平行移動

相対論入門　第8章 §8.4　★★★ 曲がった空間で「向きを変えずにベクトルを運ぶ」操作。測地線（第9章）と曲率（第10章）はどちらもこの操作から定義する

曲線に沿った共変微分

平らな空間では、離れた2点のベクトルを比べるには、片方を平行に動かして重ねればよい。直交座標の成分を変えずに運ぶ操作がそれである。曲がった空間では「平行」の意味が自明でないので、共変微分を使って定義する。

ベクトル $V^\mu(\lambda)$ が曲線 $x^\mu(\lambda)$ の上だけで与えられているとする。もし $V$ が曲線のまわりのベクトル場として広がっていれば、曲線の接ベクトル $\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda$ の方向の共変微分は

$$\frac{d x^\mu}{d \lambda}\nabla_\mu V^\nu=\frac{d x^\mu}{d \lambda}\partial_\mu V^\nu+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda'}\frac{d x^\mu}{d \lambda}V^{\lambda'}$$

である。第1項は連鎖律で $\mathrm{d} V^\nu/\mathrm{d}\lambda$ に等しく、曲線の上の値だけで決まる。そこで、曲線の上だけで定義されたベクトルに対しても

$$\frac{DV^\nu}{\mathrm{d}\lambda}\coloneqq\frac{d V^\nu}{d \lambda}+\Gamma^\nu{}_{\mu\kappa}\,\frac{d x^\mu}{d \lambda}\,V^\kappa\tag{8.30}$$

を定義する。これを曲線に沿った共変微分と呼ぶ。$\nabla_\mu V^\nu$ はテンソルで、$\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda$ はベクトルである。したがって曲線に沿った共変微分もベクトルとして変換する。

(8.31) は $V^\nu(\lambda)$ についての1階の線形な常微分方程式である。曲線と始点のベクトル $V^\nu(\lambda_0)$ を与えれば、解はただ1つに決まる。

局所慣性系で考えると意味がはっきりする。接続の係数が点 $p$ で0になる座標では、その点で $\mathrm{d} V^\nu/\mathrm{d}\lambda=0$、つまり成分が変わらない。平行移動は、各点で局所慣性系の意味で「成分を変えずに」少しずつ運ぶことを積み重ねた操作である。

証明

スカラー $g_{\mu\nu}U^\mu V^\nu$ の $\lambda$ 微分は、曲線に沿った共変微分に等しい。共変微分は積の微分の規則を満たすので

$$\frac{d }{d \lambda}\left(g_{\mu\nu}U^\mu V^\nu\right)=\frac{d x^\kappa}{d \lambda}(\nabla_\kappa g_{\mu\nu})U^\mu V^\nu+g_{\mu\nu}\frac{DU^\mu}{\mathrm{d}\lambda}V^\nu+g_{\mu\nu}U^\mu\frac{DV^\nu}{\mathrm{d}\lambda}.$$

第1項は計量と両立する条件 $\nabla g=0$ で、第2項と第3項は平行移動の条件 (8.31) で0になる。

平面での平行移動

平面の直交座標では $\Gamma=0$ なので、(8.31) は $\mathrm{d} V^\nu/\mathrm{d}\lambda=0$ で、成分を変えずに運ぶ通常の平行移動になる。同じことを極座標で確かめる。原点を中心とする半径 $r_0$ の円に沿って運ぶ。曲線とその接ベクトルは

$$r=r_0,\quad \varphi=\lambda,\qquad \frac{d x^\mu}{d \lambda}=(0,1)$$

で、(8.29) から

$$\frac{d V^r}{d \varphi}-r_0V^\varphi=0,\qquad \frac{d V^\varphi}{d \varphi}+\frac{1}{r_0}V^r=0$$

となる。$\varphi=0$ で $V=(1,0)$ から出発すると、解は

$$V^r=\cos\varphi,\qquad V^\varphi=-\frac{\sin\varphi}{r_0}$$

である。これは例題 8.1 の一定のベクトル場 $\partial_x$ の成分そのもので、直交座標で見れば向きを変えていない。

1周して $\varphi=2\pi$ に戻ると、$V=(1,0)$ に戻る。平面では、閉じた曲線に沿って1周したベクトルは必ず元に戻る。

球面の緯線に沿った平行移動

球面で、極角 $\theta=\theta_0$ の緯線に沿って運ぶ。曲線とその接ベクトルは

$$\theta=\theta_0,\quad \varphi=\lambda,\qquad \frac{d x^\mu}{d \lambda}=(0,1)$$

である。例題 8.4 の Christoffel 記号を (8.31) に入れると、$\mu=\varphi$ の項だけが残り

$$\frac{d V^\theta}{d \varphi}-\sin\theta_0\cos\theta_0\,V^\varphi=0,\qquad \frac{d V^\varphi}{d \varphi}+\cot\theta_0\,V^\theta=0\tag{8.32}$$

となる。1つ目をもう一度 $\varphi$ で微分して2つ目を代入すると

$$\frac{\mathrm{d}^2V^\theta}{\mathrm{d}\varphi^2}=\sin\theta_0\cos\theta_0\,\frac{d V^\varphi}{d \varphi}=-\sin\theta_0\cos\theta_0\cot\theta_0\,V^\theta=-\cos^2\theta_0\,V^\theta$$

で、角振動数 $\cos\theta_0$ の単振動の式である。$\varphi=0$ で南を向いたベクトル $(V^\theta,V^\varphi)=(V_0,0)$ から出発する。1つ目の式から残りの成分も決まり、

$$V^\theta=V_0\cos(\varphi\cos\theta_0),\qquad V^\varphi=-\frac{V_0}{\sin\theta_0}\sin(\varphi\cos\theta_0)\tag{8.33}$$

を得る。

この結果を、長さ1の基底に対する成分で読む。基底は

$$\bm{e}_{\hat\theta}=\frac{\partial_\theta}{a}\ \text{（南向き）},\qquad \bm{e}_{\hat\varphi}=\frac{\partial_\varphi}{a\sin\theta_0}\ \text{（東向き）}$$

で、成分は

$$V^{\hat\theta}=aV^\theta=aV_0\cos(\varphi\cos\theta_0),\qquad V^{\hat\varphi}=a\sin\theta_0\,V^\varphi=-aV_0\sin(\varphi\cos\theta_0)$$

となる。長さ $aV_0$ は一定で（命題 8.10）、向きは南から測って西の側へ角度 $\varphi\cos\theta_0$ だけ回っている。緯線を1周（$\varphi=2\pi$）すると、基底は元に戻るのに、ベクトルは

$$\Delta\psi=-2\pi\cos\theta_0\equiv2\pi(1-\cos\theta_0)\pmod{2\pi}\tag{8.34}$$

だけ回っている。右辺は、緯線が囲む北の極冠の面積 $2\pi a^2(1-\cos\theta_0)$ を $a^2$ で割ったもの、すなわち極冠の立体角に等しい。

• 赤道（$\theta_0=\pi/2$）では、回転は0である。
• 小さな極冠（$\theta_0\to0$）でも、回転は0に近づく。

後者は、球面の小さな範囲が平面と区別できないこと（局所平坦性）の表れである。

経路への依存と測地線

図 8.3(b) の三角形の場合を確かめる。北極で A の方向（$\varphi=0$ の子午線の南向き）を向いたベクトルから出発する。

子午線は大円で、その接ベクトルは子午線に沿って平行移動される（次の段落と確認テスト 8.4-4 で確かめる）。命題 8.10 により、平行移動されるベクトルと接ベクトルのなす角は一定である。3つの辺を順にたどる。

1. N→A（子午線）。ベクトルが接ベクトルに一致しているので、A に着いたとき南を向いている。
2. A→B（赤道）。ベクトルは接ベクトル（東向き）と直角を保ち、B でも南を向いている。
3. B→N（子午線）。北へ進むので、ベクトル（南向き）は接ベクトルと逆向きを保つ。北極に着いたときには、B の子午線（$\varphi=\pi/2$）の南向きを向く。

出発時の向きから $90^\circ$ 回った。

同じ北極から同じ北極へ運んだのに、通った道によって結果が違う。平面ではこのようなことは起こらない。平行移動の結果が経路に依存することが、空間が曲がっていることの、座標によらない表れである。

第10章では、小さな閉曲線を1周したときの回転を計算して Riemann テンソルを定義する。回転の角が囲んだ面積に比例するという、ここで見た2つの例に共通する性質が、その出発点になる。

最後に、曲線自身の接ベクトル $u^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda$ を平行移動することを考える。$V=u$ とおいた (8.31) は

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\nu}{\mathrm{d}\lambda^2}+\Gamma^\nu{}_{\mu\kappa}\,\frac{d x^\mu}{d \lambda}\frac{d x^\kappa}{d \lambda}=0\tag{8.35}$$

となる。これは「向きを変えずにまっすぐ進む」曲線の方程式で、平面では直線、球面では大円になる。

緯線 $\theta=\theta_0$ では $u=(0,1)$ で、

$$\frac{Du^\theta}{\mathrm{d}\varphi}=\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta_0\cos\theta_0$$

となる。これは赤道以外では0にならない（確認テスト 8.4-4）。緯線は、赤道を除いて「曲がっている」曲線である。第9章では、(8.35) を測地線の方程式と呼び、パラメータを固有時に選んで自由落下する粒子の運動方程式として読む。

確認テスト

オリジナル

1. 8.4-1 2つのベクトルを同じ曲線に沿って平行移動するとき、それらのなす角が変わらないのはなぜか。接続のどの性質を使うかを挙げて1文で答えよ。

2. 8.4-2 球面上で、次の三角形をたどる（$0<\Phi<\pi$）。

   1. (i) 赤道上の点 A（$\varphi=0$）から赤道に沿って東へ、点 B（$\varphi=\Phi$）まで進む。
   2. (ii) 子午線に沿って北極 N へ進む。
   3. (iii) $\varphi=0$ の子午線に沿って A へ戻る。

A で北を向いたベクトルを平行移動すると、1周したあと何度回っているか。それが三角形の面積を $a^2$ で割ったものに等しいことを示せ。3. 8.4-3 極角 $\theta_0=60^\circ$ の緯線を1周したとき、ベクトルの向きが逆になることを (8.33) から確かめよ。また、1周でちょうど $90^\circ$ 回る緯線の極角をすべて求めよ。4. 8.4-4 球面の緯線 $\theta=\theta_0$、$\varphi=\lambda$ を考える。接ベクトル $u^\mu=(0,1)$ の曲線に沿った共変微分 $Du^\mu/\mathrm{d}\lambda$ を計算し、平行移動されるのが赤道だけであることを示せ。$\theta_0=45^\circ$ での値も求めよ。5. 8.4-5 北緯 $60^\circ$ の地点で、Foucault の振り子の振動面が1恒星日（$23.93\ \mathrm h$）に回る角度と、1周にかかる時間を求めよ。