この章のまとめ

相対論入門　第7章 §7.5

重力が他の力と違う点は、慣性質量と重力質量の比がすべての物体で同じであり、そのために重力の中での運動が物体の質量や組成によらないことにある。この落下の普遍性は、Eötvös の捩れ秤から人工衛星の実験まで、Eötvös パラメータ $\eta_{\mathrm E}$ が $10^{-15}$ 程度より小さいという精度で確かめられている。

比が普遍なので、自由落下する箱に移れば重力の項は運動方程式から消え、逆に加速する箱の中では一様な重力場が現れる。ただし重力を消すことができる範囲は、潮汐力 (7.11) を無視できる小さな時空の領域（局所慣性系）に限られる。Einstein の等価原理は、局所慣性系の中では重力以外のすべての物理が特殊相対論に従うと主張する。

この主張を加速するロケットの中の光に当てはめると、次の2つが分かった。

• 重力場の中を上る光の振動数は $\Delta f/f=-\Delta\Phi/c^2$ だけ下がる。
• 静止した時計は $\mathrm{d}\tau=(1+\Phi/c^2)\mathrm{d} t$ で進む。

動く時計では特殊相対論の時間の遅れが加わり、

$$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d} t}\simeq1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{u^2}{2c^2}$$

となる。GPS の衛星の時計では、重力の効果（1日 $+45.7\,\mu\mathrm s$）が速さの効果（$-7.2\,\mu\mathrm s$）を上回る。

一様に加速する観測者の Rindler 座標では、線素が

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1+\frac{\alpha\xi}{c^2}\Bigr)^2c^2\mathrm{d} T^2-\mathrm{d}\xi^2-\mathrm{d} y^2-\mathrm{d} z^2$$

となる。時間の項の係数が位置によって変わるという形で、時計の進みの違いが厳密に表された。同じ座標で、水平に進む光が床の向きへ曲がることも示された。太陽のそばの光の曲がりを等価原理だけで素朴に評価すると $0.875''$ となるが、これは観測値の半分である。

次の第8章では、Rindler 座標の線素のように係数が位置によって変わる線素を一般に扱うために、多様体の上の座標変換・計量テンソル・Christoffel 記号・共変微分を導入する。第9章では局所慣性系でまっすぐ進む粒子の軌道を測地線として定式化し、その Newton 極限で計量の時間成分が $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ になることを示す。この章の (7.17) と (7.24) はそこで計量の言葉で導き直される。潮汐力は第10章で曲率になり、光の曲がりの足りない半分は第12章で求める。