等価原理

相対論入門　第7章 §7.2　★★★ 自由落下する系では重力が局所的に消える。重力が残すのは潮汐力だけで、これが第10章で曲率になる

自由落下するエレベータ

一様な重力場の中の粒子を考える。鉛直上向きに $z$ 軸をとり、重力加速度を $g$ とする。粒子どうしは、相対位置だけで決まる力（第1章 §1.1）$\bm{F}_{ab}$ を及ぼし合うとする。$N$ 個の粒子の運動方程式は、重力質量と慣性質量が等しい（$m_{\mathrm g}=m_{\mathrm i}=m$）とき

$$m_a\ddot{\bm{x}}_a=-m_ag\,\hat{\bm{z}}+\sum_{b\neq a}\bm{F}_{ab}(\bm{x}_a-\bm{x}_b)\qquad(a=1,\dots,N)\tag{7.8}$$

である。

ここで、時刻 $t=0$ に静止していた箱（エレベータ）が綱を切られて自由落下するとし、箱に固定した座標を

$$\bm{x}'=\bm{x}+\tfrac12gt^2\,\hat{\bm{z}},\qquad t'=t\tag{7.9}$$

で定める。箱の中の観測者から見た加速度は $\ddot{\bm{x}}'_a=\ddot{\bm{x}}_a+g\,\hat{\bm{z}}$ であり、相対位置は $\bm{x}'_a-\bm{x}'_b=\bm{x}_a-\bm{x}_b$ で変わらない。これを (7.8) に代入すると

$$m_a\ddot{\bm{x}}'_a=\sum_{b\neq a}\bm{F}_{ab}(\bm{x}'_a-\bm{x}'_b)\tag{7.10}$$

となる。重力の項が消え、重力のない慣性系での運動方程式とまったく同じ形になった。箱の中の観測者は、箱の中の力学の実験をどれだけ行っても、自分が重力場の中を自由落下しているのか、重力のない空間で静止しているのかを区別できない。

この打ち消しは、重力の項が質量 $m_a$ に比例し、左辺の慣性の項と同じ係数を持つことで起きる。仮に比 $m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i}$ が粒子ごとに違えば、(7.10) の右辺に $(1-m_{\mathrm{g},a}/m_{\mathrm{i},a})m_{\mathrm{i},a}g\,\hat{\bm{z}}$ が残り、粒子ごとに違う見かけの重力が現れる。一様な電場の中の荷電粒子では、どんな加速系に移っても全部の粒子の電気力を同時に消すことはできない。§7.1 で確かめた落下の普遍性があるので、重力は座標の取り替えで消すことができる。

逆向きの取り替えも考えられる。重力のない空間で、箱が上向きに一定の加速度 $a$ で加速するロケットの中にあるとする。

箱に固定した座標 $\bm{x}'=\bm{x}-\frac12at^2\,\hat{\bm{z}}$ では、自由な粒子の運動方程式が $\ddot{\bm{x}}'=-a\,\hat{\bm{z}}$ となる。箱の中の観測者は、すべての物体が質量によらず加速度 $a$ で床へ落ちるのを見る。これは大きさ $a$ の一様な重力場とまったく同じである（図 7.2）。

潮汐力と局所性

実際の重力場は一様でない。地球の重力は地球の中心を向き、大きさは中心からの距離の2乗に反比例する。そのため、箱が大きければ、箱の中の離れた2点で重力の向きと大きさが違い、1つの加速系への取り替えでは全部を消すことができない。消えずに残る部分を潮汐力と呼ぶ。

自由落下する箱の中心が $\bm{X}(t)$ にあり、$\ddot{\bm{X}}=-\nabla\Phi(\bm{X})$ に従うとする。中心から $\bm{\xi}$ だけ離れた点を自由落下する粒子は $\ddot{\bm{X}}+\ddot{\bm{\xi}}=-\nabla\Phi(\bm{X}+\bm{\xi})$ に従う。右辺を $\bm{\xi}$ について1次まで Taylor 展開して差をとると、箱の中で見た粒子の運動方程式は

$$\ddot\xi_i=-\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\bigg|_{\bm{X}}\,\xi_j\tag{7.11}$$

となる。右辺の行列 $\partial_i\partial_j\Phi$ を潮汐テンソルと呼ぶ。一様な場では $\Phi$ が座標の1次式なので2階微分は $0$ であり、(7.10) に戻る。

質量 $M$ の球の外の点 $\bm{X}$ を考える。球の中心から $\bm{X}$ へ向かう向きに $z$ 軸をとり、それと垂直な2つの向きに残りの軸をとる。$\Phi=-GM/r$ の2階微分を計算すると、$\bm{X}=(0,0,R)$ で

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{GM}{r^3}\Bigl(\delta_{ij}-\frac{3x_ix_j}{r^2}\Bigr)\bigg|_{(0,0,R)}=\frac{GM}{R^3}\,\mathrm{diag}(1,\,1,\,-2)$$

となる（$\partial_i(1/r)=-x_i/r^3$、$\partial_j(x_i/r^3)=\delta_{ij}/r^3-3x_ix_j/r^5$ を使った）。したがって

$$\ddot\xi_z=+\frac{2GM}{R^3}\,\xi_z,\qquad \ddot\xi_x=-\frac{GM}{R^3}\,\xi_x,\qquad \ddot\xi_y=-\frac{GM}{R^3}\,\xi_y\tag{7.12}$$

である。鉛直に並んだ2つの粒子は離れていき、水平に並んだ2つの粒子は近づく。自由落下する球形の粒子の雲は、鉛直方向に伸び水平方向に縮む。

3つの係数の和は $0$ である。これは潮汐テンソルの跡が $\nabla^2\Phi$ に等しく、物質のない所では $\nabla^2\Phi=0$（Laplace 方程式）が成り立つことの表れである（確認テスト 7.2-4）。

潮汐力の大きさは、箱の大きさを $L$ として $(GM/R^3)L$ の程度である。$L$ を小さくすれば潮汐力はいくらでも小さくなるが、$0$ にはならない。また、時間 $t$ のあいだに潮汐力が生む変位は $(GM/R^3)Lt^2$ の程度なので、観測の時間も短く限る必要がある。こうして、重力を消すことができる範囲は、時空の中の十分に小さな領域（空間の広がりも時間の長さも限った領域）に限られる。

弱い等価原理と Einstein の等価原理

ここまでの内容を原理として述べる。強さの違う2つの形がある。

弱い等価原理は、§7.1 の落下の普遍性を言い換えたものである。Einstein の等価原理はそれを大きく拡げる。Einstein の等価原理は、重力の中で光や時計がどう振る舞うかを、特殊相対論の知識だけから予言することを可能にする。

重力場の中のある点での物理を知りたければ、その点のまわりの局所慣性系に移り、そこで特殊相対論を使い、結果を元の座標に戻せばよい。§7.3 と §7.4 はこの手順の実例である。

等価原理から、重力についての見方が1つ変わる。慣性系とは、自由な粒子が直線運動をする座標系のことであった。重力のある所で自由に（重力だけを受けて）運動する粒子は、自由落下する局所慣性系の中で直線運動をする。地上に静止した実験室は、重力に逆らって床から押し上げられているので、慣性系ではなく、上向きに加速する系にあたる。

そう考えると、重力は「力」としてではなく、局所慣性系どうしのつながり方として記述するのが自然になる。局所慣性系どうしを1つの大域的な慣性系にまとめることができない度合いが潮汐力 (7.11) であり、第10章 §10.2 ではそれを時空の曲率として定式化する。

確認テスト

オリジナル

1. 7.2-1 弱い等価原理と Einstein の等価原理の違いを、それぞれが何について述べているかで1文ずつ答えよ。
2. 7.2-2 一様な重力場 $g$ の中を自由落下する箱の中で、物体を水平に速さ $u$ で投げる。地上の座標での運動を書き、それを (7.9) で箱の座標に移して、箱の中では等速直線運動に見えることを示せ。
3. 7.2-3 地表の点で、月による潮汐加速度の大きさ $2GM_{\mathrm m}R_\oplus/d_{\mathrm m}^3$ と、太陽による潮汐加速度の大きさ $2GM_\odot R_\oplus/d_\odot^3$ を求め、比を答えよ。数値は次を使う。

$$\begin{aligned}GM_{\mathrm m}&=4.905\times10^{12}\,\mathrm{m^3/s^2}, & d_{\mathrm m}&=3.844\times10^8\,\mathrm m,\\ GM_\odot&=1.327\times10^{20}\,\mathrm{m^3/s^2}, & d_\odot&=1.496\times10^{11}\,\mathrm m,\\ R_\oplus&=6.371\times10^6\,\mathrm m.\end{aligned}$$ 4. 7.2-4 物質のない所で潮汐テンソルの跡 $\sum_i\partial_i\partial_i\Phi$ が0であることを示せ。また、自由落下する小さな粒子の雲の体積の時間についての2階微分が、雲が最初に静止していれば $t=0$ で0になることを (7.11) から示せ。