確認テストの解答

相対論入門　第9章 §9.6

1. 9.1-1 慣性系では計量 $\eta_{\mu\nu}$ が定数なので、(9.1) から $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=0$ である。測地線の方程式は $\mathrm{d}^2x^\rho/\mathrm{d}\lambda^2=0$ となる。各成分を2回積分すると、定数 $a^\mu$、$b^\mu$ を使って次のように書け、これ以外の解はない。

$$x^\mu=a^\mu\lambda+b^\mu$$

時間的なら $\eta_{\mu\nu}a^\mu a^\nu>0$ で、とくに $a^0\ne0$ である。3次元の速度は

$$\frac{d x^i}{d t}=c\,\frac{\mathrm{d} x^i/\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d} x^0/\mathrm{d}\lambda}=c\,\frac{a^i}{a^0}$$

で一定なので、等速直線運動である。別の慣性系へは、定数の行列による変換 $x'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ で移る。すると

$$x'^\mu=(\Lambda a)^\mu\lambda+(\Lambda b)^\mu$$

も径数の1次式なので、やはり等速直線運動である。2. 9.1-2 $\dot{}=\mathrm{d}/\mathrm{d} s$ とする。測地線の方程式の2成分は

$$\ddot\theta-\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2=0,\qquad \ddot\varphi+2\cot\theta\,\dot\theta\dot\varphi=0$$

である。

(a) 経線では $\theta=s/a$、$\varphi=\varphi_0$ なので

$$\ddot\theta=0,\qquad \dot\varphi=0,\qquad \ddot\varphi=0$$

で、両方の式が成り立つ。弧長であることは $a^2\dot\theta^2=1$ で確かめられる。

(b)(c) 緯線では $\theta=\theta_0$ である。弧長の条件 $a^2\sin^2\theta_0\,\dot\varphi^2=1$ から、$\varphi=s/(a\sin\theta_0)$ となる。方位角の式は、$\ddot\varphi=0$ と $\dot\theta=0$ から成り立つ。$\theta$ の式の左辺は

$$\frac{D\dot x^\theta}{\mathrm{d} s}=\ddot\theta+\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\dot\varphi^2=0-\sin\theta_0\cos\theta_0\cdot\frac{1}{a^2\sin^2\theta_0}=-\frac{\cot\theta_0}{a^2}$$

で、これが0になるのは $\cot\theta_0=0$、すなわち $\theta_0=\pi/2$（赤道）のときに限る。北半球（$\theta_0<\pi/2$）では $-\cot\theta_0/a^2<0$ である。したがって $D\dot x/\mathrm{d} s$ は余緯度の減る向き、すなわち北極の向きを指す。

その大きさを球面上の長さで測ると $\sqrt{g_{\theta\theta}}\,\left\vert D\dot x^\theta/\mathrm{d} s\right\vert =a\cdot\cot\theta_0/a^2=\cot\theta_0/a$ である。緯線に沿って進むには、測地線から北極の側へ向きを変え続ける必要があり、その曲がり方の大きさが $\cot\theta_0/a$ である。3. 9.1-3 命題 9.2 のアフィン径数を $\tau$ と読みかえると、$f=\tau''/\tau'$ である。$\tau=\tau_0\mathrm{e}^\sigma$ なら $\tau'=\tau''=\tau_0\mathrm{e}^\sigma$ である。したがって $f(\sigma)=1$ である。逆に $f=2/\sigma$ なら、アフィン径数 $\lambda$ は

$$\lambda'=\exp\int f\,\mathrm{d}\sigma=\exp(2\ln\sigma)=\sigma^2$$

を満たせばよい。したがって $\lambda=\sigma^3/3$（に定数倍と定数を加えたもの）である。確かめると $\lambda''/\lambda'=2\sigma/\sigma^2=2/\sigma$ で一致する。4. 9.1-4 $S=g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ を微分すると

$$\frac{d S}{d \lambda}=\partial_\alpha g_{\mu\nu}\,\dot x^\alpha\dot x^\mu\dot x^\nu+2g_{\mu\nu}\dot x^\mu\ddot x^\nu =\partial_\alpha g_{\mu\nu}\,\dot x^\alpha\dot x^\mu\dot x^\nu-2g_{\mu\nu}\dot x^\mu\Gamma^\nu{}_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta$$

である。$g_{\mu\nu}\Gamma^\nu{}_{\alpha\beta}=\frac12(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha}-\partial_\mu g_{\alpha\beta})$ なので、第2項は

$$-\bigl(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha}-\partial_\mu g_{\alpha\beta}\bigr)\dot x^\mu\dot x^\alpha\dot x^\beta$$

である。3つの $\dot x$ はどれも同じなので、和の添字の名前を付け替えると、括弧の第2項と第3項は次のように等しく、打ち消し合う。

$$\partial_\beta g_{\mu\alpha}\dot x^\mu\dot x^\alpha\dot x^\beta=\partial_\mu g_{\alpha\beta}\dot x^\mu\dot x^\alpha\dot x^\beta$$

ここでは添字の付け替え $(\beta,\mu,\alpha)\to(\mu,\alpha,\beta)$ と、計量の対称性を使った。残る $-\partial_\alpha g_{\mu\beta}\dot x^\mu\dot x^\alpha\dot x^\beta$ は第1項と同じ形で符号が逆なので、$\mathrm{d} S/\mathrm{d}\lambda=0$ である。5. 9.2-1 例題 9.2 から $\left\vert \Phi\right\vert /c^2=2.122\times10^{-6}$ である。静止した時計は $\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t=1+\Phi/c^2$ なので、1年 $=365.25\times86400\,\mathrm s=3.15576\times10^7\,\mathrm s$ のあいだの遅れは

$$2.122\times10^{-6}\times3.15576\times10^7\,\mathrm s=67.0\,\mathrm s$$

である。6. 9.2-2 (a) 静止状態から放した瞬間は $u^\xi=0$ なので、測地線の方程式の高さ成分は

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}\tau^2}=-\Gamma^\xi{}_{00}(u^0)^2$$

である。ここで $u^0=c\,\mathrm{d} T/\mathrm{d}\tau$ である。また $\mathrm{d}\xi/\mathrm{d}\tau=0$ のこの瞬間は

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}\tau^2}=\Bigl(\frac{d T}{d \tau}\Bigr)^2\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d} T^2}$$

なので

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d} T^2}=-c^2\,\Gamma^\xi{}_{00}=-N\alpha=-\alpha\Bigl(1+\frac{\alpha\xi}{c^2}\Bigr).$$

(b) 高さ $\xi$ に静止した観測者の固有時は $\mathrm{d}\tau_{\text{静}}=N\,\mathrm{d} T$ である。物差しで測る長さは $\mathrm{d}\xi$ そのものである（$g_{\xi\xi}=-1$ のため）。したがって観測者の測る加速度は

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}\tau_{\text{静}}^2}=\frac{1}{N^2}\frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d} T^2}=-\frac{\alpha}{N}=-\frac{\alpha}{1+\alpha\xi/c^2}$$

である。これは第7章 §7.4 で求めた、高さ $\xi$ に静止した観測者の固有加速度 $\alpha/(1+\alpha\xi/c^2)$ の大きさと一致する。静止した観測者から見ると、自由落下する粒子は、観測者自身の固有加速度と同じ大きさで逆向きに加速して離れていく。

(c) $\alpha\xi\ll c^2$ では係数 $N$ がほぼ1になる。したがって (a)(b) のどちらも、同じ一様な加速度 $-\alpha$ になる。また $g_{00}=N^2\simeq1+2\alpha\xi/c^2$ を (9.14) と比べると、$\Phi=\alpha\xi$ である。これは一様な重力加速度 $\alpha$ の重力場（$\ddot\xi=-\partial_\xi\Phi=-\alpha$）である。7. 9.2-3 (a) 時間成分の Christoffel 記号を計算する。混ざった成分が0なので、逆計量は $g^{00}=1/g_{00}$、$g^{0i}=0$ である。$\partial_0g=0$ を使うと

$$\Gamma^0{}_{00}=\frac{1}{2g_{00}}\partial_0g_{00}=0,\qquad \Gamma^0{}_{0i}=\frac{1}{2g_{00}}\partial_ig_{00},\qquad \Gamma^0{}_{ij}=\frac{1}{2g_{00}}\bigl(\partial_ig_{0j}+\partial_jg_{0i}-\partial_0g_{ij}\bigr)=0$$

である。測地線の方程式の時間成分は

$$\frac{d u^0}{d \tau}+\frac{1}{g_{00}}\partial_ig_{00}\,u^iu^0=0$$

である。両辺に $g_{00}$ を掛けると

$$\begin{aligned}g_{00}\frac{d u^0}{d \tau}+(\partial_ig_{00}u^i)u^0&=\frac{d }{d \tau}\bigl(g_{00}u^0\bigr)&&\text{（$\mathrm{d} g_{00}/\mathrm{d}\tau=\partial_ig_{00}u^i$ を使った）}\\ &=0\end{aligned}$$

となる。$u^0=c\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau$ なので、これは $\mathrm{d}(g_{00}\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau)/\mathrm{d}\tau=0$ と同値である。

(b)(c) 弱い場では (9.15) から $\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau\simeq1-\Phi/c^2+v^2/(2c^2)$ なので

$$g_{00}\frac{d t}{d \tau}\simeq\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{\Phi}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}\Bigr)\simeq1+\frac{1}{c^2}\Bigl(\frac12v^2+\Phi\Bigr)$$

である。これが一定であることは、$1/c^2$ の係数 $\frac12v^2+\Phi$（単位質量あたりの力学的エネルギー）が一定であることと同じである。$mc^2$ を掛けたものが (9.20) のエネルギーである。なお (a) の式から

$$\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}\tau^2}=-\frac{\partial_ig_{00}u^i}{g_{00}}\frac{d t}{d \tau}$$

で、これは $\partial h_{00}$ と $u^i$ の積である。§9.2 で捨てた項が小さいことの根拠になっている。8. 9.2-4 (a) $gh/c^2=9.81\times1/8.98755\times10^{16}=1.09\times10^{-16}$ である。1日では $1.09\times10^{-16}\times86400\,\mathrm s=9.4\times10^{-12}\,\mathrm s$ の差になる。

(b) $\Phi/c^2=-0.1723$ なので、2つの値は

$$1+\frac{\Phi}{c^2}=0.8277,\qquad \sqrt{g_{00}}=\sqrt{1-0.3446}=\sqrt{0.6554}=0.8096$$

である。差は $(0.8277-0.8096)/0.8096=0.0224$ で、約 2.2 % である。$\sqrt{1+2x}=1+x-\frac12x^2+\cdots$ の2次の項 $\frac12x^2=0.0148$ が無視できない大きさであることが原因で、中性子星の表面では弱い場の展開は使えない。9. 9.3-1 計量の成分は時刻・方位角・高さ（$t,\varphi,z$）によらない。したがって補題 9.8 により、次の3つが Killing ベクトルである。

$$\partial_t\ (=\partial_0),\qquad \partial_\varphi,\qquad \partial_z$$

保存量は

$$E=mc^2\frac{d t}{d \tau},\qquad \ell_z=-m\,g_{\varphi\varphi}u^\varphi=mr^2\frac{d \varphi}{d \tau},\qquad p_z=-m\,g_{zz}u^z=m\frac{d z}{d \tau}$$

である。順にエネルギー、z 軸まわりの角運動量、z 方向の運動量で、後の2つには空間部分の負号を打ち消す符号を付けた。

$\partial_r$ は Killing ベクトルでない。$g_{\varphi\varphi}=-r^2$ が動径によるので、$\partial_rg_{\varphi\varphi}=-2r\ne0$ となるからである。平らな空間の $x$ 方向の並進は Killing ベクトルだが、円柱座標では動径と方位角の混ざった形

$$\cos\varphi\,\partial_r-\frac{\sin\varphi}{r}\,\partial_\varphi$$

になる。10. 9.3-2 計量とベクトル場の成分は

$$g_{\theta\theta}=a^2,\qquad g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta,\qquad \xi^\theta=-\sin\varphi,\qquad \xi^\varphi=-\cot\theta\cos\varphi$$

である。(9.17) の右辺を各成分で計算する。

• $(\theta\theta)$：$\xi^\lambda\partial_\lambda g_{\theta\theta}+2g_{\theta\theta}\partial_\theta\xi^\theta=0+2a^2\cdot0=0$。
• $(\varphi\varphi)$：$\xi^\theta\partial_\theta g_{\varphi\varphi}+2g_{\varphi\varphi}\partial_\varphi\xi^\varphi=-\sin\varphi\cdot2a^2\sin\theta\cos\theta+2a^2\sin^2\theta\cdot\cot\theta\sin\varphi=0$。
• $(\theta\varphi)$：$g_{\varphi\varphi}\partial_\theta\xi^\varphi+g_{\theta\theta}\partial_\varphi\xi^\theta=a^2\sin^2\theta\cdot\dfrac{\cos\varphi}{\sin^2\theta}+a^2(-\cos\varphi)=0$。

（$\partial_\theta(-\cot\theta)=1/\sin^2\theta$ を使った。）すべて0なので Killing ベクトルである。保存量は

$$\xi_\mu\dot x^\mu=g_{\theta\theta}\xi^\theta\dot\theta+g_{\varphi\varphi}\xi^\varphi\dot\varphi=-a^2\bigl(\sin\varphi\,\dot\theta+\sin\theta\cos\theta\cos\varphi\,\dot\varphi\bigr)$$

である。これは球面上を運動する粒子の、$x$ 軸まわりの角運動量に（定数倍を除いて）あたる。11. 9.3-3 発する側 $\Phi_1=0$、受ける側 $\Phi_2=gh$ なので、(9.24) から

$$\frac{\omega_{\text{受}}}{\omega_{\text{発}}}-1\simeq\frac{\Phi_1-\Phi_2}{c^2}=-\frac{gh}{c^2}=-\frac{9.81\times22.5}{8.98755\times10^{16}}=-2.46\times10^{-15}$$

で、上で受けた光は $2.46\times10^{-15}$ だけ赤方偏移する。第7章 §7.3 の Pound–Rebka の実験はこの大きさのずれを測ったものである。12. 9.3-4 Killing 方程式 (9.16) に $g^{\mu\nu}$ を掛けて縮約する。$\nabla g=0$ なので

$$g^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=\nabla_\mu(g^{\mu\nu}\xi_\nu)=\nabla_\mu\xi^\mu$$

である。2つの項は同じものになるから、$2\nabla_\mu\xi^\mu=0$ である。例題 9.3 の $\xi^\mu=(x^1,x^0,0,0)$ では、慣性系で $\nabla_\mu\xi^\mu=\partial_\mu\xi^\mu=\partial_0x^1+\partial_1x^0=0+0=0$ で一致する。13. 9.3-5 $\xi^\mu=(0,-x^2,x^1,0)$、$\xi_\mu=(0,x^2,-x^1,0)$ である。0でない偏微分は $\partial_2\xi_1=1$ と $\partial_1\xi_2=-1$ だけである。したがって $\partial_1\xi_2+\partial_2\xi_1=0$ となり、Killing 方程式が成り立つ。保存量は

$$-m\,\xi_\mu u^\mu=-m\bigl(x^2u^1-x^1u^2\bigr)=m\bigl(xu^y-yu^x\bigr)=\gamma_um\bigl(xv_y-yv_x\bigr)$$

である（$u^i=\gamma_uv_i$ を使った）。14. 9.4-1 (a) 光的な曲線では $g_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu=0$ なので $\mathrm{d}\tau=0$ である。固有時は曲線に沿って増えず、点を区別する径数にならない。 (b)(c) $\lambda'=a\lambda+b$ とすると $k'^\mu=\mathrm{d} x^\mu/\mathrm{d}\lambda'=k^\mu/a$ である。$g_{\mu\nu}k'^\mu k'^\nu=g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu/a^2=0$ は保たれる。 $k_\mu u^\mu$ も $1/a$ 倍になる。$a$ を決めるには、どこか1点で観測者の測る振動数を1つ指定すればよく、§9.4 ではそれを $k^\mu$ が4元波数に一致するように選んだ。振動数の比（赤方偏移）は $a$ によらない。15. 9.4-2 表面と遠方のポテンシャルは

$$\frac{\Phi_1}{c^2}=-\frac{GM}{Rc^2}=-\frac{1476.6}{5.8\times10^6}=-2.546\times10^{-4},\qquad \Phi_2=0$$

である。(9.24) から $\omega_2/\omega_1\simeq1-2.546\times10^{-4}$ なので、1次で

$$z=\frac{\omega_1}{\omega_2}-1\simeq2.546\times10^{-4},\qquad cz=2.546\times10^{-4}\times2.99792\times10^5\,\mathrm{km/s}=76.3\,\mathrm{km/s}$$

である。白色矮星のスペクトル線は、この大きさの後退速度に相当するだけ赤い側へずれる。16. 9.4-3 $GM_\oplus/c^2=3.986004\times10^{14}/8.98755\times10^{16}=4.435\times10^{-3}\,\mathrm m$ なので

$$\begin{aligned} \delta&=\frac{4\times4.435\times10^{-3}}{6.371\times10^6}=2.785\times10^{-9}\,\mathrm{rad}\\ &=2.785\times10^{-9}\times206264.8''=5.74\times10^{-4}{}''=0.574\ \text{ミリ秒角} \end{aligned}$$

である。太陽の縁の値の約3000分の1である。17. 9.4-4 (a) 次の3式を (9.1) に入れる。

$$\tilde g_{\mu\nu}=\mathrm{e}^{2\chi}g_{\mu\nu},\qquad \tilde g^{\mu\nu}=\mathrm{e}^{-2\chi}g^{\mu\nu},\qquad \partial_\lambda\tilde g_{\mu\nu}=\mathrm{e}^{2\chi}(\partial_\lambda g_{\mu\nu}+2\partial_\lambda\chi\,g_{\mu\nu})$$

すると

$$\tilde\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}+\frac12g^{\rho\sigma}\bigl(2\partial_\mu\chi\,g_{\sigma\nu}+2\partial_\nu\chi\,g_{\sigma\mu}-2\partial_\sigma\chi\,g_{\mu\nu}\bigr) =\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}+\delta^\rho{}_\nu\partial_\mu\chi+\delta^\rho{}_\mu\partial_\nu\chi-g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}\partial_\sigma\chi$$

である。

(b)(c) $x^\mu(\lambda)$ を $g$ のアフィン径数の光的測地線とする。(a) を使うと

$$\ddot x^\rho+\tilde\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\bigl(\ddot x^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu\bigr)+2\dot x^\rho\,\dot x^\mu\partial_\mu\chi-\bigl(g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu\bigr)g^{\rho\sigma}\partial_\sigma\chi =2\frac{d \chi}{d \lambda}\,\dot x^\rho$$

となる（第1項は測地線の方程式で0、最後の項は光的なので0）。これは $\tilde g$ についての (9.5) の形で、$f=2\,\mathrm{d}\chi/\mathrm{d}\lambda$ である。命題 9.2 により、次の式で定めた $\tilde\lambda$ を径数にとれば $\tilde g$ の測地線の方程式を満たす。

$$\frac{d \tilde\lambda}{d \lambda}=\exp\int f\,\mathrm{d}\lambda=\mathrm{e}^{2\chi}$$

$\tilde g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=\mathrm{e}^{2\chi}\cdot0=0$ なので $\tilde g$ でも光的である。したがって光の進路は計量の全体に掛かる場所ごとの因子によらず、光円錐の形だけで決まる。