4元力と運動方程式

相対論入門　第5章 §5.4　★★★ 運動方程式を4元ベクトルの式 $m\,\mathrm{d} u^\mu/\mathrm{d}\tau=f^\mu$ に書くと、一様な力のもとの運動は時空の双曲線になる

4元加速度

4元速度をもう一度固有時で微分した

$$a^\mu=\frac{d u^\mu}{d \tau}=\frac{d ^2x^\mu}{d \tau^2}\tag{5.30}$$

を4元加速度と呼ぶ。4元速度は4元ベクトルで、$\mathrm{d}\tau$ は不変である。したがって $a^\mu$ も4元ベクトルである。(5.4) の両辺を $\tau$ で微分すると $2u_\mu a^\mu=0$、すなわち

$$u_\mu a^\mu=0\tag{5.31}$$

である。4元加速度は4元速度と常に直交する。

この関係の意味は、粒子の瞬間静止系（その瞬間に粒子と同じ速度で動く慣性系）で見ると分かる。瞬間静止系では $u^\mu=(c,\bm{0})$ なので、(5.31) から $a^0=0$ で、4元加速度は空間成分だけを持つ。その空間成分は、瞬間静止系で測った普通の加速度 $\bm{\alpha}$ である。瞬間静止系では $\gamma_u=1$ で、その時間微分も0になるからである（$\mathrm{d}\gamma_u/\mathrm{d} t$ は速さの2次の量）。したがって

$$a_\mu a^\mu=-\left\vert \bm{\alpha}\right\vert ^2\tag{5.32}$$

で、左辺は不変量なので、どの慣性系で計算してもよい。$\left\vert \bm{\alpha}\right\vert$ を固有加速度と呼ぶ。粒子に乗った加速度計が示す値である。4元加速度は、粒子が加速している限り空間的なベクトルである。

4元力

4元運動量は4元ベクトルで、$\mathrm{d}\tau$ は不変である。したがって $f^\mu$ も4元ベクトルである。3次元の力 (5.11) との関係を求める。$\mathrm{d}/\mathrm{d}\tau=\gamma_u\,\mathrm{d}/\mathrm{d} t$ と、仕事の式 (5.12) の $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=\bm{F}\cdot\bm{u}$ を使うと

$$f^\mu=\gamma_u\Bigl(\frac{1}{c}\frac{d E}{d t},\ \frac{d \bm{p}}{d t}\Bigr)=\gamma_u\Bigl(\frac{\bm{F}\cdot\bm{u}}{c},\ \bm{F}\Bigr)\tag{5.34}$$

となる。4元力の空間成分は3次元の力に $\gamma_u$ を掛けたもので、時間成分は仕事率である。

質量が一定の粒子では $p^\mu=mu^\mu$ なので、運動方程式は

$$m\,\frac{d u^\mu}{d \tau}=f^\mu\tag{5.35}$$

となり、(5.31) から $f^\mu$ は $u_\mu f^\mu=0$ を満たさなければならない。(5.34) で確かめると $u_\mu f^\mu=\gamma_u^2(\bm{F}\cdot\bm{u}-\bm{u}\cdot\bm{F})=0$ で、確かに満たされている。逆に、質量を変える力（たとえば粒子を熱して内部のエネルギーを増やす作用）は $u_\mu f^\mu\ne0$ を持つ。その関係は、$p_\mu p^\mu=m^2c^2$ を固有時で微分した次の式である。

$$p_\mu f^\mu=mc^2\,\frac{d m}{d \tau}$$

(5.35) は4元ベクトルの式なので、ある慣性系で成り立てばすべての慣性系で同じ形で成り立つ（第4章 §4.4）。4元力の具体的な形は相互作用ごとに決まる。電磁場の場合は、第6章 §6.2 で示すように、電磁場テンソル $F^{\mu\nu}$ を使って

$$f^\mu=q\,F^{\mu\nu}u_\nu\tag{5.36}$$

と書け、その空間成分が Lorentz 力 $\gamma_uq(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})$ になる。

力と加速度の向き

Newton 力学では力と加速度は同じ向きを向くが、相対論では一般にそうならない。$\bm{F}=\mathrm{d}(\gamma_um\bm{u})/\mathrm{d} t$ を展開し、§5.2 で求めた $\mathrm{d}\gamma_u/\mathrm{d} t$ を使うと

$$\bm{F}=\gamma_um\,\dot{\bm{u}}+\frac{\gamma_u^3m}{c^2}\,(\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}})\,\bm{u} .\tag{5.37}$$

加速度 $\dot{\bm{u}}$ を、速度に平行な成分と垂直な成分に分ける。それぞれ $\dot{\bm{u}}_\parallel$、$\dot{\bm{u}}_\perp$ と書く。$(\bm{u}\cdot\dot{\bm{u}})\bm{u}=u^2\,\dot{\bm{u}}_\parallel$ なので、平行な成分には $\gamma_um(1+\gamma_u^2u^2/c^2)=\gamma_u^3m$ が掛かり、

$$\bm{F}=\gamma_u^3m\,\dot{\bm{u}}_\parallel+\gamma_um\,\dot{\bm{u}}_\perp\tag{5.38}$$

となる。同じ大きさの加速度を作るのに要る力は、速度に平行な向きでは垂直な向きの $\gamma_u^2$ 倍である。

円運動のように速度に垂直な力だけが働くときは、速さが変わらない。そのとき $\bm{F}=\gamma_um\,\dot{\bm{u}}$ で、Newton の式の質量を $\gamma_um$ に替えた形になる。一般の向きの力では、加速度は力と平行にならない。

一様な力と双曲線運動

静止していた質量 $m$ の粒子に、一定の力 $F$ を加え続ける。加え始める時刻は $t=0$ とする。力の向きは $x$ の正の向きとする。ここで「一定の力」は、粒子の瞬間静止系で測った固有加速度が一定値

$$\alpha=\frac{F}{m}\tag{5.39}$$

であることを意味する。$x$ 方向の運動では、出発点の静止系 $K$ での力は、瞬間静止系での力に等しい（確認テスト 5.4-3）。したがって系 $K$ でも $\mathrm{d} p_x/\mathrm{d} t=F$ が一定である。初期条件 $p_x(0)=0$ で積分すると

$$\gamma_uu=\alpha t \quad\Longrightarrow\quad u(t)=\frac{\alpha t}{\sqrt{1+(\alpha t/c)^2}}$$

となる。右の式は、$\gamma_uu=\alpha t$ を2乗した $u^2/(1-u^2/c^2)=\alpha^2t^2$ を解いたものである。$t\to\infty$ で $u\to c$ で、粒子の速さは光速に近づくが光速には達しない。$\alpha t\ll c$ では $u\simeq\alpha t$ で、Newton 力学の等加速度運動に戻る。位置は $x(0)=0$ として積分し

$$x(t)=\int_0^t\frac{\alpha t'}{\sqrt{1+(\alpha t'/c)^2}}\,\mathrm{d} t'=\frac{c^2}{\alpha}\Bigl(\sqrt{1+\Bigl(\frac{\alpha t}{c}\Bigr)^2}-1\Bigr)\tag{5.40}$$

である。整理すると

$$\Bigl(x+\frac{c^2}{\alpha}\Bigr)^2-(ct)^2=\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}\Bigr)^2\tag{5.41}$$

で、世界線は Minkowski 図の上の双曲線になる（図 5.3）。この運動を双曲線運動と呼ぶ。

固有時は $\mathrm{d}\tau=\mathrm{d} t/\gamma_u$、$\gamma_u=\sqrt{1+(\alpha t/c)^2}$ から

$$\tau=\int_0^t\frac{\mathrm{d} t'}{\sqrt{1+(\alpha t'/c)^2}}=\frac{c}{\alpha}\,\operatorname{arsinh}\frac{\alpha t}{c}$$

である。逆に解くと、世界線を固有時で表した形

$$ct=\frac{c^2}{\alpha}\sinh\frac{\alpha\tau}{c},\qquad x=\frac{c^2}{\alpha}\Bigl(\cosh\frac{\alpha\tau}{c}-1\Bigr),\qquad \frac{u}{c}=\tanh\frac{\alpha\tau}{c}\tag{5.42}$$

が得られる。最後の式は、第2章 §2.4 のラピディティ $\theta$（$\tanh\theta=u/c$）が固有時に比例して増えることを表す。その値は $\theta=\alpha\tau/c$ である。

瞬間静止系から見ると、短い固有時 $\Delta\tau$ のあいだに速度は $\alpha\Delta\tau$ 増える。それはラピディティ $\alpha\Delta\tau/c$ のブーストにあたる。同じ向きのブーストのラピディティは足し算になる（第2章 §2.4）ので、ラピディティが固有時に比例して増えることは、瞬間静止系で一定の加速度を受け続けることの言い換えである。

(5.42) から4元速度と4元加速度を計算すると

$$u^\mu=c\Bigl(\cosh\frac{\alpha\tau}{c},\ \sinh\frac{\alpha\tau}{c},\ 0,\ 0\Bigr),\qquad a^\mu=\alpha\Bigl(\sinh\frac{\alpha\tau}{c},\ \cosh\frac{\alpha\tau}{c},\ 0,\ 0\Bigr)$$

で、次の2つが成り立つ。

$$u_\mu a^\mu=c\alpha(\cosh\sinh-\sinh\cosh)=0,\qquad a_\mu a^\mu=\alpha^2(\sinh^2-\cosh^2)=-\alpha^2$$

固有加速度が一定値 $\alpha$ であることが確かめられた。$K$ での座標の加速度は $\mathrm{d} u/\mathrm{d} t=\alpha/\gamma_u^3$ で、時間とともに小さくなる（確認テスト 5.4-4）。

図 5.3 の漸近線には物理的な意味がある。出発点 $x=0$ から時刻 $t_0$ に、光を前方へ出す。その世界線は $ct=x+ct_0$ である。$ct_0\ge c^2/\alpha$ なら、この光は漸近線と同じかそれより上にあるので、双曲線に決して交わらない。

加速を続ける粒子には、出発点から時刻 $c/\alpha$ 以後に送った信号が届かない。粒子から見ると時空の一部が見えなくなる境界があり、これを地平面と呼ぶ。第7章 §7.4 では、この粒子に固定した座標（Rindler 座標）を作り、等価原理を通してこの地平面と重力の関係を調べる。

確認テスト

オリジナル

1. 5.4-1 4元力 (5.34) が $u_\mu f^\mu=0$ を満たすことを確かめ、その条件が粒子の質量が変わらないことと同じであることを説明せよ。
2. 5.4-2 静止した電子を一様な電場 $1.00\times10^6\,\mathrm{V/m}$ で加速する。電子が速さ $0.99c$ に達するまでの時間と、その間に進む距離を求めよ。定数は次の値を使う。

$$m_e=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\quad e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C},\quad m_ec^2=0.511\,\mathrm{MeV},\quad c=2.998\times10^8\,\mathrm{m/s}$$ 3. 5.4-3 系 $K$ で、粒子が速さ $u$ で動いている。向きは $x$ 方向で、粒子には同じ方向の力が働いている。4元力が4元ベクトルとして変わることを使い、次の2つの力が等しいことを示せ。1つは粒子の瞬間静止系での力 $F'_x$、もう1つは元の系での力 $F_x$ である。4. 5.4-4 双曲線運動 (5.40) について、$K$ での座標の加速度が $\mathrm{d} u/\mathrm{d} t=\alpha/\gamma_u^3$ であることを示せ。これは (5.38) とどう整合しているか。5. 5.4-5 速さ $0.6c$ で動く粒子に、大きさ $a$ の加速度を生じさせる。速度と同じ向きに生じさせる力と、速度に垂直な向きに生じさせる力の大きさの比を求めよ。