この章のまとめ

相対論入門　第6章 §6.5

この章では、第4章のテンソルの文法と第5章の4元力を、電磁気学に当てはめた。電場と磁場は、4元ポテンシャルの反対称な微分 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ の6つの成分としてまとまる。成分は $F^{0i}=-E^i/c$、$F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B^k$ である。Maxwell 方程式の4本は $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ と $\partial_\mu\tilde F^{\mu\nu}=0$ の2本になり、前者の両辺の発散から電荷保存が出る。

場の変換は $F'=\Lambda F\Lambda^{\mathsf T}$ の行列の積1回で計算できる。$E^2-c^2B^2$ と $\bm{E}\cdot\bm{B}$ は系によらない。動く導体棒の例では、ある系の磁気力が別の系の電気力として現れた。

運動方程式は $\mathrm{d} p^\mu/\mathrm{d}\tau=qF^{\mu\nu}u_\nu$ で、空間成分が Lorentz 力、時間成分が電場のする仕事である。$F^{\mu\nu}$ の反対称性から、この力は4元速度と直交し、静止質量を変えない。逆に、Lorentz 力の法則がすべての慣性系で成り立つことを認めれば、商定理から $F^{\mu\nu}$ がテンソルであることが従う。

一様な磁場の中では、固有時について角振動数 $qB/m$ の回転になり、実験室の時間では角振動数が $qB/(\gamma_um)$ に下がる。軌道の半径は運動量で決まり $R=p_\perp/(qB)$ で、7 TeV の陽子を 8.3 T で曲げる半径は約 2.8 km であった。電場と磁場が直交するときは、電場か磁場の一方が消える系に移って解くことができ、どちらが消えるかは不変量 $E^2-c^2B^2$ の符号で決まる。

電磁場のエネルギー密度・Poynting ベクトル・Maxwell 応力は、対称でトレースが 0 のテンソル $T^{\mu\nu}=\frac1{\mu_0}(F^{\mu\alpha}F_\alpha{}^\nu+\frac14\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})$ の成分である。その発散 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^\nu{}_\lambda J^\lambda$ は、時間成分が Poynting の定理、空間成分が運動量の収支である。場が電荷に渡した分だけ、場のエネルギーと運動量が減ることを表す。

平面波では $T^{\mu\nu}$ が、光的なベクトルの積 $\varepsilon_0E^2n^\mu n^\nu$ になる。太陽光の放射圧は、吸収で $4.5\times10^{-6}\ \mathrm{Pa}$ であった。

物質については、静止系での形を4元速度と計量で共変に書いて $T^{\mu\nu}=(\rho+P/c^2)u^\mu u^\nu-P\eta^{\mu\nu}$ を作った。$P=0$ がダストである。保存則 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を4元速度に平行な成分と垂直な成分に分けると、エネルギーの式と相対論的な Euler 方程式になり、ダストでは各粒子が力を受けずに動くという運動方程式になる。等方的な気体では $P\le\rho c^2/3$ で、等号は光速で動く粒子（放射）のときに成り立ち、そのとき $T^{\mu\nu}$ のトレースが 0 になる。

第7章からは重力を扱う。第9章では、ダストの式 $u^\mu\partial_\mu u^\nu=0$ が曲がった時空で測地線の方程式になる。

第11章 §11.1 では、この章の $T^{\mu\nu}$ の保存則を $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ に一般化し、§11.2 でそれを Einstein 方程式の右辺に置く。§11.4 では、この章の Maxwell 方程式を曲がった時空に移す。完全流体の $T^{\mu\nu}$ は、第14章で一様等方な宇宙の物質・放射・宇宙定数を表すときにも使う。