12}$$

となる。したがって、静止状態（$\gamma_u=1$）から速さ $u$ まで加速するあいだに力がした仕事は

$$T=(\gamma_u-1)\,mc^2\tag{5.13}$$

で、これが相対論的な運動エネルギーである。

(5.12) が示すように、仕事によって増えるのは $\gamma_umc^2$ という量であり、これは $c\,p^0$ に等しい。そこで、粒子のエネルギーを

$$E=c\,p^0=\gamma_umc^2=mc^2+T\tag{5.14}$$

と定める。運動エネルギー $T$ に定数 $mc^2$ を足したものをエネルギーと呼ぶのには理由がある。こう定めると $E/c$ が4元運動量の成分になり、命題 5.4 の保存則に組み込める。定数を変えて $E=T$ と定めると、$(E/c,\bm{p})$ は4元ベクトルにならず、エネルギー保存が系によって成り立ったり成り立たなかったりする。以後、4元運動量を

$$p^\mu=\Bigl(\frac{E}{c},\ \bm{p}\Bigr)\tag{5.15}$$

と書く。$mc^2$ は粒子が静止しているときのエネルギーなので静止エネルギーと呼ぶ。

遅い粒子では、$\gamma_u$ を $u^2/c^2$ で展開して

$$E=mc^2\Bigl(1+\frac12\frac{u^2}{c^2}+\frac38\frac{u^4}{c^4}+\cdots\Bigr) =mc^2+\frac12mu^2+\frac38\,\frac{mu^4}{c^2}+\cdots\tag{5.16}$$

となる。第2項が Newton 力学の運動エネルギーで、第3項が相対論の最初の補正である。

エネルギーと運動量の関係

(5.9) に (5.15) を入れると $E^2/c^2-\left\vert \bm{p}\right\vert ^2=m^2c^2$ である。$p=\left\vert \bm{p}\right\vert$ と書いて整理する。

証明

(5.17) は上で示した。速度は、(5.8) と (5.14) の比 $\bm{p}/E=\gamma_um\bm{u}/(\gamma_umc^2)=\bm{u}/c^2$ から出る。

エネルギーと運動量の大きさは、慣性系ごとに値が違う。しかし組み合わせ $E^2-(pc)^2$ は質量だけで決まり、系によらない。

$(pc,E)$ の平面で (5.17) を描くと、図 5.1 の双曲線になる。この双曲線を質量殻と呼ぶ。ブーストは双曲線の上で点を動かすだけで、点を双曲線の外へ出さない。第3章 §3.1 の目盛りの双曲線と同じ形である。

質量0の粒子

(5.17) は $m=0$ でも意味を持つ。そのとき $E=pc$ で、(5.18) から速さは $u=pc^2/E=c$ である。質量0の粒子はどの慣性系でも光速で動き、静止系を持たない。光子がその例で、第4章 §4.2 の4元波数 $k^\mu=(\omega/c,\bm{k})$ と Planck 定数 $\hbar$ を使って

$$p^\mu=\hbar k^\mu,\qquad E=\hbar\omega,\qquad \bm{p}=\hbar\bm{k}\tag{5.19}$$

と書ける。4元波数が4元ベクトルなので、光子の $p^\mu$ も4元ベクトルである。それは $p_\mu p^\mu=0$ を満たす光的なベクトルである。

質量を持つ粒子の4元速度 $u^\mu=p^\mu/m$ は、$m=0$ では定義することができない。質量0の粒子には固有時が経過しないからである（世界線上で $\mathrm{d}\tau=0$）。

静止エネルギーと系の質量

複数の粒子からなる系の質量 $M$ を、全4元運動量 (5.10) の大きさで

$$M^2c^2=P_\mu P^\mu=\frac{E_{\text{全}}^2}{c^2}-\left\vert \bm{P}\right\vert ^2,\qquad E_{\text{全}}=\sum_aE_a,\quad \bm{P}=\sum_a\bm{p}_a\tag{5.20}$$

と定める。$P^\mu$ が4元ベクトルなので $M$ は系によらない。全運動量が0になる系（重心系。§5.3 で存在を示す）では $Mc^2=E_{\text{全}}$ で、系の質量は系の全エネルギーを $c^2$ で割ったものである。各粒子のエネルギーは静止エネルギーと運動エネルギーの和なので

$$Mc^2=\sum_am_ac^2+\sum_aT_a\qquad(\text{重心系での運動エネルギー }T_a)\tag{5.21}$$

となる。系の質量は構成要素の質量の和に、重心系での内部の運動エネルギーを $c^2$ で割ったものを足した値である。

粒子の間に引力の位置エネルギーがあって束縛されているときは、そのエネルギー（負の値）も $Mc^2$ に入り、系の質量は構成要素の質量の和より小さくなる。この差 $\Delta m\,c^2$ を結合エネルギーと呼ぶ。例題 5.2 の $M=2.5\,m$ は、(5.21) で2粒子の運動エネルギー $2\times0.25\,mc^2$ が質量に入った例である。

確認テスト

オリジナル

1. 5.2-1 質量 $m$ の粒子の運動量が $p=mc$ のとき、エネルギーと速さを求めよ。
2. 5.2-2 陽子（$m_pc^2=938.272\,\mathrm{MeV}$）を運動エネルギー $7.00\,\mathrm{TeV}$ まで加速した。$\gamma_u$ と $1-u/c$ を有効数字3桁で求めよ。
3. 5.2-3 Newton 力学の運動エネルギー $\frac12mu^2$ と、相対論の $T=(\gamma_u-1)mc^2$ の比を考える。比 $\frac12mu^2/T$ が 0.99 になる速さ $u/c$ を求めよ。電子ではそれは何 keV の運動エネルギーにあたるか。
4. 5.2-4 2粒子の質量を $m_1$、$m_2$ とする。その2粒子からなる系の質量を $M$ とする。$M\ge m_1+m_2$ を示せ。等号はどんなときに成り立つか（5.1-4 の結果を使ってよい）。