Lorentz 力の共変形と一様磁場中の運動

相対論入門　第6章 §6.2　★★★ Lorentz 力は4元力 $qF^{\mu\nu}u_\nu$ の空間成分で、時間成分は電場のする仕事。一様磁場の中では固有時で等速の回転になる

4元力としての Lorentz 力

荷電粒子に働く3次元の力は Lorentz 力 $\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})$ である。これを4元力 (6.2) に組み込むと

$$f^\mu=\gamma_u\Bigl(\frac{q\,\bm{E}\cdot\bm{u}}{c},\ q(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})\Bigr)$$

となる（時間成分では $(\bm{u}\times\bm{B})\cdot\bm{u}=0$ を使った）。右辺は電磁場について1次で、4元速度についても1次である。これは次の形の式とちょうど同じである。

証明

$u_\nu=(\gamma_uc,\ -\gamma_u\bm{u})$ である。$\mu=0$ では、$F^{00}=0$ と (6.6) から

$$F^{0\nu}u_\nu=\sum_iF^{0i}u_i=\sum_i\Bigl(-\frac{E^i}{c}\Bigr)(-\gamma_uu^i)=\frac{\gamma_u}{c}\,\bm{E}\cdot\bm{u} .$$

左辺は $\mathrm{d} p^0/\mathrm{d}\tau=\gamma_u\,\mathrm{d}(E/c)/\mathrm{d} t$ である。両辺の $\gamma_u$ を約して $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=q\,\bm{E}\cdot\bm{u}$ を得る。$\mu=1$ では

$$F^{1\nu}u_\nu=F^{10}u_0+F^{12}u_2+F^{13}u_3 =\frac{E_x}{c}\gamma_uc+(-B_z)(-\gamma_uu_y)+B_y(-\gamma_uu_z) =\gamma_u\bigl(E_x+u_yB_z-u_zB_y\bigr)$$

で、括弧の中は $(\bm{E}+\bm{u}\times\bm{B})_x$ である。左辺は $\mathrm{d} p^1/\mathrm{d}\tau=\gamma_u\,\mathrm{d} p_x/\mathrm{d} t$ である。両辺の $\gamma_u$ を約して $x$ 成分の式を得る。$\mu=2,3$ も同じである。

(6.13) の右辺は、4元ベクトル $u_\nu$ に $F^{\mu\nu}$ を縮約した形である。したがって $F^{\mu\nu}$ がテンソルであれば右辺は4元ベクトルになり、方程式はすべての慣性系で同じ形になる。

逆向きの論法も成り立つ。Lorentz 力の法則がすべての慣性系で同じ形で成り立つことを、実験の事実として受け入れる。すると左辺 $\mathrm{d} p^\mu/\mathrm{d}\tau$ は4元ベクトルで、右辺の $u_\nu$ は（ある範囲の時間的な）任意のコベクトルを動ける。第4章の商定理によって、$F^{\mu\nu}$ はテンソルでなければならない。

§6.1 の変換則 (6.12) は、この意味で Lorentz 力の形から決まっている。

$F^{\mu\nu}$ の反対称性から、4元力は4元速度と直交する。

$$u_\mu f^\mu=q\,F^{\mu\nu}u_\mu u_\nu=0\tag{6.14}$$

（$u_\mu u_\nu$ は対称、$F^{\mu\nu}$ は反対称）。第5章 §5.4 で見たように、これは粒子の質量が変わらないことと同じである。電磁場は荷電粒子を加速するが、その静止質量を変えない。作用からこの方程式を導く道は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第2章・第3章にある。

一様な磁場の中の運動

電場がなく、一様な磁場 $\bm{B}=B\hat{\bm{z}}$（$B>0$）がある場合を解く。(6.13) の時間成分は $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=0$ で、粒子のエネルギーは一定である。したがって $\gamma_u$ も一定で、速さ $u$ は変わらない。空間成分は、$F^{12}=-B$、$F^{21}=B$ だけが 0 でないので

$$\frac{d u^1}{d \tau}=\frac{q}{m}F^{12}u_2=\omega_{\mathrm c}\,u^2,\qquad \frac{d u^2}{d \tau}=\frac{q}{m}F^{21}u_1=-\omega_{\mathrm c}\,u^1,\qquad \frac{d u^3}{d \tau}=0,\qquad \omega_{\mathrm c}\coloneqq\frac{qB}{m}\tag{6.15}$$

となる（$u_2=-u^2$、$u_1=-u^1$ を使った）。$\omega_{\mathrm c}$ は質量と電荷と磁場だけで決まる定数で、Newton 力学のサイクロトロン角振動数と同じ式である。(6.15) は固有時についての定数係数の線形方程式である。初期条件を、固有時0で $u^1=\gamma_uu_\perp$、$u^2=0$ とすると

$$u^1=\gamma_uu_\perp\cos\omega_{\mathrm c}\tau,\qquad u^2=-\gamma_uu_\perp\sin\omega_{\mathrm c}\tau,\qquad u^3=\gamma_uu_\parallel\tag{6.16}$$

が解である。ここで $u_\perp$ と $u_\parallel$ は、磁場に垂直な速さと平行な速さである。2乗の和 $u_\perp^2+u_\parallel^2=u^2$ は一定である。固有時でもう一度積分すると、$xy$ 面への射影は中心 $(0,-R)$ の円になる。半径は

$$R=\frac{\gamma_uu_\perp}{\omega_{\mathrm c}}=\frac{\gamma_umu_\perp}{qB}=\frac{p_\perp}{qB}\tag{6.17}$$

である（$x=R\sin\omega_{\mathrm c}\tau$、$y=R\cos\omega_{\mathrm c}\tau-R$）。$q>0$ なら $+z$ の側から見て時計回りに回る（図 6.1）。$z$ 方向には等速で進むので、3次元の軌道はらせんである。

固有時で見た角振動数は $\omega_{\mathrm c}$ で、速さによらない。一方、実験室の時間では $\mathrm{d} t=\gamma_u\mathrm{d}\tau$ なので

$$\omega=\frac{\omega_{\mathrm c}}{\gamma_u}=\frac{qB}{\gamma_um}\tag{6.18}$$

となる。速い粒子ほど1周にかかる時間が長くなる。Newton 力学では周期が速さによらないので、一定の周波数の電場で粒子を加速し続けることができた（サイクロトロン）。

相対論的な速さでは $\gamma_u$ が増えるにつれて周回が遅れ、加速の周波数か磁場を粒子のエネルギーに合わせて変えなければならない。(6.17) は、半径を決めるのが速さではなく運動量 $p_\perp$ であることを示している。磁場と半径を測れば運動量が分かるので、加速器や検出器で粒子の運動量を測る方法になる。

一様な電場と磁場が直交する場合

一様な電場 $\bm{E}=E\hat{\bm{y}}$ と一様な磁場 $\bm{B}=B\hat{\bm{z}}$ が同時にある場合を考える。大きさは $E<cB$ とする。(6.12) の $y$ 成分は $E'_y=\gamma(E-vB)$ である。

したがって標準配置で速さ $v=E/B$ の系 $K'$ をとると、電場が消える。仮定 $E<cB$ から、この速さは光速より小さい。

系 $K'$ では磁場 $B'_z=\gamma(B-vE/c^2)=B/\gamma$ だけがあり、粒子は前の小節の円運動（らせん）をする。元の系から見ると、その円運動全体が次の速度で流れる。

$$\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{B^2}=\frac{E}{B}\,\hat{\bm{x}}$$

これが $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトで、Newton 力学で得られる速度と同じ式が、$v$ が光速に近い場合も含めて成り立つ。$E>cB$ の場合は、速さ $c^2B/E$ で動く系をとると磁場が消え、残った一様な電場の中の運動（確認テスト 6.2-4）になる。どちらの場合になるかは不変量 $E^2-c^2B^2$ の符号で決まり、系の選び方にはよらない。

確認テスト

オリジナル

1. 6.2-1 4元力 $f^\mu=qF^{\mu\nu}u_\nu$ について $u_\mu f^\mu=0$ を1行で示し、それが粒子のどの量の保存を表すかを答えよ。
2. 6.2-2 運動エネルギー 1.0 MeV の電子（$m_ec^2=0.511\ \mathrm{MeV}$）が、$B=0.10\ \mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入る。$\gamma_u$・運動量 $pc$・軌道の半径・回転の周波数を求めよ。周波数は、Newton 力学の式による値 $eB/(2\pi m_e)$ と比べよ。
3. 6.2-3 電場と磁場が $\bm{E}=E_0\hat{\bm{y}}$、$\bm{B}=B_0\hat{\bm{z}}$ で、大きさが次の値のときを考える。

$$E_0=1.0\times10^5\ \mathrm{V/m},\qquad B_0=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$$

電場が消える系の速さ $v$ と $\beta$、その系での磁場を求めよ。不変量 $B^2-E^2/c^2$ が一致することも確かめよ。4. 6.2-4 一様な電場 $\bm{E}=E\hat{\bm{x}}$ の中で、電荷 $q$ の粒子が固有時0に原点で静止していた。この粒子の4元速度を (6.13) から求めよ。また、第5章 §5.4 の双曲線運動（固有加速度 $\alpha=qE/m$）になることを示せ。