この章のまとめ

相対論入門　第8章 §8.5

この章では、重力の場の中で時空を1枚の Minkowski 座標で表せないという第7章の結論を受けて、座標を自由に取り替えられる幾何の枠組みを作った。多様体は、点の集まりに座標を貼り合わせたもので、座標の取り替えは線形とは限らない。ベクトルとテンソルは、第4章と同じく変換則で定めるが、係数が Lorentz 変換の定数 $\Lambda$ から点ごとに変わる Jacobi 行列に置き換わる。テンソルの成分が1つの座標で0ならすべての座標で0であることから、テンソルの式で書いた法則は座標によらない。

計量テンソル $g_{\mu\nu}$ は、各点で長さと時間を測る規則である。線素 $\mathrm{d} s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu$ の不変性から、$(0,2)$ 型テンソルとして変換する。平面の極座標や一様に加速する座標のように、平らな空間でも計量の成分は定数でなくなりうる。そこで、座標を選んで計量をどこまで簡単にできるかを数え上げた。

各点で計量を $\eta_{\mu\nu}$ に、その1階微分を0にすることはいつでもでき（局所平坦性）、これが等価原理の局所慣性系にあたる。2階微分のうち $n^2(n^2-1)/12$ 個（4次元で20個）は消せず、それが空間の曲がりを担う。地球の表面に描いた半径 $1000\ \mathrm{km}$ の円では、周の長さが平面の値より $25.8\ \mathrm{km}$ 短く、そのずれが半径の2乗に比例して始まることを確かめた。

偏微分 $\partial_\mu V^\nu$ は、基底の変化を拾うためにテンソルにならない。それを補う接続の係数を足して共変微分 $\nabla_\mu$ を定義した。ねじれが無いことと計量と両立することの2つの条件から、接続の係数は Christoffel 記号

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\frac12g^{\rho\sigma}(\partial_\mu g_{\sigma\nu}+\partial_\nu g_{\sigma\mu}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$$

に一意に決まる。

$\Gamma$ はテンソルでなく、1点で0にする座標を具体的に作ることができる。この座標で特殊相対論の式を書き、$\eta\to g$、$\partial\to\nabla$ と置き換えれば、曲がった時空の式になる。縮約した $\Gamma$ から発散とラプラシアンの一般の座標での公式を得た。球面のラプラシアンは、$l=1$ の調和関数に $-2/a^2$ を掛ける。

最後に、共変微分を曲線に沿って使い、平行移動を定義した。平行移動は内積を保ち、平面では閉じた道を1周すると元に戻る。球面では、緯線を1周したベクトルが囲んだ立体角 $2\pi(1-\cos\theta_0)$ だけ回り、八分円の三角形では $90^\circ$ 回る。Foucault の振り子の振動面が北緯 $35.7^\circ$ で約 $41$ 時間かけて1周することは、この平行移動の回転の実例である。

第9章では、接ベクトル自身を平行移動する曲線の方程式 (8.35) を測地線の方程式として読み直し、固有時を停留させる世界線であることと、弱い重力の場で Newton の運動方程式に戻ることを示す。第10章では、平行移動の経路依存性と共変微分の交換子から Riemann テンソルを作り、この章で数えた「消せない2階微分」がそれであることを確かめる。