加速系と Rindler 座標・光の曲がり

相対論入門　第7章 §7.4　★★ 一様に加速する観測者の座標は重力場のある計量の最初の例になる。等価原理から光が重力で曲がることも分かる

一様に加速する観測者の族

§7.3 では、ロケットの床と天井が同じ加速度 $g$ で加速するとして、$gh/c^2$ の1次まで計算した。ここでは、加速するロケットに固定した座標を特殊相対論の中で正確に作り、時計の進みの違いを厳密な形で求める。

第5章 §5.4 では、瞬間静止系で一定の加速度（固有加速度）$\alpha$ を受け続ける粒子の世界線が、固有時 $\tau$ を使って

$$ct=\frac{c^2}{\alpha}\sinh\frac{\alpha\tau}{c},\qquad x=\frac{c^2}{\alpha}\Bigl(\cosh\frac{\alpha\tau}{c}-1\Bigr)\tag{7.19}$$

と書けることを見た。世界線は双曲線 $(x+c^2/\alpha)^2-(ct)^2=(c^2/\alpha)^2$ である。ロケットの各点に、この粒子と同じ形の双曲線運動をする観測者を並べる。ロケットの中で $x$ 方向に測った位置を $\xi$ とする。この位置の観測者の世界線を

$$ct=\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}+\xi\Bigr)\sinh\frac{\alpha T}{c},\qquad x=\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}+\xi\Bigr)\cosh\frac{\alpha T}{c}-\frac{c^2}{\alpha},\qquad y=y,\qquad z=z\tag{7.20}$$

とする。ここで $T$ はすべての観測者に共通の時刻の目盛りで、$\xi=0$ の観測者の固有時に一致する。$(T,\xi,y,z)$ をRindler 座標と呼ぶ（名前は W. Rindler に由来する）。位置 $\xi$ の観測者の世界線は $(x+c^2/\alpha)^2-(ct)^2=(c^2/\alpha+\xi)^2$ の双曲線であり、第5章 §5.4 の結果を当てはめると、その固有加速度は

$$\alpha(\xi)=\frac{c^2}{c^2/\alpha+\xi}=\frac{\alpha}{1+\alpha\xi/c^2}\tag{7.21}$$

である（確認テスト 7.4-1）。ロケットの前の部分（$\xi>0$）ほど固有加速度が小さい。

Rindler 座標での線素

(7.20) を使って、不変間隔 $\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2$ を Rindler 座標で書く。次の2つの量を置く。

$$\rho\coloneqq\frac{c^2}{\alpha}+\xi,\qquad \theta\coloneqq\frac{\alpha T}{c}$$

すると (7.20) と微分の関係は

$$ct=\rho\sinh\theta,\qquad x+\frac{c^2}{\alpha}=\rho\cosh\theta,\qquad \mathrm{d}\rho=\mathrm{d}\xi,\qquad \mathrm{d}\theta=\frac{\alpha}{c}\,\mathrm{d} T$$

となる。微分をとると

$$c\,\mathrm{d} t=\sinh\theta\,\mathrm{d}\rho+\rho\cosh\theta\,\mathrm{d}\theta,\qquad \mathrm{d} x=\cosh\theta\,\mathrm{d}\rho+\rho\sinh\theta\,\mathrm{d}\theta .$$

2乗して差をとると、$\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta$ の項は $2\rho(\sinh\theta\cosh\theta-\cosh\theta\sinh\theta)=0$ で消え、

$$c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2=(\sinh^2\theta-\cosh^2\theta)\,\mathrm{d}\rho^2+\rho^2(\cosh^2\theta-\sinh^2\theta)\,\mathrm{d}\theta^2=-\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\theta^2$$

となる。$\rho^2\mathrm{d}\theta^2=(c^2/\alpha+\xi)^2(\alpha/c)^2\mathrm{d} T^2=(1+\alpha\xi/c^2)^2c^2\mathrm{d} T^2$ なので、

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1+\frac{\alpha\xi}{c^2}\Bigr)^2c^2\mathrm{d} T^2-\mathrm{d}\xi^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2\tag{7.22}$$

が得られる。これは平坦な時空（特殊相対論の時空）を加速系の座標で書いただけのものであるが、時間の項の係数が位置 $\xi$ によって変わる。

位置 $\xi$ に静止した時計では $\mathrm{d}\xi=\mathrm{d} y=\mathrm{d} z=0$ である。その固有時は $\mathrm{d} s=c\,\mathrm{d}\tau$ から

$$\mathrm{d}\tau=\Bigl(1+\frac{\alpha\xi}{c^2}\Bigr)\mathrm{d} T\tag{7.23}$$

で進む。前（$\xi>0$）の時計ほど速く進む。

等価原理によって、ロケットの加速度 $\alpha$ を重力加速度 $g$ と読み替える。床 $\xi=0$ を基準にした位置エネルギーを $\Phi=g\xi$ と置くと、(7.23) は (7.17) と同じ形

$$\mathrm{d}\tau=\Bigl(1+\frac{\Phi}{c^2}\Bigr)\mathrm{d} T$$

をしている。しかも、(7.22) の時間の項の係数は

$$\Bigl(1+\frac{\alpha\xi}{c^2}\Bigr)^2\simeq1+\frac{2\Phi}{c^2}\qquad(\Phi=\alpha\xi)\tag{7.24}$$

である。第9章 §9.2 では、弱い重力場の中の測地線が Newton の運動方程式に戻る条件として、計量の時間成分が $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ になることを導く。(7.24) はその最初の例である。

光の振動数の変化も厳密に求めることができる。(7.22) の係数は $T$ によらない。そのため、床から出た光の山が高さ $h$ の所に届くまでの $T$ の経過は、どの山についても同じである。したがって、2つの山の $T$ の間隔は出発点と到着点で等しく、それぞれの時計で測った間隔の比は (7.23) の比になる。受信の振動数と送信の振動数の比は

$$\frac{f_h}{f_0}=\frac{\mathrm{d}\tau_0}{\mathrm{d}\tau_h}=\frac{1}{1+\alpha h/c^2}\tag{7.25}$$

である。$\alpha h/c^2$ の1次では $1-\alpha h/c^2$ で、(7.14) と一致する（確認テスト 7.4-4）。

地平面

(7.22) の時間の項の係数は $\xi=-c^2/\alpha$ で0になる。図 7.3 では、これは光的な直線 $ct=\pm(x+c^2/\alpha)$ にあたる。第5章 §5.4 で見たとおり、上側の直線 $ct=x+c^2/\alpha$ より上の事象から出た光は、加速する観測者に決して届かない。

この直線を、加速する観測者の地平面と呼ぶ。地平面までの距離は、$\xi=0$ の観測者から測って $c^2/\alpha$ である。地平面は時空そのものの特別な場所ではなく、観測者が加速し続けることで生じる境界である。第13章 §13.1 では、Schwarzschild 時空の事象の地平面を調べるとき、同じ形の境界が現れる。

光の曲がり

等価原理は、重力が光の進路も曲げることを示す。重力のない空間で、加速度 $\alpha$ で $x$ 方向に加速するロケットを考える。慣性系 $K$ で $y$ 方向に進む光を、ロケットの中で見る。

$K$ の座標で、光の世界線を

$$x=0,\qquad y=ct$$

とする。これは、時刻0に $\xi=0$ の観測者の位置を、ロケットの進行方向と垂直に通る光である。(7.20) から

$$\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}+\xi\Bigr)^2=\Bigl(x+\frac{c^2}{\alpha}\Bigr)^2-(ct)^2$$

であり、光の世界線を代入すると

$$\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}+\xi\Bigr)^2+y^2=\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}\Bigr)^2$$

となる。ロケットの中では、光の進路は $(\xi,y)=(-c^2/\alpha,0)$ を中心とする半径 $c^2/\alpha$ の円の一部である。$y$ が小さいところで展開すると

$$\xi=\sqrt{\Bigl(\frac{c^2}{\alpha}\Bigr)^2-y^2}-\frac{c^2}{\alpha}\simeq-\frac{\alpha y^2}{2c^2}\tag{7.26}$$

で、光は加速度と逆向き（ロケットの床の向き）に曲がる。これは、速さ $c$ で水平に投げた物体が加速度 $\alpha$ で落ちるときの放物線と同じ形である。

等価原理により、重力場の中の光も同じように重力の向きへ曲がる。幅 $L$ の箱を光が横切るあいだの曲がりの角（進む向きの変化）を求める。(7.26) を $y$ で微分すると

$$\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d} y}=-\frac{\alpha y}{c^2}$$

で、これを $y=0$ と $y=L$ で比べて

$$\delta=\frac{\alpha L}{c^2}\tag{7.27}$$

である。地上（$\alpha=g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$）では、$L=1\,\mathrm{km}$ でも

$$\delta\approx1\times10^{-13}\,\mathrm{rad}$$

にすぎず、地上の実験で見るのは難しい。

太陽のそばを通る星の光ならば、曲がりは観測できる大きさになる。素朴な評価として、太陽の中心から距離 $b$ を通過する光を、ほぼ直線 $\bm{x}(t)=(b,\,ct,\,0)$ に沿って進むとみなす。等価原理により、光は各点で質量によらない重力加速度 $-GM_\odot\bm{x}/\left\vert \bm{x}\right\vert ^3$ を受けると考える。直線から垂直な向き（太陽の向き）の速度の変化は

$$\Delta u_\perp=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{GM_\odot\,b}{(b^2+c^2t^2)^{3/2}}\,\mathrm{d} t=\frac{GM_\odot b}{c}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d} y}{(b^2+y^2)^{3/2}}=\frac{GM_\odot b}{c}\cdot\frac{2}{b^2}=\frac{2GM_\odot}{bc}$$

である（$y=ct$ と置き、$\int_{-\infty}^\infty(b^2+y^2)^{-3/2}\mathrm{d} y=2/b^2$ を使った）。曲がりの角はこれを $c$ で割って

$$\delta_{\text{素朴}}=\frac{2GM_\odot}{bc^2}\tag{7.28}$$

となる。この値は、光を速さ $c$ の Newton 力学の粒子とみなしたときの値と同じである。

ここまでの話を、作用から出発する見方で整理したものは虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第11章にある（固有時の作用の計量を $g_{\mu\nu}$ に替えて、その Newton 極限と Rindler 座標を調べる）。

確認テスト

オリジナル

1. 7.4-1 (7.20) で $\xi$ を一定にした世界線について、4元加速度の大きさを計算し、固有加速度が (7.21) になることを示せ。
2. 7.4-2 地上（$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$）で、幅 $L=3.0\,\mathrm m$ の部屋を水平に横切る光が、横切るあいだに下がる距離と、進む向きの変化の角を求めよ。
3. 7.4-3 Rindler 座標で地平面は $\xi$ のどの値にあたるか。$\xi$ が一定の観測者を地平面に近づけると、その固有加速度はどうなるか。また、$\alpha=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ の観測者から見た地平面までの距離（m）を答えよ。
4. 7.4-4 (7.25) を $\alpha h/c^2$ の2次まで展開し、1次の項が (7.14) と一致することを確かめよ。また、光を逆向き（$\xi=h$ から $\xi=0$）に送ったときの比を厳密に求め、往きと帰りの比の積が1になることを示せ。