Christoffel 記号と共変微分

相対論入門　第8章 §8.3　★★★ 偏微分を、座標によらない微分（共変微分）に直す。測地線・曲率・場の方程式のすべてがこの微分で書かれる

共変微分の定義

§8.1 で、ベクトル場の偏微分 $\partial_\mu V^\nu$ は余分な項 (8.10) のためにテンソルにならないことを見た。そこで、偏微分に「基底の変化を補う項」を足して、テンソルとして変換する微分を作る。補う項は $V$ について1次であるはずなので、

$$\nabla_\mu V^\nu\coloneqq\partial_\mu V^\nu+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}V^\lambda\tag{8.20}$$

とおく。係数 $\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}$ を接続の係数と呼ぶ。共変微分が $(1,1)$ 型のテンソルになるように、$\Gamma$ の変換則を決める。

要求は

$$\nabla'_\mu V'^\nu=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\nabla_\alpha V^\beta$$

である。左辺の偏微分の部分は (8.10) で計算済みなので、

$$\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\partial_\alpha V^\beta +\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial^2x'^\nu}{\partial x^\alpha\partial x^\gamma}V^\gamma +\Gamma'^\nu{}_{\mu\lambda}V'^\lambda =\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\left(\partial_\alpha V^\beta+\Gamma^\beta{}_{\alpha\gamma}V^\gamma\right)$$

となる。両辺の $\partial_\alpha V^\beta$ の項は消える。残りに $V^\gamma=(\partial x^\gamma/\partial x'^\lambda)V'^\lambda$ を代入し、任意のベクトルで成り立つことから係数を比べると、

$$\Gamma'^\nu{}_{\mu\lambda} =\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\lambda}\frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\beta}\,\Gamma^\beta{}_{\alpha\gamma} -\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\lambda}\,\frac{\partial^2x'^\nu}{\partial x^\alpha\partial x^\gamma}\tag{8.21}$$

を得る。第1項は $(1,2)$ 型テンソルの変換則であるが、第2項は $\Gamma$ によらない余分な項である。したがって $\Gamma$ はテンソルではない。

この余分な項が、偏微分の余分な項を打ち消す役をしている。直交座標で $\Gamma=0$ でも、極座標では $\Gamma\ne0$ となりうる。

余接ベクトルの共変微分は、スカラーの共変微分が偏微分に等しいこと、積の微分の規則（Leibniz 則）が成り立つことを要求して決める。スカラー $\omega_\nu V^\nu$ に対して

$$\partial_\mu(\omega_\nu V^\nu)=\nabla_\mu(\omega_\nu V^\nu)=(\nabla_\mu\omega_\nu)V^\nu+\omega_\nu\left(\partial_\mu V^\nu+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}V^\lambda\right)$$

が成り立つべきである。左辺を積の微分で展開し、両辺の $\omega_\nu\partial_\mu V^\nu$ を消すと

$$(\nabla_\mu\omega_\nu)V^\nu=(\partial_\mu\omega_\nu)V^\nu-\omega_\nu\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}V^\lambda .$$

任意の $V$ で成り立つので、添字の名前を整えて

$$\nabla_\mu\omega_\nu=\partial_\mu\omega_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\omega_\lambda\tag{8.22}$$

を得る。一般のテンソルでは、上付きの添字ごとに $+\Gamma$、下付きの添字ごとに $-\Gamma$ の項を1つずつ足す。たとえば

$$\nabla_\lambda T^\mu{}_\nu=\partial_\lambda T^\mu{}_\nu+\Gamma^\mu{}_{\lambda\kappa}T^\kappa{}_\nu-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}T^\mu{}_\kappa\tag{8.23}$$

である。

Levi-Civita 接続と Christoffel 記号

ここまでの議論では $\Gamma$ を変換則 (8.21) を満たすものとして自由に選べる。計量のある多様体では、次の2つの条件で $\Gamma$ がただ1つに決まる。

証明

条件2を (8.23) と同じ規則で書くと

$$\partial_\lambda g_{\mu\nu}=\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}g_{\kappa\nu}+\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}g_{\mu\kappa}.$$

添字を下げた記号 $\Gamma_{\nu\lambda\mu}\coloneqq g_{\nu\kappa}\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}$ を使い、条件1から後ろの2つの添字について対称であることに注意すると

$$\partial_\lambda g_{\mu\nu}=\Gamma_{\nu\lambda\mu}+\Gamma_{\mu\lambda\nu}.$$

添字 $(\lambda,\mu,\nu)$ を巡回させた2つの式

$$\partial_\mu g_{\nu\lambda}=\Gamma_{\lambda\mu\nu}+\Gamma_{\nu\mu\lambda},\qquad \partial_\nu g_{\lambda\mu}=\Gamma_{\mu\nu\lambda}+\Gamma_{\lambda\nu\mu}$$

も同時に成り立つ。2番目と3番目を足して1番目を引くと、後ろの2つの添字についての対称性 $\Gamma_{\nu\mu\lambda}=\Gamma_{\nu\lambda\mu}$、$\Gamma_{\mu\nu\lambda}=\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ によって4つの項が打ち消し合い、

$$\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}=2\Gamma_{\lambda\mu\nu}$$

が残る。両辺に $\frac12g^{\rho\lambda}$ を掛けて和をとり、計量の対称性を使って添字を並べ直すと (8.24) になる。こうして $\Gamma$ は計量とその1階微分で一意に決まった。

逆に、(8.24) が下の2つの添字について対称であることは式から明らかである。これを $\Gamma_{\nu\lambda\mu}+\Gamma_{\mu\lambda\nu}$ に代入すると、6つの項のうち4つが打ち消し合って $\partial_\lambda g_{\mu\nu}$ が残り、条件2も満たされる。

一般相対論では、この Levi-Civita 接続だけを使う。2つの条件を課す理由は物理の側にある。次に示すように、どの点でも $\Gamma$ がその点で0になる座標を選ぶことができ、そこでは共変微分が偏微分に一致する。等価原理によれば、そのような座標（局所慣性系）では特殊相対論が成り立つので、ベクトルの微分は特殊相対論と同じく偏微分でなければならない。

2つの条件はそれぞれ次のように出てくる。

1. ねじれが無い。ねじれのある接続ではねじれ（テンソル）を消せないので、どの座標でも $\Gamma=0$ にはならない。
2. 計量と両立する。局所慣性系では計量が $\eta_{\mu\nu}$ で、1階微分が0である。したがってその座標で

$$\nabla_\lambda g_{\mu\nu}=\partial_\lambda g_{\mu\nu}=0$$

が成り立つ。これはテンソルの式なので、定理 8.5 によりどの座標でも成り立つ。

1点で $\Gamma$ を消す座標

点 $p$ を原点とし、$y^\mu=x^\mu-x^\mu_p$ とおいて、新しい座標を

$$x'^\rho=y^\rho+\frac12\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)\,y^\mu y^\nu\tag{8.25}$$

で定める。点 $p$ では、$\Gamma$ の対称性を使うと

$$\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\mu}=\delta^\rho{}_\mu,\qquad \frac{\partial^2x'^\rho}{\partial x^\mu\partial x^\nu}=\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)$$

である。変換則 (8.21) に入れると、点 $p$ では Jacobi 行列がすべて $\delta$ なので

$$\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu}(p)=\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)-\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)=0$$

となる。この座標で $\nabla_\lambda g'_{\mu\nu}=0$ を書くと、$\Gamma'(p)=0$ なので次が成り立つ。

$$\partial'_\lambda g'_{\mu\nu}(p)=0$$

はじめに線形な変換で $g(p)$ を $\eta$（または単位行列）にしておけば、定理 8.7 の2つの条件がそろう。これで定理の1階の部分の証明が完成した。

この結果から、特殊相対論の式を曲がった時空の式へ移す規則が得られる。局所慣性系で成り立つ特殊相対論のテンソルの式の中で、次の置き換えを行う。

$$\eta_{\mu\nu}\ \to\ g_{\mu\nu},\qquad \partial_\mu\ \to\ \nabla_\mu$$

置き換えた式はテンソルの式なので、局所慣性系で正しければ定理 8.5 によりどの座標でも正しい。第11章 §11.4 では、この規則で Maxwell 方程式を曲がった時空へ移す。

縮約した $\Gamma$ と発散

(8.24) で $\rho$ と $\mu$ を縮約すると、第1項と第3項は逆計量の対称性によって打ち消し合い、

$$\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}=\frac12g^{\mu\sigma}\partial_\nu g_{\sigma\mu}$$

が残る。行列の公式（Jacobi の公式）

$$\partial_\nu\ln\left\vert \det g\right\vert =\mathrm{tr}(g^{-1}\partial_\nu g)=g^{\mu\sigma}\partial_\nu g_{\sigma\mu}$$

を使うと

$$\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}=\partial_\nu\ln\sqrt{\left\vert g\right\vert }\tag{8.26}$$

となる。これを使うと、ベクトル場の発散が簡単な形になる。

$$\nabla_\mu V^\mu=\partial_\mu V^\mu+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}V^\lambda=\partial_\mu V^\mu+\frac{\partial_\lambda\sqrt{\left\vert g\right\vert }}{\sqrt{\left\vert g\right\vert }}V^\lambda=\frac{1}{\sqrt{\left\vert g\right\vert }}\,\partial_\mu\!\left(\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,V^\mu\right).\tag{8.27}$$

スカラー場 $f$ について $V^\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu f$ とおけば、Laplace 演算子（時空ではダランベルシアン）の一般の座標での形

$$\nabla_\mu\nabla^\mu f=\frac{1}{\sqrt{\left\vert g\right\vert }}\,\partial_\mu\!\left(\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,g^{\mu\nu}\partial_\nu f\right)\tag{8.28}$$

を得る。極座標や球座標のラプラシアンの公式は、すべてこの1つの式から得られる。

例：平面の極座標

計量 (8.16) で0でない微分は $\partial_rg_{\varphi\varphi}=2r$ だけである。(8.24) で、この微分を含む成分だけを拾うと

$$\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=\frac12g^{rr}\left(-\partial_rg_{\varphi\varphi}\right)=-r,\qquad \Gamma^\varphi{}_{r\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}=\frac12g^{\varphi\varphi}\partial_rg_{\varphi\varphi}=\frac1r\tag{8.29}$$

で、ほかは0である。同じ結果は、直交座標で $\Gamma=0$ として変換則 (8.21) の第2項だけを計算しても得られる。

例題 8.1 の一定のベクトル場 $V^r=\cos\varphi$、$V^\varphi=-\sin\varphi/r$ の共変微分を計算すると、

$$\begin{aligned}\nabla_rV^r&=\partial_r\cos\varphi=0,\\ \nabla_rV^\varphi&=\frac{\sin\varphi}{r^2}+\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}V^\varphi=\frac{\sin\varphi}{r^2}-\frac{\sin\varphi}{r^2}=0,\\ \nabla_\varphi V^r&=-\sin\varphi+\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}V^\varphi=-\sin\varphi+\sin\varphi=0,\\ \nabla_\varphi V^\varphi&=-\frac{\cos\varphi}{r}+\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}V^r=-\frac{\cos\varphi}{r}+\frac{\cos\varphi}{r}=0\end{aligned}$$

となり、4成分ともに0である。直交座標で $\partial_\mu V^\nu=0$ だったことと、テンソルの0が座標によらないこと（定理 8.5）とが整合する。偏微分 $\partial_rV^\varphi=\sin\varphi/r^2$ は基底 $\partial_\varphi$ の長さの変化を拾っていた。$\Gamma$ の項がちょうどその分を差し引いている。

確認テスト

オリジナル

1. 8.3-1 平面の直交座標では $\Gamma=0$、極座標では $\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r\ne0$ である。このことから $\Gamma$ がテンソルでないことを結論できる理由を1文で述べよ。
2. 8.3-2 例題 8.2 の計量

$$\mathrm{d} s^2=N(\xi)^2c^2\mathrm{d} T^2-\mathrm{d}\xi^2,\qquad N=1+\frac{\alpha\xi}{c^2},\qquad x^0=cT,\quad x^1=\xi$$

の Christoffel 記号をすべて求めよ。また $\xi=0$ での $\Gamma^\xi{}_{00}$ の値を答えよ。3. 8.3-3 3次元の球座標（確認テスト 8.2-2 の計量）で、発散の公式 (8.27) を使い、次の2つのベクトル場の発散を求めよ（$r>0$、ほかの成分は0）。

$$\text{(a)}\ V^r=\frac{1}{r^2},\qquad \text{(b)}\ V^r=1$$ 4. 8.3-4 2つの接続の係数 $\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}$ と $\tilde\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}$ が、どちらも変換則 (8.21) を満たすとする。差

$$S^\nu{}_{\mu\lambda}=\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}-\tilde\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}$$

が $(1,2)$ 型のテンソルであることを証明せよ。