計量テンソル

相対論入門　第8章 §8.2　★★★ 長さと時間を測る規則。重力の場は計量の成分として表され、以後のすべての計算は計量から始まる

線素と計量

多様体には、そのままでは長さや角度の概念が無い。座標は点に番号を付けるだけで、番号の差がどれだけの距離にあたるかは別に与える必要がある。特殊相対論では、不変間隔 $\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu$ がその規則であった。これを、点ごとに係数の変わる2次形式に広げる。

$g_{\mu\nu}$ を対称にとってよい理由は、反対称な部分 $A_{\mu\nu}=-A_{\nu\mu}$ が線素に寄与しないことにある（確認テスト 8.2-1）。実際、

$$A_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu=0$$

となる。線素 $\mathrm{d} s^2$ は2点の間の「間隔」で、座標の取り方によらない量として定める。$\mathrm{d} s'^2=\mathrm{d} s^2$ が任意の $\mathrm{d} x^\mu$ で成り立つことを要求すると、(8.2) から

$$g'_{\mu\nu}\mathrm{d} x'^\mu\mathrm{d} x'^\nu=g'_{\mu\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\mathrm{d} x^\alpha\mathrm{d} x^\beta=g_{\alpha\beta}\mathrm{d} x^\alpha\mathrm{d} x^\beta$$

となる。両辺の係数は $\alpha,\beta$ について対称なので、任意の $\mathrm{d} x$ で等しいことから係数どうしが等しい。これを $g'$ について解くと

$$g'_{\mu\nu}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\,g_{\alpha\beta}\tag{8.12}$$

を得る。これは $(0,2)$ 型テンソルの変換則 (8.9) にほかならない。行列 $J^\alpha{}_\mu=\partial x^\alpha/\partial x'^\mu$ を使うと、$g'=J^{\mathsf T}gJ$ と書くこともできる。

計量の逆行列を $g^{\mu\nu}$ と書く。

$$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu{}_\nu .\tag{8.13}$$

$g^{\mu\nu}$ は $(2,0)$ 型のテンソルである。第4章と同じく、計量で添字を下げ $V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu$、逆計量で添字を上げる $\omega^\mu=g^{\mu\nu}\omega_\nu$。2つの接ベクトルの内積は $g_{\mu\nu}U^\mu V^\nu=U_\mu V^\mu$ で、座標によらない。曲線 $x^\mu(\lambda)$ の長さ（時空では固有時に $c$ を掛けたもの）は

$$L=\int\sqrt{\left\vert g_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d \lambda}\frac{d x^\nu}{d \lambda}\right\vert }\,\mathrm{d}\lambda\tag{8.14}$$

で、パラメータの付け替え $\lambda\to\lambda'(\lambda)$ でも値を変えない。

符号と体積要素

計量の行列は対称なので、各点で直交行列によって対角化できる。さらに座標の線形な取り替えで対角成分の大きさを1にそろえることができる。このとき残る対角成分の正負の個数は、変換 $g'=J^{\mathsf T}gJ$ で変わらない（Sylvester の慣性法則）。

したがって「時空の計量の符号は $(+,-,-,-)$」という言明は座標によらない意味を持つ。正の固有値が1つの計量では、時間的・空間的・光的の区別が各点の接空間で第3章と同じように定まる。

面積や体積を測るには、座標の微小な箱 $\mathrm{d}^nx=\mathrm{d} x^1\cdots\mathrm{d} x^n$ にどれだけの大きさを割り当てるかを決める必要がある。$g=\det g_{\mu\nu}$ と書く。計量の変換と積分の変数変換は、それぞれ

$$\begin{aligned}g'&=(\det J)^2g &&\text{（(8.12) の行列式をとった）}\\ \mathrm{d}^nx'&=\left\vert \det(\partial x'/\partial x)\right\vert \,\mathrm{d}^nx=\left\vert \det J\right\vert ^{-1}\mathrm{d}^nx &&\text{（積分の変数変換）}\end{aligned}$$

となる。この2つを掛け合わせると

$$\sqrt{\left\vert g'\right\vert }\,\mathrm{d}^nx'=\left\vert \det J\right\vert \sqrt{\left\vert g\right\vert }\cdot\left\vert \det J\right\vert ^{-1}\mathrm{d}^nx=\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d}^nx\tag{8.15}$$

となり、$\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d}^nx$ は座標によらない。これを体積要素と呼ぶ。時空では $g<0$ なので $\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x$ と書く。

計量の例

平面の極座標。

Euclid 平面の計量は直交座標で $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$、すなわち $g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}$ である。例題 8.1 の Jacobi 行列 $J$ を使うと $g'=J^{\mathsf T}J$ である。$J$ の2つの列ベクトル

$$(\cos\varphi,\ \sin\varphi),\qquad (-r\sin\varphi,\ r\cos\varphi)$$

どうしの内積を並べればよい。結果は

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,\qquad g_{rr}=1,\quad g_{\varphi\varphi}=r^2,\quad g_{r\varphi}=0\tag{8.16}$$

である。成分 $g_{\varphi\varphi}$ が位置によって変わるが、空間は平らなままである。計量の成分が定数でないことは、空間が曲がっていることを意味しない。

2次元の球面。

半径 $a$ の球面を3次元空間に置き、点を $\bm{X}=(a\sin\theta\cos\varphi,\,a\sin\theta\sin\varphi,\,a\cos\theta)$ と表す。球面の上の2点の距離は、3次元空間の距離 $\mathrm{d}\bm{X}\cdot\mathrm{d}\bm{X}$ で測る。$\mathrm{d}\bm{X}=\partial_\theta\bm{X}\,\mathrm{d}\theta+\partial_\varphi\bm{X}\,\mathrm{d}\varphi$ で、

$$\partial_\theta\bm{X}\cdot\partial_\theta\bm{X}=a^2,\qquad \partial_\varphi\bm{X}\cdot\partial_\varphi\bm{X}=a^2\sin^2\theta,\qquad \partial_\theta\bm{X}\cdot\partial_\varphi\bm{X}=0$$

であるから、

$$\mathrm{d} s^2=a^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\right)\tag{8.17}$$

を得る。$\sqrt g=a^2\sin\theta$ なので、面積は

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=4\pi a^2$$

である。

こうして得た計量は、球面の上の住人が球面の中だけで距離を測った結果と同じであり、3次元空間を使わずに球面の幾何を書き表している。この「中から測った幾何」が一般相対論で必要になる考え方である。時空を外から眺める高い次元の空間は、物理的には存在しなくてよい。

Minkowski 時空の球座標。

特殊相対論の時空でも、空間を球座標で書けば

$$\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} r^2-r^2\left(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\right)\tag{8.18}$$

となる（確認テスト 8.2-2 の空間部分に時間を足したもの）。第12章の Schwarzschild 計量は、この形の $c^2\mathrm{d} t^2$ と $\mathrm{d} r^2$ の係数を動径の関数に置き換えたものである。

局所平坦性

極座標の例が示すように、計量の成分が場所によって変わっても、座標をうまく選べば定数にできることがある。では、球面のように本当に曲がった空間では、どこまで計量を簡単にできるだろうか。答えは次の定理である。

証明

点 $p$ を原点とする座標 $x'$ を、もとの座標の Taylor 展開

$$x^\mu=x^\mu_p+A^\mu{}_\alpha x'^\alpha+\frac12B^\mu{}_{\alpha\beta}x'^\alpha x'^\beta+\frac16C^\mu{}_{\alpha\beta\gamma}x'^\alpha x'^\beta x'^\gamma+\cdots\tag{8.19}$$

で決める。係数 $B$ は下の2つの添字について、$C$ は下の3つの添字について対称にとることができる。変換則 (8.12) の右辺

$$\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}\,g_{\alpha\beta}(x)$$

を $x'$ で展開する。すると、各次数に現れる係数は次のとおりで、それぞれの次数で新しく現れる係数について1次式になる。

• $g'(p)$ には $A$ だけが現れる。
• $\partial'g'(p)$ には $A,B$ が現れる。
• $\partial'\partial'g'(p)$ には $A,B,C$ が現れる。

そこで、各次数で「満たしたい条件の数」と「自由に選べる係数の数」を比べる。

0階　 $g'(p)=A^{\mathsf T}g(p)A$ である。$g(p)$ は対称行列なので、$A$ を次の行列に選べば1つ目の条件が満たされる。直交行列で対角化してから、各軸を $1/\sqrt{\left\vert \text{固有値}\right\vert }$ 倍する行列である。数を比べると次のようになる。

$$\begin{aligned}&{A}\text{ の成分} && n^2\ \text{個}\\ &\text{対称行列 }{g'(p)}\text{ の条件} && n(n+1)/2\ \text{個}\\ &\text{残り（1つ目の条件を保ったまま自由に選べる）} && n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2\ \text{個}\end{aligned}$$

$n=4$ では残りが6個で、$\eta_{\mu\nu}$ を保つ変換（3つの回転と3つのブースト）の数に等しい。

1階　 条件と選べる係数の数は次のとおりである。

$$\begin{aligned}&\text{条件 $\partial'_\lambda g'_{\mu\nu}(p)$}&& \lambda\ \text{が}\ n\ \text{通り}\times\text{対称な}\ (\mu,\nu)\ \text{が}\ n(n+1)/2\ \text{通り}\\ &\text{係数 $B^\mu{}_{\alpha\beta}$}&& \text{上の添字}\ n\ \text{通り}\times\text{対称な下の組}\ n(n+1)/2\ \text{通り}\end{aligned}$$

どちらも $n\cdot n(n+1)/2$ 個で、数がちょうど一致する。実際にすべての1階微分を0にする $B$ が1組存在する。その具体的な形は §8.3 の式 (8.25) で与える。

2階　 条件と選べる係数の数は次のとおりである。

$$\begin{aligned}&\text{条件 $\partial'_\lambda\partial'_\kappa g'_{\mu\nu}(p)$}&& \text{対称な}\ (\lambda,\kappa)\ \text{と対称な}\ (\mu,\nu)\ \text{の組で}\ [n(n+1)/2]^2\ \text{個}\\ &\text{係数 $C^\mu{}_{\alpha\beta\gamma}$}&& \text{上の添字}\ n\ \text{通り}\times\text{下の3つの対称な組}\ n(n+1)(n+2)/6\ \text{通り}\end{aligned}$$

係数は $n^2(n+1)(n+2)/6$ 個しかない。差は

$$\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}=\frac{n^2(n+1)\bigl[3(n+1)-2(n+2)\bigr]}{12}=\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$$

であり、少なくともこれだけの数の2階微分の組み合わせは $C$ を選んでも動かすことができない。これらは座標の取り方によらない、空間そのものの性質である。

数え上げの結果を表にしておく。

2次元では消せない量が1つだけで、これが曲面の Gauss 曲率にあたる。4次元の20個は、第10章で導入する Riemann テンソルの独立な成分の数に一致する。

定理 8.7 の座標は、第7章 §7.2 の局所慣性系の数学的な表現である。点 $p$ で計量は $\eta_{\mu\nu}$ に等しく、その1階微分は0である。そのため点 $p$ のごく近くでは、計量は Minkowski 計量からの2次のずれしか持たない。

第9章で見るように、自由落下の運動方程式に現れる重力の項は計量の1階微分で書かれるので、この座標では $p$ において重力が消える。消えずに残る2階微分は、第10章で潮汐力として現れる。等価原理が「十分に小さな」実験室に限られるのは、このためである。

確認テスト

オリジナル

1. 8.2-1 線素 $\mathrm{d} s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu$ で、計量の反対称な部分が線素に寄与しないことを示せ。
2. 8.2-2 3次元の Euclid 空間の計量 $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2$ を球座標に変換し、$\sqrt g$ を求めよ。それを使って半径 $R$ の球の体積を計算せよ。
3. 8.2-3 球面の計量 (8.17) で、$\theta$ の代わりに $u=\cos\theta$ を座標に使うと、計量はどう書けるか。そのとき $\sqrt g$ が定数になることを示し、北緯 $30^\circ$ より北の部分の面積が球面全体の何分の1かを求めよ。
4. 8.2-4 $J^\alpha{}_\mu=\partial x^\alpha/\partial x'^\mu$ とする。座標変換で $\det g'=(\det J)^2\det g$ となることを示し、それを使って $\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d}^nx$ が座標によらないことを証明せよ。
5. 8.2-5 3次元の空間で、計量の2階微分の数と、座標の3次の係数 $C^\mu{}_{\alpha\beta\gamma}$ の数を数え、消せない組み合わせの数が6になることを確かめよ。