完全流体とダストのエネルギー運動量テンソル

相対論入門　第6章 §6.4　★★★ 物質のエネルギー運動量テンソルは、静止系での形（密度と圧力）を4元速度と計量で共変に書いて作る。第11章の Einstein 方程式の右辺になる

前節では、場から $T^{\mu\nu}$ を作った。第11章で Einstein 方程式を書くときは、星や宇宙の中の物質についても同じ形の $T^{\mu\nu}$ が必要になる。物質を、たくさんの粒子の集まりとして平均した連続体（流体）として扱う。

この節の $\rho$ は流体の静止系で測った質量密度（エネルギー密度を $c^2$ で割ったもの）で、前の節までの電荷密度とは別の量である。この節では、最後の注意を除いて電荷は出てこない。

粒子の数の流れ

まず粒子の数を数える。流体の各点に4元速度 $u^\mu(x)$ があり、その点と一緒に動く系（局所的な静止系）で測った粒子の数密度を $n$ とする。$n$ は静止系で測ると決めたのでスカラーである。

実験室系では、流れの向きの長さが $1/\gamma_u$ に縮むので、数密度は $\gamma_un$ に見える。単位時間に単位面積を通る粒子の数は $\gamma_un\bm{u}$ である。そこで

$$N^\mu=n\,u^\mu=(\gamma_unc,\ \gamma_un\bm{u})\tag{6.26}$$

とおく。$N^0/c$ が実験室系の数密度で、$N^i$ がその流れの密度である。$N^\mu$ はスカラーと4元ベクトルの積なので4元ベクトルである。粒子が生まれも消えもしなければ、連続の式は

$$\partial_\mu N^\mu=0\tag{6.27}$$

になる。これは4元電流の (6.4) と同じ形である。

ダスト

粒子どうしが互いに力をおよぼさず、各点の粒子がすべて同じ速度で動く流体をダストと呼ぶ。圧力のない流体である。

ダストの静止系では、エネルギー密度は $\rho c^2$ で、運動量密度も運動量の流れも 0 なので、$T^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(\rho c^2,0,0,0)$ である。静止系で $u^\mu=(c,\bm{0})$ なので、これは $\rho u^\mu u^\nu$ と書くことができる。どの系でも成り立つ形にするには、この式をそのまま採用すればよい。

$$T^{\mu\nu}_{\mathrm{dust}}=\rho\,u^\mu u^\nu\tag{6.28}$$

右辺はスカラー $\rho$ と2つの4元ベクトルの積なので2階のテンソルで、静止系で正しい成分を持つ。テンソルの成分は1つの系で決まれば変換則で全部の系に決まるので、これが唯一の答えである。

実験室系での成分は

$$T^{00}=\gamma_u^2\rho c^2,\qquad T^{0i}=\gamma_u^2\rho c\,u^i,\qquad T^{ij}=\gamma_u^2\rho\,u^iu^j$$

である。エネルギー密度に $\gamma_u$ が2つ掛かる理由は2つある。数密度が $\gamma_u$ 倍に見えることと、粒子1個のエネルギーが $\gamma_umc^2$ になることである。

ダストの保存則 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を展開すると

$$\partial_\mu(\rho u^\mu)\,u^\nu+\rho\,u^\mu\partial_\mu u^\nu=0$$

となる。これに $u_\nu$ を掛けて縮約する。$u_\nu u^\nu=c^2$ を微分すると

$$u_\nu\partial_\mu u^\nu=\frac12\partial_\mu(u_\nu u^\nu)=0$$

なので、第2項が消えて

$$\partial_\mu(\rho u^\mu)=0\tag{6.29}$$

を得る（静止質量の保存。$\rho=mn$ なら (6.27) と同じ式）。これを元の式に戻すと

$$u^\mu\partial_\mu u^\nu=0\tag{6.30}$$

が残る。$u^\mu\partial_\mu$ は流体と一緒に動く粒子に沿った固有時の微分 $\mathrm{d}/\mathrm{d}\tau$ なので、(6.30) は「各粒子の4元速度が変わらない」、すなわち力を受けない粒子の運動方程式である。第9章で時空が曲がると、$\partial_\mu$ が共変微分に替わり、(6.30) は測地線の方程式になる。物質の運動方程式は、別に仮定しなくても $T^{\mu\nu}$ の保存則から導かれる。

完全流体

粒子が流体の各点でばらばらの向きに動いている場合を考える。局所的な静止系（その点の粒子の平均の運動量が0になる系）で、次の3つが成り立つ流体を完全流体と呼ぶ。

• (i) 熱の流れがない（$T^{0i}=0$）。
• (ii) 粘性がない（$T^{ij}$ に非対角成分がない）。
• (iii) 等方的である（$T^{11}=T^{22}=T^{33}$）。

このとき静止系での成分は、エネルギー密度 $\rho c^2$ と圧力 $P$ だけで

$$T^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(\rho c^2,\ P,\ P,\ P)\tag{6.31}$$

と書ける。$T^{ij}=P\delta_{ij}$ が圧力である理由は次のとおりである。運動量の $i$ 成分が、その向きに垂直な単位面積を、単位時間に $P$ だけ流れる。これは壁に圧力 $P$ をおよぼすことと同じである。

これを共変な形に書く。使える部品は4元速度 $u^\mu$ と計量 $\eta^{\mu\nu}$ だけである。したがって対称な2階のテンソルは、$u^\mu u^\nu$ と計量の線形結合しかない。そこで

$$T^{\mu\nu}=A\,u^\mu u^\nu+C\eta^{\mu\nu}$$

とおき、静止系で (6.31) と合わせる。空間成分から $-C=P$、時間成分から $Ac^2+C=\rho c^2$ を得る。よって

$$T^{\mu\nu}=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)u^\mu u^\nu-P\,\eta^{\mu\nu}\tag{6.32}$$

である。$P=0$ でダスト (6.28) に戻る。トレースは $T^\mu{}_\mu=(\rho+P/c^2)c^2-4P=\rho c^2-3P$ である。第8章以降で計量が $g^{\mu\nu}$ に替わったときは、平らな計量をそのまま置き換える。

完全流体の運動方程式

$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を (6.32) に当てはめる。$w\coloneqq\rho+P/c^2$ と書くと

$$\partial_\mu(wu^\mu)\,u^\nu+w\,u^\mu\partial_\mu u^\nu-\partial^\nu P=0$$

である。ダストのときと同じく $u_\nu$ を掛けて縮約すると、第2項が消えて

$$c^2\partial_\mu(wu^\mu)-u^\mu\partial_\mu P=0 \quad\Longrightarrow\quad \partial_\mu(\rho c^2u^\mu)+P\,\partial_\mu u^\mu=0$$

を得る。これはエネルギーの式で、静止系に移ると「体積が $\partial_\mu u^\mu$ の割合で膨らむとき、内部のエネルギーが圧力のする仕事 $P\,\mathrm{d} V$ だけ減る」という熱力学の第1法則の形をしている。この式を元の式に戻すと

$$\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)u^\mu\partial_\mu u^\nu=\Bigl(\eta^{\nu\mu}-\frac{u^\nu u^\mu}{c^2}\Bigr)\partial_\mu P\tag{6.33}$$

が残る。右辺の括弧は、4元速度に垂直な方向への射影である（$u_\nu$ を掛けると 0 になる）。流れが遅く（$\left\vert \bm{u}\right\vert \ll c$）、圧力がエネルギー密度より十分小さい（$P\ll\rho c^2$）ときを考える。このとき $u^\mu\partial_\mu\simeq\partial_t+\bm{u}\cdot\nabla$ で、$\partial^iP=-\partial_iP$ である。したがって空間成分は

$$\rho\Bigl(\partial_t+\bm{u}\cdot\nabla\Bigr)\bm{u}=-\nabla P$$

となり、圧力だけを力とする Euler 方程式に戻る。相対論的な式 (6.33) では、慣性を表す係数が $\rho$ ではなく $\rho+P/c^2$ になっている。圧力も慣性と重力の源になることは、第11章以降の星の構造や宇宙論で数として現れる。

確認テスト

オリジナル

1. 6.4-1 完全流体 (6.32) の静止系での成分を書き、トレースを求めよ。トレースが0になる $P$ と $\rho$ の関係を答えよ。

2. 6.4-2 質量密度 $\rho$（静止系）のダストが、実験室系で $x$ 方向に流れている。速さは $0.6c$ である。成分 $T^{00},T^{01},T^{11}$ が、それぞれ $\rho c^2$ の何倍か答えよ。

3. 6.4-3 実験室系 $K$ で静止している完全流体を、別の系 $K'$ で見る。$K'$ は標準配置で、速さは $\beta$ である。成分 $T'^{00},T'^{01},T'^{11}$ を、次の2通りで求め、一致することを確かめよ。

   • (a) (6.32) に、$K'$ での4元速度を入れる方法。
   • (b) $\Lambda T\Lambda^{\mathsf T}$ を計算する方法。

4. 6.4-4 ダストの保存則 $\partial_\mu(\rho u^\mu u^\nu)=0$ から、(6.29) と (6.30) の2つが従うことを示せ。どこで $u_\mu u^\mu=c^2$ を使うかを明示すること。

5. 6.4-5 1 気圧（$1.013\times10^5\ \mathrm{Pa}$）の水（$\rho=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$）を考える。$P/(\rho c^2)$ を求め、地上の物質の $T^{\mu\nu}$ で何が主な成分になるかを述べよ。