慣性質量と重力質量

相対論入門　第7章 §7.1　★★ 落下の普遍性は「慣性質量と重力質量の比が物質によらない」ことと同じで、それを $10^{-15}$ の精度で確かめた実験がある

第6章までで、特殊相対論の枠組み（Lorentz 変換・4元ベクトル・相対論的力学・電磁場のテンソル）はひととおりそろった。ただし、そこには重力が入っていない。Newton の重力の法則は、離れた2つの物体のあいだに同じ時刻で力がはたらくと考える遠隔作用の法則であり、第1章 §1.4 で見たとおり「同じ時刻」は慣性系ごとに違うので、そのままでは特殊相対論と両立しない。

重力を相対論の中に入れる方法を探す手がかりとして、Einstein は重力だけが持つ1つの性質に注目した。どんな物体も、質量や材質によらず、重力のもとで同じ加速度で落ちるという性質である。

この章では、その性質を実験の側から確かめ（§7.1）、そこから等価原理を定式化する（§7.2）。等価原理は「十分に小さな自由落下する実験室の中では重力が消え、特殊相対論がそのまま成り立つ」という主張であり、これを使うと、曲がった時空の数学をまだ持っていない段階でも、重力が時計の進みを変えること（§7.3）と、重力が光の進路を曲げること（§7.4）を導くことができる。

前の章から借りる結果は3つある。

1. 時間の遅れ（第2章 §2.2・第3章 §3.3）。速さ $u$ で動く時計の固有時は

$$\mathrm{d}\tau=\mathrm{d} t\sqrt{1-u^2/c^2}.$$ 2. 縦の Doppler 効果（第3章 §3.5）。速さ $\beta c$ で遠ざかる光源の振動数は

$$f=f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.$$ 3. 双曲線運動（第5章 §5.4）。瞬間静止系で一定の加速度 $\alpha$ を受ける粒子の世界線である。

この章で得る重力の時間の遅れの式は、第9章 §9.2 で計量の時間成分 $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ として読み直し、第12章 §12.4 で Schwarzschild 解から厳密な形を導く。光の曲がりの素朴な評価は、第12章 §12.3 で正しい値（ちょうど2倍）に直す。潮汐力は、第10章 §10.2 で時空の曲率として定式化する。

2つの質量

Newton 力学には、質量という語で呼ばれる量が2つの役割で現れる。1つは運動方程式

$$m_{\mathrm i}\,\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\tag{7.1}$$

の左辺に入る量で、同じ力を受けたときの加速されにくさを表す。これを慣性質量 $m_{\mathrm i}$ と呼ぶ。もう1つは、万有引力の法則で重力の強さを決める量である。質量 $M$ の物体が距離 $r$ にある物体に及ぼす重力を

$$\bm{F}=-\frac{GMm_{\mathrm g}}{r^2}\,\hat{\bm{r}}=-m_{\mathrm g}\nabla\Phi,\qquad \Phi=-\frac{GM}{r}\tag{7.2}$$

と書いたときの $m_{\mathrm g}$ を重力質量と呼ぶ。電場の中の電荷 $q$ にあたる量で、重力に対する「重力の電荷」と言ってもよい。

(7.1) と (7.2) を合わせると、重力だけを受ける物体の加速度は

$$\ddot{\bm{x}}=-\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\nabla\Phi\tag{7.3}$$

である。2つの質量は定義が別なので、比 $m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i}$ が物体ごとに違っても、論理の上では何も困らない。電場の中の荷電粒子では、加速度は比 $q/m_{\mathrm i}$ で決まり、電子と陽子とでは符号も大きさも違う。

ところが重力では、比 $m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i}$ がすべての物体で同じであり、そのために鉛の球も木の球も同じ加速度で落ちる。これを落下の普遍性と呼ぶ。比が普遍なら、重力定数 $G$ の値を選び直して比を1にできるので、以後は $m_{\mathrm g}=m_{\mathrm i}=m$ と書く。このとき (7.3) は $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ となり、質量は運動方程式から消える。

比が普遍かどうかは実験で決める問題である。それを表すために、2つの物体 A と B の自由落下の加速度 $a_{\mathrm A}$、$a_{\mathrm B}$ から

$$\eta_{\mathrm E}\coloneqq2\,\frac{a_{\mathrm A}-a_{\mathrm B}}{a_{\mathrm A}+a_{\mathrm B}} \simeq\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm A}-\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm B}\tag{7.4}$$

を定め、Eötvös パラメータと呼ぶ（右の近似は比が1に近いときに成り立つ）。添字の $\mathrm E$ は L. Eötvös の名前の頭文字で、計量 $\eta_{\mu\nu}$ とは添字の形で区別する。

振り子から捩れ秤へ

もっとも素朴な検査は、同じ高さから2つの物体を落として着地の時刻を比べることである。しかし、落下時間 $t=\sqrt{2h/a}$ の相対差は $\eta_{\mathrm E}/2$ にすぎず（確認テスト 7.1-2）、空気抵抗や放す時刻のずれの影響を受けやすい。

Newton は、同じ形の容器に違う物質を詰めた振り子の周期を比べた。振り子の周期は $T=2\pi\sqrt{m_{\mathrm i}\ell/(m_{\mathrm g}g)}$ で比 $m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i}$ を含む（確認テスト 7.1-3）。周期は何回も振らせて平均できるので、着地の比較より精度が上がる。それでも精度は $10^{-3}$ から $10^{-5}$ 程度にとどまる。

精度を大きく上げたのは Eötvös の捩れ秤である。発想は、物質によらない慣性の力と、物質によるかもしれない重力とを、水平な面の中で直角に近い向きに組み合わせ、差だけを捩れの回転として取り出すことにある。

地表に静止した実験室は地球の自転とともに回っているので、その中の物体には重力のほかに遠心力がはたらく。遠心力は回転座標系に移ったときに現れる慣性力で、大きさは慣性質量に比例する。重力は重力質量に比例する。2つの力を合わせた見かけの重力の向きは比 $m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i}$ に依存するので、比が物体ごとに違えば、物体ごとに「鉛直」の向きが少しずつ違う。

緯度 $\varphi$ の地点を考え、地球を半径 $R$ の球とする。自転の角速度は $\Omega$ とする。鉛直上向きの単位ベクトルを $\hat{\bm{e}}_{\mathrm{up}}$、水平で北向きの単位ベクトルを $\hat{\bm{e}}_{\mathrm N}$ とする。自転軸からの距離は $R\cos\varphi$ で、遠心力の加速度 $\Omega^2R\cos\varphi$ は自転軸から外向きである。この外向きの単位ベクトルは $\cos\varphi\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm{up}}-\sin\varphi\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm N}$ なので、物体にはたらく力の和は

$$\bm{F}=-m_{\mathrm g}g_0\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm{up}}+m_{\mathrm i}\Omega^2R\cos\varphi\,\bigl(\cos\varphi\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm{up}}-\sin\varphi\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm N}\bigr)\tag{7.5}$$

である。ここで $g_0=GM/R^2$ は自転がないときの重力加速度である。北半球（$\varphi>0$）では、水平成分は赤道の向き（南向き）を向く。

図 7.1 のように、長さ $2\ell$ の水平な棒の東の端に物体 A、西の端に物体 B を付けて糸で吊る。2つの物体の重力質量を等しく $M_{\mathrm g}$ にそろえる。このとき鉛直の力は（遠心力の鉛直成分の小さな差を除いて）釣り合い、棒は水平を保つ。水平の力 (7.5) の第2項の水平成分は、物体 A に $-m_{\mathrm{i,A}}h\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm N}$、物体 B に $-m_{\mathrm{i,B}}h\,\hat{\bm{e}}_{\mathrm N}$ である。ここで

$$h\coloneqq\Omega^2R\sin\varphi\cos\varphi\tag{7.6}$$

と置いた。2つの力の平均は吊り糸のわずかな傾きで支えられ、平均からの差が棒の両端に逆向きにはたらく。A は東へ $\ell$、B は西へ $\ell$ の位置にあるので、鉛直の軸（吊り糸）のまわりの回転力は、北向きを正、上から見て反時計回りを正として

$$N=\ell\cdot(-m_{\mathrm{i,A}}h)+(-\ell)\cdot(-m_{\mathrm{i,B}}h)=\ell h\,(m_{\mathrm{i,B}}-m_{\mathrm{i,A}})$$

である。重力質量をそろえたので $m_{\mathrm i}=M_{\mathrm g}/(m_{\mathrm g}/m_{\mathrm i})$ と書ける。比が $1$ に近いことを使って1次まで展開すると

$$m_{\mathrm{i,B}}-m_{\mathrm{i,A}}=M_{\mathrm g}\Bigl[\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm B}^{-1}-\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm A}^{-1}\Bigr] \simeq M_{\mathrm g}\Bigl[\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm A}-\Bigl(\frac{m_{\mathrm g}}{m_{\mathrm i}}\Bigr)_{\mathrm B}\Bigr]=M_{\mathrm g}\,\eta_{\mathrm E}$$

となり（$1/(1+x)\simeq1-x$ を使った）、回転力は

$$N=M_{\mathrm g}\,\ell\,\Omega^2R\sin\varphi\cos\varphi\;\eta_{\mathrm E}\tag{7.7}$$

である。

• $\eta_{\mathrm E}=0$ なら、回転力は生じない。
• $\eta_{\mathrm E}\neq0$ なら、棒は糸の捩れの復元力と釣り合う角 $N/\kappa$ だけ回る。ここで $\kappa$ は糸の捩れ定数である。

装置全体を鉛直軸のまわりに $180^\circ$ 回すと A と B の東西が入れ替わり、$N$ の符号が反転する。回す前後の釣り合いの角の差 $2N/\kappa$ を読めば、糸のくせなど装置に固有の回転を打ち消して $\eta_{\mathrm E}$ だけを取り出すことができる。

Eötvös らは 1900 年前後にこの方法で、さまざまな物質の組について $\left\vert \eta_{\mathrm E}\right\vert <10^{-8}$〜$10^{-9}$ の程度であることを示した。その後、遠心力の代わりに太陽の重力と地球の公転の加速度を組み合わせる方法（1日周期で信号が反転するので雑音と分けやすい）や、捩れ秤自体を一定の速さで回す方法で精度が上がった。2022 年には、地球を回る人工衛星の中でチタンと白金の円筒の落下を比べた MICROSCOPE 実験が、$\left\vert \eta_{\mathrm E}\right\vert$ が $10^{-15}$ 程度より小さいという結果を報告している。

確認テスト

オリジナル

1. 7.1-1 慣性質量と重力質量の定義を1文ずつで述べ、2つの比がすべての物体で等しいとき自由落下の加速度が物体によらない理由を式で示せ。
2. 7.1-2 高さ $h=100\,\mathrm m$ から物体 A と B を同時に静かに放す。$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$、Eötvös パラメータを $\eta_{\mathrm E}=1.0\times10^{-9}$ とするとき、着地の時刻の差を求めよ（空気抵抗は無視する）。
3. 7.1-3 長さ $\ell$ の単振り子の小振動の周期を求めよ。ただし慣性質量 $m_{\mathrm i}$ と重力質量 $m_{\mathrm g}$ を区別する。物質の違う2つの振り子の周期の相対差を $10^{-3}$ の精度で測って差が見えなかったとき、$\left\vert \eta_{\mathrm E}\right\vert$ にどんな上限がつくか。
4. 7.1-4 捩れ秤の回転力 (7.7) で、重力質量をそろえる代わりに慣性質量を等しく $M_{\mathrm i}$ にそろえたとする。このときの回転力を $\eta_{\mathrm E}$ の1次まで求め、(7.7) と比べよ。