Newton 極限

相対論入門　第9章 §9.2　★★★ ゆっくり動く粒子の測地線は Newton の運動方程式に戻り、重力ポテンシャルは $g_{00}$ に入る

3つの仮定

測地線の方程式 (9.6) が重力の理論として正しいなら、太陽系の中の惑星や地上の物体のように、重力が弱く運動が遅い場合には Newton の運動方程式

$$\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}}{\mathrm{d} t^2}=-\nabla\Phi\tag{9.11}$$

に戻らなければならない。ここで $\Phi$ は Newton の重力ポテンシャルで、無限遠で0とする（第7章と同じ）。この要請から、計量のどの成分が $\Phi$ とどう結びつくかが決まる。座標を $x^\mu=(ct,\bm{x})$ とし、次の3つを仮定する。

1. (i) 遅い運動：粒子の速さ $v=\left\vert \mathrm{d}\bm{x}/\mathrm{d} t\right\vert$ は光速よりずっと小さい。4元速度の成分は $u^i/u^0=v^i/c\ll1$ である。
2. (ii) 静的な場：計量は時刻によらず（$\partial_0g_{\mu\nu}=0$）、時間と空間の混ざった成分を持たない（$g_{0i}=0$）。
3. (iii) 弱い場：計量は平らな計量からのずれが小さく、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$（$\left\vert h_{\mu\nu}\right\vert \ll1$）と書ける。ずれについて1次の項だけを残す。

測地線の方程式の主要項と $g_{00}$

測地線の方程式の空間成分を、$u^0$ を含む項と含まない項に分けて書くと

$$\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}\tau^2}=-\Gamma^i{}_{00}(u^0)^2-2\Gamma^i{}_{0j}u^0u^j-\Gamma^i{}_{jk}u^ju^k$$

である。仮定 (i) で $u^j\sim(v/c)u^0$ なので、第1項に比べた大きさは次のとおりである。

• 第2項は $v/c$ 倍しかない。
• 第3項は $(v/c)^2$ 倍しかない。

そこで第1項だけを残す。

$\Gamma^i{}_{00}$ を (9.1) から計算する。仮定 (ii) で $\partial_0g=0$ なので

$$\Gamma^i{}_{00}=\frac12g^{i\sigma}\bigl(\partial_0g_{\sigma0}+\partial_0g_{\sigma0}-\partial_\sigma g_{00}\bigr)=-\frac12g^{i\sigma}\partial_\sigma g_{00}=-\frac12g^{ij}\partial_jg_{00}$$

となる（最後に $\sigma=0$ の項が $\partial_0g_{00}=0$ で消えることを使った）。仮定 (iii) では

$$g^{ij}=-\delta_{ij}+\mathcal{O}(h),\qquad \partial_jg_{00}=\partial_jh_{00}$$

なので、$h$ の1次までで

$$\Gamma^i{}_{00}=\frac12\,\partial_ih_{00}\tag{9.12}$$

である。ここで $\partial_i=\partial/\partial x^i$ は通常の空間微分である。

次に、$\tau$ による微分を $t$ による微分に直す。$u^0=c\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau$ で、

$$\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}\tau^2}=\Bigl(\frac{d t}{d \tau}\Bigr)^2\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d} t^2}+\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}\tau^2}\frac{d x^i}{d t}$$

である。2つの項の大きさは次のように比べられる。

• 第1項の係数は $\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau=1+\mathcal{O}(h,v^2/c^2)$ で、ほぼ1である。
• 第2項は $\mathrm{d}^2t/\mathrm{d}\tau^2$ に速度 $v$ を掛けたものである。この2階微分はそれ自体が $h$ と $v/c$ の積の大きさなので（確認テスト 9.2-3）、第2項は第1項に比べて小さい。

主要項だけを残すと

$$\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d} t^2}=-c^2\,\Gamma^i{}_{00}=-\frac{c^2}{2}\,\partial_ih_{00}\tag{9.13}$$

を得る。これを Newton の運動方程式 (9.11) と比べると

$$\frac{c^2}{2}h_{00}=\Phi+(\text{定数})$$

となる。無限遠で計量が平らになる（$h\to0$）ことから、定数は0である。

第7章 §7.4 で Rindler 座標の線素から予告した $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ が、ここで測地線の方程式から導かれた。$g_{ij}$ がどう決まるかはこの議論からは分からない。それは場の方程式（第11章の Einstein 方程式）が決める量で、球対称の星のまわりでは

$$g_{ij}\simeq-\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\delta_{ij}$$

になる（第11章 §11.2、第12章）。空間成分は遅い粒子にはほとんど影響しないが、光速で動く光の進路には $g_{00}$ と同じ大きさで入る（§9.4）。

時計の進み方と固有時の最大

$g_{00}$ が Newton のポテンシャルを含むことは、時計の進み方の言葉で読むことができる。弱い場の中を速さ $v$ で動く時計の固有時は、$g_{ij}\simeq-(1+\mathcal{O}(\Phi/c^2))\delta_{ij}$ として

$$\frac{d \tau}{d t}=\sqrt{g_{00}-\Bigl(1+\mathcal{O}\bigl(\tfrac{\Phi}{c^2}\bigr)\Bigr)\frac{v^2}{c^2}} \simeq1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\tag{9.15}$$

である（$\Phi/c^2$ と $v^2/c^2$ の1次まで）。これは第7章 §7.3 の時計の進みの式と同じである。重力ポテンシャルの低い所（$\Phi$ が負で大きい所）の時計は遅れ、速く動く時計も遅れる。

これを固有時の停留（定理 9.4）に入れると、Newton 力学との関係がよく見える。時刻 $t_A$ から $t_B$ までの世界線の固有時は

$$\tau=\int_{t_A}^{t_B}\Bigl(1+\frac{\Phi}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\Bigr)\mathrm{d} t=(t_B-t_A)-\frac{1}{mc^2}\int_{t_A}^{t_B}\Bigl(\frac12mv^2-m\Phi\Bigr)\mathrm{d} t$$

となる。最後の積分は Newton 力学の作用 $\int(T-V)\,\mathrm{d} t$（$V=m\Phi$）そのものである。固有時を最大にすることは、Newton の作用を停留させることと同じになる。

投げ上げた物体の放物線の軌道では、高い所ほど時計が速く進むことによる固有時の増加と、速く動くことによる固有時の減少が釣り合っている、と読むことができる。この見方を作用の言葉で詳しく扱ったものは虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第12章にある。

確認テスト

オリジナル

1. 9.2-1 太陽の表面に静止した時計は、太陽から十分遠くに静止した時計に比べて1年（365.25 日）に何秒遅れるか。例題 9.2 の $\left\vert \Phi\right\vert /c^2$ を使え。
2. 9.2-2 第7章の Rindler 座標の線素

$$\mathrm{d} s^2=N^2c^2\mathrm{d} T^2-\mathrm{d}\xi^2,\qquad N=1+\frac{\alpha\xi}{c^2}$$

を考える（$y,z$ は省く）。$x^0=cT$ として、Christoffel 記号は $\Gamma^\xi{}_{00}=N\alpha/c^2$ である（第8章 §8.3）。高さ $\xi$ で静止状態から放した粒子について、次に答えよ。

1. (a) 座標の加速度 $\mathrm{d}^2\xi/\mathrm{d} T^2$ を求めよ。

2. (b) その場所に静止した観測者が、自分の時計と物差しで測る加速度を求めよ。

3. (c) $\alpha\xi\ll c^2$ で、$\Phi=\alpha\xi$ の一様な重力に戻ることを確かめよ。

4. 9.2-3 仮定 (ii) の静的な計量（$\partial_0g_{\mu\nu}=0$、$g_{0i}=0$）を考える。

   1. (a) 測地線の方程式の時間成分が $\mathrm{d}(g_{00}\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau)/\mathrm{d}\tau=0$ と同値であることを示せ。
   2. (b) 弱い場で $g_{00}\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau\simeq1+\Phi/c^2+v^2/(2c^2)$ となることを示せ。
   3. (c) (b) と Newton 力学のエネルギー保存 $\frac12v^2+\Phi=\text{一定}$ との関係を述べよ。

5. 9.2-4 次に答えよ。

   1. (a) 地表で高さが 1 m 違う2つの時計の進み方の比は $1+gh/c^2$ である。重力加速度を $g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$ として、ずれ $gh/c^2$ を求めよ。
   2. (b) 例題 9.2 の中性子星の表面について、2つの値を比べ、差が何 % かを求めよ。1つは弱い場の式 $\mathrm{d}\tau/\mathrm{d} t\simeq1+\Phi/c^2$ である。もう1つは $g_{00}=1+2\Phi/c^2$ をそのまま使った $\sqrt{g_{00}}$ である。