光の測地線

相対論入門　第9章 §9.4　★★★ 光は光的測地線を進む。観測者の測る振動数は $k_\mu u^\mu$ で、静的な時空では $\omega\sqrt{g_{00}}$ が保存する

光的測地線とアフィン径数

光の世界線は、各点で光円錐に接する曲線で、接ベクトルは $g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ を満たす。等価原理（第7章 §7.2）によると、局所慣性系の中で光は直線を進むので、光の世界線は光的な測地線である。

$$\frac{\mathrm{d} k^\rho}{\mathrm{d}\lambda}+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}k^\mu k^\nu=0,\qquad k^\mu=\frac{d x^\mu}{d \lambda},\qquad g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu=0 .\tag{9.22}$$

命題 9.3 により、最初に光的なら光的なまま進む。

光的測地線では固有時が0なので、固有時を径数にとることはできない。時間的測地線の定理 9.4 の汎関数 $\int\sqrt w\,\mathrm{d}\lambda$ も、$w=0$ の所で微分できない。平行移動による定義（定義 9.1）は $w$ の符号を使わないので、そのまま光にも使える。アフィン径数は、命題 9.2 により定数倍と定数の足し算の自由度 $\lambda\to a\lambda+b$ を残して決まる。

観測者の測る振動数

アフィン径数の定数倍の自由度を使って、$k^\mu$ を光の4元波数（第4章 §4.2）$k^\mu=(\omega/c,\bm{k})$ に一致させることができる。高い振動数の電磁波（幾何光学の近似）では、波数ベクトルは光的測地線に接し、測地線に沿って (9.22) の形で平行移動されることが Maxwell 方程式から示される。その導出は曲がった時空の電磁場（第11章 §11.4）を使うので、ここでは結果だけを使う。

4元速度 $u^\mu$ で動く観測者が測る光の角振動数は

$$\omega_{\text{観測}}=k_\mu u^\mu\tag{9.23}$$

である。両辺ともスカラーなので、観測者の局所慣性系の静止系で確かめれば十分である。そこでは $g=\eta$、$u^\mu=(c,\bm{0})$ なので

$$k_\mu u^\mu=k^0c=\omega$$

となる。これはその観測者が自分の時計で測る角振動数そのものである。

重力赤方偏移

静的な時空（$\partial_0g=0$、$g_{0i}=0$）で、空間の座標が一定の観測者を静止した観測者と呼ぶ。その4元速度は $u^\mu=(u^0,\bm{0})$ の形である。規格化 $g_{00}(u^0)^2=c^2$ から

$$u^\mu=\Bigl(\frac{c}{\sqrt{g_{00}}},0,0,0\Bigr)$$

である。この観測者が測る振動数は、(9.23) から $\omega=k_0u^0=ck_0/\sqrt{g_{00}}$ である。一方、時間の並進 $\xi=\partial_0$ は Killing ベクトルなので、定理 9.9 により $\xi_\mu k^\mu=k_0$ は光の進路に沿って一定である。したがって次が成り立つ。

ポテンシャルの低い所（星の表面）から出た光を高い所（遠方）で受けると $\Phi_1<\Phi_2$ で $\omega_2<\omega_1$、すなわち赤方偏移する。弱い場の形は、第7章 §7.3 で加速するロケットの Doppler 効果とエネルギー保存から導いた $\Delta f/f=-\Delta\Phi/c^2$ に一致する。ここでは同じ結果を、Killing ベクトルの保存量と観測者の4元速度という時空の幾何の量だけから導いた。(9.24) の前半は弱い場の近似を使っていないので、第12章 §12.4 で Schwarzschild 解の $g_{00}=1-r_{\mathrm s}/r$ を入れると、強い場まで使える厳密な式になる。

弱い場の光の速さと光の曲がり

§9.2 で遅い粒子には $g_{00}$ だけが入ることを見た。光では事情が違う。計量を

$$\mathrm{d} s^2=\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)c^2\mathrm{d} t^2-\Bigl(1-\frac{2\Psi}{c^2}\Bigr)\left\vert \mathrm{d}\bm{x}\right\vert ^2\tag{9.25}$$

と書く。$\Psi$ は空間部分のずれを表すポテンシャルで、Einstein 方程式によると星のまわりでは $\Psi=\Phi$ である（第11章 §11.2・第12章 §12.3）。光の進路 $\mathrm{d} s=0$ から、座標で測った光の速さは

$$\left\vert \frac{d \bm{x}}{d t}\right\vert =c\sqrt{\frac{1+2\Phi/c^2}{1-2\Psi/c^2}}\simeq c\Bigl(1+\frac{\Phi+\Psi}{c^2}\Bigr)$$

で、$\Phi$ と $\Psi$ が同じ重みで入る。

重力源の近くで $\Phi,\Psi<0$ なので、座標の光速は $c$ より遅い。光は屈折率 $n=1-(\Phi+\Psi)/c^2>1$ の媒質を進むように振る舞う。その場所の局所慣性系で測る光速はいつも $c$ である。遅れて見えるのは遠方の座標 $t$ で測るからで、この遅れは第12章 §12.3 の Shapiro 遅延として観測される。

光の進路の曲がりを、測地線の方程式 (9.22) から直接求める。質量 $M$ の天体を原点に置く。光は $z$ 軸に平行に、天体から距離 $b$（衝突径数）だけ離れて進むとする。重力がなければ光の進路は直線

$$x=b,\qquad y=0,\qquad z=c(t-t_0)$$

である。径数をうまく選ぶと、$c\,\mathrm{d} t/\mathrm{d}\lambda=\mathrm{d} z/\mathrm{d}\lambda=1$ として $k^\mu=(1,0,0,1)$ となる。重力による曲がりは $\Phi/c^2$ の1次の小ささである。そのため Christoffel 記号を含む項では、$k^\mu$ をこの直線の値で置き換えてよい。$x$ 成分の方程式は

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}\lambda^2}=-\Gamma^x{}_{\mu\nu}k^\mu k^\nu\simeq-\bigl(\Gamma^x{}_{00}+2\Gamma^x{}_{0z}+\Gamma^x{}_{zz}\bigr)$$

である。静的で $g_{0i}=0$ なので $\Gamma^x{}_{0z}=0$ である。残りの2つは、$g^{xx}\simeq-1$ を使って (9.1) から

$$\Gamma^x{}_{00}=-\frac12g^{xx}\partial_xg_{00}=\frac{1}{c^2}\partial_x\Phi,\qquad \Gamma^x{}_{zz}=\frac12g^{xx}\bigl(2\partial_zg_{xz}-\partial_xg_{zz}\bigr)=\frac12\partial_xg_{zz}=\frac{1}{c^2}\partial_x\Psi$$

となる（$g_{zz}=-(1-2\Psi/c^2)$ で、$g_{xz}=0$）。主要項では $\lambda$ と $z$ は同じなので

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} z^2}=-\frac{1}{c^2}\,\partial_x(\Phi+\Psi)\Big|_{x=b}\tag{9.26}$$

を得る。光が $z=-\infty$ から $+\infty$ まで進むあいだに進む向きの傾きが変わる量が、曲がりの角である。点質量では $\Phi=\Psi=-GM/r$（$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$）である。その微分は $\partial_x\Phi=GMx/r^3$ なので

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{GMb}{(b^2+z^2)^{3/2}}\,\mathrm{d} z=GMb\Bigl[\frac{z}{b^2\sqrt{b^2+z^2}}\Bigr]_{-\infty}^{\infty}=\frac{2GM}{b}$$

なので、傾きの変化は $\Delta(\mathrm{d} x/\mathrm{d} z)=-(2GM/b+2GM/b)/c^2$ である。負号は光が天体の側（$x$ の減る向き）へ曲がることを表す。

$\Psi=0$ の値は、第7章 §7.4 で等価原理だけから素朴に見積もった値 $2GM/(bc^2)$ と一致する。等価原理が決めるのは $g_{00}$ の部分だけだからである。空間の計量のずれが同じ大きさで加わると曲がりは2倍になり、この2倍の値が観測された値である（例題 9.4）。

光の曲がりは $g_{ij}$ を測る実験になっていて、遅い粒子の運動からは分からない計量の空間部分を確かめることができる。同じ結果を Schwarzschild 解の光の軌道から厳密に求める計算は第12章 §12.3 で行う。

確認テスト

オリジナル

1. 9.4-1 次に答えよ。

   1. (a) 光的測地線の径数として固有時を使うことができない理由を述べよ。
   2. (b) アフィン径数を $\lambda'=a\lambda+b$ に取り替えると、$k^\mu$ はどう変わるか。
   3. (c) (b) の取り替えは、$g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu=0$ と $k_\mu u^\mu$ にどう影響するか。

2. 9.4-2 質量 $M=1.0M_\odot$、半径 $R=5.8\times10^6\,\mathrm m$ の白色矮星の表面から出た光を、遠方で受ける。

   1. (a) 赤方偏移 $z=(\omega_1-\omega_2)/\omega_2$ を弱い場の1次で求めよ。
   2. (b) それを Doppler 効果に読み替えたときの速度 $cz$ を km/s で求めよ。

3. 9.4-3 地球の縁（$b=R_\oplus=6.371\times10^6\,\mathrm m$）をかすめる光の曲がり $4GM_\oplus/(c^2b)$ を求めよ。単位はラジアンとミリ秒角（千分の1秒角）とし、$GM_\oplus=3.986004\times10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2}$ を使え。

4. 9.4-4 計量 $g_{\mu\nu}$ と、任意の関数 $\chi$ を使った計量

$$\tilde g_{\mu\nu}=\mathrm{e}^{2\chi(x)}g_{\mu\nu}$$

を考える。

1. (a) 次を示せ。

$$\tilde\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}+\delta^\rho{}_\mu\partial_\nu\chi+\delta^\rho{}_\nu\partial_\mu\chi-g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}\partial_\sigma\chi$$ 2. (b) $g$ の光的測地線は、径数を取り替えれば $\tilde g$ でも光的測地線であることを示せ。3. (c) $\tilde g$ のアフィン径数 $\tilde\lambda$ と、元のアフィン径数の関係を求めよ。