保存量と Killing ベクトル

相対論入門　第9章 §9.3　★★★ 計量の対称性ごとに、測地線に沿って保存する量が1つずつある。静的ならエネルギー、軸対称なら角運動量

循環座標と保存量

Newton 力学では、ポテンシャルが時刻によらなければエネルギーが保存し、ある軸のまわりの回転で変わらなければその軸のまわりの角運動量が保存する。測地線の運動でも同じことが起こる。もっとも簡単な場合は、(9.10) からすぐに読み取ることができる。

証明

(9.10) の右辺の $\alpha=k$ 成分 $\frac12\partial_kg_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$ は0である。したがって $\mathrm{d} u_k/\mathrm{d}\tau=0$ である。光的測地線では、§9.1 の導出で固有時をアフィン径数 $\lambda$ に取り替えて同じ計算をする（(9.9) の左辺から測地線の方程式までの変形は径数の名前によらない）。すると

$$\frac{d k_\alpha}{d \lambda}=\frac12\partial_\alpha g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu$$

が成り立つので、同じ結論を得る。

この命題は便利だが、座標の選び方に頼っている。たとえば平らな時空の $x$ 方向の並進の対称性は、直交座標では $x$ が循環座標になるのですぐ分かる。しかし極座標では、計量がどの座標にもよらない形にはならない（$g_{\varphi\varphi}=-r^2$ が $r$ による）。対称性を座標によらない形で表すために、ベクトル場の言葉に書き直す。

Killing ベクトル

Killing 方程式の意味は、次の補題で座標の成分に書き直すと分かる。

証明

(9.2) のコベクトルの共変微分と $\xi_\nu=g_{\nu\lambda}\xi^\lambda$ から

$$\nabla_\mu\xi_\nu=\partial_\mu\bigl(g_{\nu\lambda}\xi^\lambda\bigr)-\Gamma^\sigma{}_{\mu\nu}g_{\sigma\lambda}\xi^\lambda =\partial_\mu g_{\nu\lambda}\,\xi^\lambda+g_{\nu\lambda}\partial_\mu\xi^\lambda-\Gamma_{\lambda\mu\nu}\xi^\lambda$$

である。ここで添字を下げた Christoffel 記号を

$$\Gamma_{\lambda\mu\nu}\equiv g_{\lambda\sigma}\Gamma^\sigma{}_{\mu\nu}=\frac12(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu})$$

と書いた（後ろの2つの添字について対称）。添字 $\mu$ と $\nu$ を入れ替えた式と足すと、Christoffel 記号の項は

$$-2\Gamma_{\lambda\mu\nu}\xi^\lambda=-(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu})\xi^\lambda$$

になる。したがって

$$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu =\bigl(\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\mu\lambda}\bigr)\xi^\lambda+g_{\nu\lambda}\partial_\mu\xi^\lambda+g_{\mu\lambda}\partial_\nu\xi^\lambda -\bigl(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\bigr)\xi^\lambda .$$

計量の対称性で $\partial_\mu g_{\nu\lambda}=\partial_\mu g_{\lambda\nu}$ なので、最初の括弧と最後の括弧の初めの2項が打ち消し、(9.17) が残る。定数ベクトル場 $\xi^\mu=\delta^\mu{}_k$ なら微分の項が消え、右辺は $\partial_kg_{\mu\nu}$ だけになる。

(9.17) の右辺は、計量を $\xi$ の向きに無限小だけずらしたときの計量の成分の変化を表す。正確には、座標を $x^\mu\to x^\mu-\epsilon\xi^\mu$ と変換したときの計量の変化を、$\epsilon$ で割ったものである。したがって Killing ベクトルは「その向きに時空をずらしても計量が変わらない」向き、すなわち計量の対称性の向きを表す。座標 $x^k$ が循環座標であることは、その特別な場合 $\xi=\partial_k$ にあたる。

Killing ベクトルから作る保存量

証明

$Q=\xi_\mu u^\mu$ を測地線に沿って微分する。使うのは次の2式である。

$$\frac{d \xi_\mu}{d \tau}=u^\nu\partial_\nu\xi_\mu,\qquad \frac{d u^\mu}{d \tau}=-\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta\quad(\text{測地線の方程式})$$

これらを使うと

$$\frac{d Q}{d \tau}=u^\nu u^\mu\partial_\nu\xi_\mu-\xi_\lambda\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}u^\nu u^\mu =u^\nu u^\mu\bigl(\partial_\nu\xi_\mu-\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}\xi_\lambda\bigr)=u^\nu u^\mu\,\nabla_\nu\xi_\mu$$

となる（2つ目の項で和の添字の名前を付け替えた）。$u^\nu u^\mu$ は2つの添字について対称なので、$\nabla_\nu\xi_\mu$ の対称部分だけが残る。

$$\frac{d Q}{d \tau}=\frac12u^\nu u^\mu\bigl(\nabla_\nu\xi_\mu+\nabla_\mu\xi_\nu\bigr)=0$$

である。光的測地線でも $u\to k$、$\tau\to\lambda$ として同じ計算が成り立つ。

これは Noether の定理の測地線版である（作用の対称性から保存量を作る形は虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第12章）。$\xi=\partial_k$ のときは $\xi_\mu u^\mu=g_{k\mu}u^\mu=u_k$ となり、命題 9.6 に戻る。

静的な時空のエネルギーと軸対称な時空の角運動量

エネルギー　計量が時刻によらないとき、$\xi=\partial_0$ は Killing ベクトルである。成分は $\xi^\mu=\delta^\mu{}_0$ で、$x^0=ct$ である。質量 $m$ の粒子について

$$E\equiv mc\,\xi_\mu u^\mu=mc\,g_{0\mu}u^\mu\tag{9.18}$$

を、この時空での粒子のエネルギーと定義する。静的な計量（$g_{0i}=0$）では $u^0=c\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau$ なので

$$E=mc^2\,g_{00}\frac{d t}{d \tau}\tag{9.19}$$

である。平らな時空では $E=mc^2\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\tau=\gamma_umc^2$ となり、第5章のエネルギーに一致する。弱い場では (9.15) から

$$\frac{d t}{d \tau}\simeq1-\frac{\Phi}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}$$

なので

$$E\simeq mc^2\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{\Phi}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}\Bigr)\simeq mc^2+\frac12mv^2+m\Phi\tag{9.20}$$

となり、静止エネルギーに Newton 力学の力学的エネルギーを足したものになる（確認テスト 9.2-3 も参照）。

角運動量　計量が方位角 $\varphi$ によらないとき、$\xi=\partial_\varphi$ は Killing ベクトルである。たとえば平らな時空を球座標で書くと

$$\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} r^2-r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$$

で、$g_{\varphi\varphi}=-r^2\sin^2\theta$ である。したがって

$$\ell\equiv-m\,\xi_\mu u^\mu=-m\,g_{\varphi\varphi}u^\varphi=mr^2\sin^2\theta\,\frac{d \varphi}{d \tau}\tag{9.21}$$

が保存する。符号は、計量の空間部分が負であることを打ち消して、ふつうの角運動量の向きに合わせるために付けた。

$\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}\tau=\gamma_u\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d} t$ なので、これは相対論的な角運動量 $\gamma_umr^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$ である。第12章では Schwarzschild 時空の Killing ベクトル $\partial_t$ と $\partial_\varphi$ を使う。そこから作ったエネルギーと角運動量の2つの保存量で、軌道の問題を1次元の問題に帰着させる。

平らな時空の Killing ベクトル

平らな時空の慣性系では $\Gamma=0$ なので、Killing 方程式は $\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu=0$ である。この解は次の10個の線形結合で尽くされる。

• 並進 $\xi^\mu=\delta^\mu{}_\alpha$（$\alpha=0,1,2,3$ の4個）：保存量は4元運動量の成分。
• 回転 $x^i\partial_j-x^j\partial_i$（3個）：保存量は角運動量。
• ブースト $x^0\partial_i+x^i\partial_0$（3個）：保存量は「エネルギーの重心」の運動（例題 9.3）。

$n$ 次元の時空の Killing ベクトルは高々 $n(n+1)/2$ 個で、平らな時空はその上限（4次元で10個）に達している。この上限の証明は Killing ベクトルの2階微分が曲率で決まることを使うので、第10章の曲率を学んだあとに微分幾何の本で確かめるとよい。曲がった時空では一般に Killing ベクトルは少なくなり、Schwarzschild 時空では時間の並進1個と回転3個の計4個である。

確認テスト

オリジナル

1. 9.3-1 平らな時空を円柱座標で書いた線素

$$\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} r^2-r^2\mathrm{d}\varphi^2-\mathrm{d} z^2$$

を考える。計量の形から読み取れる Killing ベクトルを3つ挙げ、それぞれの保存量を質量と座標の微分で書け。$\partial_r$ が Killing ベクトルでない理由も述べよ。2. 9.3-2 半径 $a$ の球面 $a^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$ で、次のベクトル場を考える。

$$\xi=-\sin\varphi\,\partial_\theta-\cot\theta\cos\varphi\,\partial_\varphi$$

これが Killing ベクトルであることを補題 9.8 の形で確かめよ。また弧長 $s$ を径数とする測地線に沿った保存量 $\xi_\mu\dot x^\mu$ を、角度とその微分で書け。3. 9.3-3 地表（$\Phi=0$ とする）から真上へ高さ $h=22.5\,\mathrm m$ の所に静止した受信器へ光を送る。§9.4 の結果 (9.24) を先取りして、静止した観測者どうしの振動数の比 $\omega_{\text{受}}/\omega_{\text{発}}$ が1からずれる量を求めよ。重力加速度は $g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$ とする。4. 9.3-4 Killing ベクトルは発散が0（$\nabla_\mu\xi^\mu=0$）であることを示せ。例題 9.3 の $\xi$ で直接確かめよ。5. 9.3-5 平らな時空の慣性系で、$z$ 軸まわりの回転 $\xi=-x^2\partial_1+x^1\partial_2$ を考える。これが Killing ベクトルであることを示せ。また保存量 $-m\,\xi_\mu u^\mu$ が、この軸のまわりの相対論的な角運動量 $\gamma_um(xv_y-yv_x)$ になることを確かめよ。