この章のまとめ

相対論入門　第9章 §9.5

この章では、重力だけを受ける粒子と光の運動を、時空の計量から決まる測地線として定式化した。出発点は、平らな時空の直線が持つ「接ベクトルの向きを変えない」性質を、第8章の平行移動を使って曲がった時空に持ち込むことである。接ベクトルを自分自身に沿って平行移動させる曲線が測地線で、その方程式 $\ddot x^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ は局所慣性系では $\ddot x^\rho=0$ になる。したがってこの方程式は、Einstein の等価原理が言う「自由落下は局所慣性系での等速直線運動」を座標によらない形に書いたものになっている。

アフィン径数に沿って接ベクトルの大きさが保たれるので、時間的・光的の区別は途中で変わらず、時間的測地線では固有時を径数にとることができた。同じ方程式は、2つの事象を結ぶ世界線のうち固有時を停留させるものとしても得られ、近い2点のあいだでは時間的測地線が固有時を最大にする。

ゆっくり動く粒子と弱い静的な場の極限では、測地線の方程式の主要項は $-c^2\Gamma^i{}_{00}=-\frac{c^2}{2}\partial_ih_{00}$ になる。Newton の運動方程式と比べることで $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ が決まった。この近似では重力ポテンシャルは時計の進み方の場所による違いとして計量に入り、固有時を最大にすることは Newton の作用を停留させることと同じになる。計量の空間部分 $g_{ij}$ は遅い粒子の運動からは決まらず、第11章の Einstein 方程式で $g_{00}$ との関係が決まる。

計量の対称性は Killing ベクトル $\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0$ で表され、Killing ベクトルごとに $\xi_\mu u^\mu$ が測地線に沿って保存する。静的な時空では $\xi=\partial_0$ からエネルギー $E=mc^2g_{00}\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau$ が得られた。軸対称な時空では $\xi=\partial_\varphi$ から角運動量が得られた。

光については、観測者の測る振動数が $k_\mu u^\mu$ であることと Killing の保存量を組み合わせて、静的な時空で $\omega\sqrt{g_{00}}$ が一定という重力赤方偏移の式を導いた。弱い場の光の曲がりを測地線の方程式から計算すると、$g_{00}$ と $g_{ij}$ が同じ重みで入る。両方を入れた値 $4GM/(c^2b)$ は、等価原理だけの見積もりの2倍になる（太陽の縁で1.75秒角）。

第10章では、近くを並んで進む2本の測地線の間隔の変化（測地線偏差）を調べ、座標変換で消すことのできない重力の効果である潮汐力が Riemann テンソルで書けることを示す。第11章では Newton 極限の $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ を使って Einstein 方程式の係数 $8\pi G/c^4$ を決める。第12章・第13章では、Schwarzschild 時空の Killing ベクトルから作ったエネルギー $E$ と角運動量 $\ell$ を使って、惑星の軌道・水星の近日点移動・光の曲がりと Shapiro 遅延・ブラックホールのまわりの円軌道を解く。