重力赤方偏移と重力の時間の遅れ

相対論入門　第7章 §7.3　★★★ 低い所の時計は遅れる。$\Delta f/f=-\Delta\Phi/c^2$ は GPS の運用に欠かせない補正になる

加速するロケットの中の光

等価原理を使って、重力場の中を上へ進む光の振動数がどう変わるかを求める。まず重力のない空間で考え、あとで等価原理によって重力場の話に移す。

重力のない空間で、ロケットが上向き（$+z$）に一定の加速度 $g$ で加速している。床に光源、高さ $h$ の天井に受信器を固定する。$gh/c^2\ll1$ を仮定し、$(gh/c^2)^2$ の程度の項は無視する。

光源が光を出した瞬間にロケットと一緒に動いている慣性系（瞬間静止系）を $K$ とし、その時刻を $t=0$ とする。$K$ で見ると、その時刻に光源は静止しているので、光の振動数は光源の固有の振動数 $f_0$ である。

光が天井に届くのは時刻 $t\simeq h/c$ である。正確には、その間に天井も $\frac12gt^2$ だけ進むので到着は少し遅れるが、その違いは $gh/c^2$ の相対的な補正にすぎず、この計算の精度では影響しない。到着の時刻に天井（受信器）は $K$ に対して速さ

$$u=g\,\frac{h}{c},\qquad \beta_u=\frac{u}{c}=\frac{gh}{c^2}\tag{7.13}$$

で上向き、すなわち光の進む向きに動いている。受信器は光源から遠ざかる向きに動いているので、第3章 §3.5 の縦の Doppler 効果によって、受信器の測る振動数は

$$f=f_0\sqrt{\frac{1-\beta_u}{1+\beta_u}}\simeq f_0\Bigl(1-\frac{gh}{c^2}\Bigr)\tag{7.14}$$

となる（$\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}=1-\beta+\mathcal{O}(\beta^2)$ を使った）。天井では、床の光源の光が低い振動数に見える。逆に天井から床へ光を送れば、床は光源に近づく向きに速さ $gh/c$ で動いているので、振動数は $f_0(1+gh/c^2)$ に高くなる。

ここで等価原理を使う。加速するロケットの中の物理は、重力加速度 $g$ の一様な重力場の中に静止した実験室の物理と区別できない（図 7.2）。したがって、地上の実験室でも、高さ $h$ だけ上に置いた受信器が床の光源の光を測ると、振動数は

$$\frac{f_{\text{上}}}{f_{\text{下}}}=1-\frac{gh}{c^2}\tag{7.15}$$

となる。重力場の中を上る光は振動数が下がる（波長が長くなり、可視光なら赤の側へずれる）。これを重力赤方偏移と呼ぶ。一様な場では $\Phi=gz+$定数なので、(7.15) は $gh=\Phi_{\text{上}}-\Phi_{\text{下}}$ を使って

$$\frac{\Delta f}{f}\coloneqq\frac{f_{\text{受}}-f_{\text{発}}}{f_{\text{発}}}=-\frac{\Phi_{\text{受}}-\Phi_{\text{発}}}{c^2}\tag{7.16}$$

と書ける。受信器が光源より高い所（$\Phi$ の大きい所）にあれば $\Delta f<0$ である。

エネルギー保存からの導出

同じ結果は、第5章 §5.2 の質量とエネルギーの関係とエネルギー保存だけからも導ける。Einstein の 1911 年の議論を整理した形で述べる。

一様な重力場 $g$ の中で、高さ $h$ だけ離れた床と天井を考える。天井に静止質量 $m$ の物体があるとする。

1. 物体を床まで落とす。床に着いたときの物体のエネルギーは、静止エネルギーと運動エネルギーの和 $mc^2+mgh$ である（$gh\ll c^2$ なので Newton 力学の運動エネルギーで足りる）。
2. 床で物体のエネルギーを全部、光（光子の集まり）に変える。光のエネルギーは $E_{\text{下}}=mc^2+mgh$ である。
3. 光を天井へ送り、天井で光のエネルギー $E_{\text{上}}$ を全部、静止した物体に戻す。

天井で元と同じ質量 $m$ の物体が得られ、さらにエネルギーが余れば、この一巡を繰り返すことで無からエネルギーを取り出せてしまう。エネルギー保存が成り立つためには $E_{\text{上}}=mc^2$ でなければならず、

$$\frac{E_{\text{上}}}{E_{\text{下}}}=\frac{mc^2}{mc^2+mgh}=\frac{1}{1+gh/c^2}\simeq1-\frac{gh}{c^2}$$

となる。光子1個のエネルギーは $\hbar\omega=2\pi\hbar f$ で振動数に比例し、上る途中で光子の数は変わらないので、振動数の比も同じ $1-gh/c^2$ である。

これは (7.15) と一致する。重力場の中を上る光は「位置エネルギーの分だけエネルギーを失う」と読むことができる。これは等価原理の次の主張と同じ内容である。光のエネルギー $E$ に慣性質量 $E/c^2$ を割り当てるなら、重力質量も同じ値でなければならない。

時計の進みの違い

(7.16) は、光の側に何かが起きたと読むこともできるが、時計の進みの違いとして読むほうが一般的である。重力場が時間によって変わらないとし、低い所の点 A と高い所の点 B にそれぞれ静止した時計を置く。A の時計で振動数 $f_{\mathrm A}$ の光を B へ送る。

光の山が A を出てから B に着くまでの時間は、場が時間変化しないので、どの山についても同じである。したがって、A で $n$ 個の山が出る間に、B にもちょうど $n$ 個の山が届く。A の時計でそれにかかった時間を $\Delta\tau_{\mathrm A}=n/f_{\mathrm A}$、B の時計で受け取りにかかった時間を $\Delta\tau_{\mathrm B}=n/f_{\mathrm B}$ とすると

$$\frac{\Delta\tau_{\mathrm B}}{\Delta\tau_{\mathrm A}}=\frac{f_{\mathrm A}}{f_{\mathrm B}}=1+\frac{\Phi_{\mathrm B}-\Phi_{\mathrm A}}{c^2}$$

である（(7.16) の逆数を1次まで展開した）。同じ2つの出来事（$n$ 個の山の送出の始めと終わりを B で受けた2つの時刻）の間隔を、B の時計は A の時計より長く測る。つまり、高い所の時計は低い所の時計より速く進む。

時計どうしを比べる共通の基準として、重力場の影響がない無限遠（$\Phi=0$）に静止した時計の時刻 $t$ を使う。すると、ポテンシャル $\Phi$ の所に静止した時計の固有時は

$$\mathrm{d}\tau=\Bigl(1+\frac{\Phi}{c^2}\Bigr)\mathrm{d} t\tag{7.17}$$

で進む（$\left\vert \Phi\right\vert \ll c^2$ での1次の式）。$\Phi<0$ なので、重力源の近くの時計ほど遅れる。これを重力の時間の遅れと呼ぶ。

ここまでの導出では、一様な場 $g$ を使った。一様でない場でも、高さの差 $\mathrm{d} z$ の小さな区間ごとに場を一様とみなし、各区間の振動数の比 $1-g(z)\,\mathrm{d} z/c^2$ を掛け合わせれば

$$\ln\frac{f_{\mathrm B}}{f_{\mathrm A}}=-\int_{\mathrm A}^{\mathrm B}\frac{g(z)}{c^2}\,\mathrm{d} z=-\frac{\Phi_{\mathrm B}-\Phi_{\mathrm A}}{c^2}$$

となり、1次の範囲で (7.16) が一般の場でも成り立つ。ここで $g(z)=\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d} z$ を使った。

時計が速さ $u$ で動いていれば、第3章 §3.3 の時間の遅れ $\mathrm{d}\tau=\sqrt{1-u^2/c^2}\,\mathrm{d} t$ も加わる。等価原理によれば、時計の位置の局所慣性系では特殊相対論の時間の遅れがそのまま成り立つので、$1/c^2$ の1次の範囲では2つの効果が足し合わされて

$$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d} t}\simeq1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{u^2}{2c^2}\tag{7.18}$$

となる。2つの補正の積は $1/c^4$ の程度なので、この精度では無視できる。$1/c^4$ の項まで正しく扱うには計量が必要になり、第9章 §9.2 と第12章 §12.4 でそれを行う。

確認テスト

オリジナル

1. 7.3-1 同じ型の2つの原子時計を、1つは山頂、1つはふもとに置いて長時間動かす。どちらの読みが進むか。理由を1文で答えよ。
2. 7.3-2 富士山頂（ふもととの高さの差 $3776\,\mathrm m$）の時計は、ふもとの時計に比べて1日あたり何 ns 進むか。$g=9.80\,\mathrm{m/s^2}$ を一定とする。
3. 7.3-3 国際宇宙ステーション（高さ $420\,\mathrm{km}$ の円軌道）の時計は、地上に静止した時計（自転は無視する）に比べて、1日あたりどれだけ進むか遅れるか。定数は例題 7.4 と同じとする。
4. 7.3-4 円軌道を回る衛星の時計と地上に静止した時計（自転は無視する）の進みが (7.18) の範囲で等しくなる軌道半径を、地球の半径 $R_\oplus$ を使って求めよ。
5. 7.3-5 (7.14) の導出で、光が天井に届くまでに天井が進む距離 $\frac12gt^2$ を入れて到着時刻を求め直し、振動数の比の補正が $(gh/c^2)^2$ の程度であることを示せ。