この章のまとめ

相対論入門　第5章 §5.5

この章では、粒子の力学を Lorentz 変換と両立する形に組み直した。出発点は、座標時間 $t$ のかわりに不変な固有時 $\tau$ で世界線を微分することである。

こうして作った4元速度 $u^\mu=(\gamma_uc,\gamma_u\bm{u})$ は4元ベクトルで、大きさは常に $c$ である。質量 $m$ を静止系で測ったスカラーと定めて $p^\mu=mu^\mu$ を4元運動量と呼ぶと、全4元運動量の保存則は慣性系によらない形になった。逆に、運動量の保存がすべての慣性系で成り立つことを要請すると、時間成分の保存も避けられないことを示した。

仕事とエネルギーの関係から、時間成分 $cp^0=\gamma_umc^2$ がエネルギーであることが分かった。それは運動エネルギー $(\gamma_u-1)mc^2$ と静止エネルギー $mc^2$ の和である。4元運動量の大きさが一定であることは $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ と同じことで、$m=0$ の粒子は光速で動く。系の質量は全4元運動量の大きさで決まり、内部の運動エネルギーや結合エネルギーを含むので、構成要素の質量の和とは一般に一致しない。

この不変質量がどの系でも同じで、衝突の前後でも変わらないことを使うと、反応の運動学は数行で解けた。2体崩壊の運動量・反粒子を作るしきいエネルギー・Compton 散乱の波長のずれは、どれも保存則の両辺の大きさを比べるだけで求まった。最後に、運動方程式を $m\,\mathrm{d} u^\mu/\mathrm{d}\tau=f^\mu$ の形に書き、力と加速度の比が速度に平行な向きと垂直な向きで $\gamma_u^2$ 倍違うことを示した。固有加速度が一定の運動は時空の双曲線で、ラピディティが固有時に比例して増え、光の漸近線の向こうに信号の届かない地平面ができる。

第6章では、4元力の具体例として電磁場から受ける力 $f^\mu=qF^{\mu\nu}u_\nu$ を扱い、一様磁場中の円運動をこの章の式で解く。第7章では双曲線運動する観測者の座標を Rindler 座標として組み、等価原理の議論に使う。第9章では、平らな時空で $\mathrm{d} u^\mu/\mathrm{d}\tau=0$ だった自由粒子の運動方程式を、曲がった時空の測地線の方程式へ一般化する。