Riemann テンソル

相対論入門　第10章 §10.1　★★★ 共変微分の交換子は、微分を含まない $(1,3)$ 型テンソルになる。それが Riemann テンソルで、小さなループに沿った平行移動のずれも同じ量で書ける

第8章では、計量 $g_{\mu\nu}$ から Christoffel 記号 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ を作り、共変微分と平行移動を定義した。そこで2つの事実が残された。1つは、各点で計量の1階微分は座標の取り方で 0 にできるのに、2階微分のうち $n^2(n^2-1)/12$ 個（4次元で 20 個）は消せないこと（第8章 §8.2 の局所平坦性の定理）である。

もう1つは、球面上でベクトルを閉じた道に沿って平行移動すると、1周したときに元の向きに戻らず、その回転の角が囲んだ面積に比例すること（第8章 §8.4）である。この章では、この2つが同じ1つのテンソル、Riemann テンソルで表されることを示す。

一般相対論で曲率が要る理由は、第7章の等価原理にある。自由落下する実験室の中では重力は消えるが、離れた2点の落下の加速度の差、つまり潮汐力は消えなかった。

第8章の言葉では、重力の場の「強さ」を表す $\Gamma$ は1点で 0 にできるが、その微分は消せない。第9章では、自由落下する粒子が測地線

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\rho}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x^\nu}{d \tau}=0\tag{10.1}$$

に沿って動くこと、そして静的で弱い重力の場では計量が

$$g_{00}\simeq1+\frac{2\Phi}{c^2},\qquad g_{ij}\simeq-\delta_{ij}\tag{10.2}$$

で表され（$\Phi$ は Newton のポテンシャル）、(10.1) が Newton の運動方程式に戻ることを示した（第9章 §9.2）。この章では、隣り合う2本の測地線の間隔の変化を計算し、その加速度が Riemann テンソルで決まり、弱い場の極限で第7章の潮汐力の式に一致することを示す。

章の流れは次のとおりである。

1. §10.1 では、共変微分の交換子から Riemann テンソルを定義し、小さな閉曲線に沿った平行移動のずれがそれで書けることを示す。
2. §10.2 では、測地線偏差の方程式を導き、潮汐力との関係を確かめる。
3. §10.3 では、Riemann テンソルの対称性を調べて独立な成分を数え、縮約して Ricci テンソルとスカラー曲率を作り、Bianchi 恒等式を証明する。最後の縮約した Bianchi 恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ は、第11章で Einstein 方程式の形を決める条件になる。
4. §10.4 では、2次元の球面で曲率を最後まで計算し、第8章の平行移動の結果と照らし合わせる。

曲率と潮汐力を解析力学の側から整理した道筋は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第14章にある。

偏微分は交換するが、共変微分は交換しない

平らな空間の直交座標では、偏微分の順序を入れ替えても結果は変わらない。

$$\partial_\mu\partial_\nu V^\rho=\partial_\nu\partial_\mu V^\rho$$

しかし $\partial_\mu\partial_\nu V^\rho$ は一般の座標でテンソルにならない（第8章 §8.1）ので、この性質は座標によらない主張になっていない。座標によらない形にするには、偏微分を共変微分に置き換えた $\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho$ を考え、その順序を入れ替えた差を調べればよい。

その差はテンソルであり、平らな空間の直交座標では $\Gamma=0$ なので 0 になる。テンソルの成分は1つの座標で 0 ならすべての座標で 0 である（第8章 §8.1 の定理）から、平らな空間ではこの差がどの座標でも 0 である。逆に言えば、この差が 0 でなければ、空間は平らでない。

計算の準備として、第8章 §8.3 の共変微分の規則を再掲しておく。ベクトルと $(1,1)$ 型テンソルに対して

$$\begin{align*}\nabla_\mu V^\rho&=\partial_\mu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}V^\sigma,\tag{10.3}\\\nabla_\mu T^\rho{}_\nu&=\partial_\mu T^\rho{}_\nu+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}T^\lambda{}_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}T^\rho{}_\lambda\tag{10.4}\end{align*}$$

である。上付きの添字には $+\Gamma$、下付きの添字には $-\Gamma$ の項が1つずつ付く。この章で使う接続は Levi-Civita 接続なので、$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}$（ねじれが無い）である。

交換子の計算

$T^\rho{}_\nu=\nabla_\nu V^\rho$ は $(1,1)$ 型テンソルなので、(10.4) を当てはめる。

$$\begin{align*}\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho &=\partial_\mu\bigl(\nabla_\nu V^\rho\bigr)+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\nabla_\nu V^\lambda-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho\\&=\partial_\mu\partial_\nu V^\rho+\bigl(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\bigr)V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\partial_\mu V^\sigma\\&\qquad+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\partial_\nu V^\lambda+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}V^\sigma-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho .\tag{10.5}\end{align*}$$

2行目は、$\nabla_\nu V^\rho=\partial_\nu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}V^\sigma$ を $\partial_\mu$ で微分して積の微分を展開したものである。次に、$\mu$ と $\nu$ を入れ替えた式を引く。6つの項を1つずつ調べると、次のようになる。

1. $\partial_\mu\partial_\nu V^\rho$ は $\mu,\nu$ について対称なので、引き算で消える。
2. $\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\partial_\mu V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\partial_\nu V^\lambda$ は、和の添字の名前をそろえると $\mu,\nu$ について対称な組になっていて、消える。
3. $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho$ は、ねじれが無いので $\mu,\nu$ について対称で、消える。
4. 残るのは、$V^\sigma$ に微分が掛かっていない項だけである。

したがって

$$\bigl[\nabla_\mu,\nabla_\nu\bigr]V^\rho\coloneqq\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho-\nabla_\nu\nabla_\mu V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma\tag{10.6}$$

となる。ここで

$$\boxed{\;R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}\;}\tag{10.7}$$

とおいた。

(10.6) の左辺には $V$ の微分が現れていたのに、右辺では微分がすべて消えて、$V^\sigma$ の値に掛かる係数だけが残った。この係数は計量の2階微分（$\partial\Gamma$ の項）と1階微分の2乗（$\Gamma\Gamma$ の項）で書かれていて、ベクトルにはよらない。

証明

(10.6) の左辺は、テンソル $\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho$ から添字を入れ替えたテンソルを引いたものである。したがって、どのベクトル場 $V$ に対しても $(1,2)$ 型テンソルである。座標 $x$ から $x'$ へ変えたとき、両辺の変換を比べる。左辺は $(1,2)$ 型の変換則に従い、右辺の $V^\sigma$ はベクトルとして変換するので、

$$R'^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V'^\sigma=\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\delta}{\partial x'^\nu}R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}V^\beta =\frac{\partial x'^\rho}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\sigma}\frac{\partial x^\gamma}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\delta}{\partial x'^\nu}R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}V'^\sigma$$

が成り立つ。2つ目の等号では $V^\beta=(\partial x^\beta/\partial x'^\sigma)V'^\sigma$ を使った。点 $p$ での $V'^\sigma$ の値は自由に選べるので、その係数どうしが等しい。これは $(1,3)$ 型テンソルの変換則そのものである。

$\Gamma$ はテンソルでないのに、その組み合わせ (10.7) がテンソルになっている。Christoffel 記号の変換則の非斉次の項（第8章 §8.3）が、$\partial\Gamma$ の項と $\Gamma\Gamma$ の項の間でちょうど打ち消し合っている。上の証明は、その打ち消し合いを直接計算する代わりに、左辺がテンソルであることから結論を引き出した。

定義から直ちに分かる性質を1つ挙げておく。(10.7) は後ろの2つの添字について反対称である。

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=-R^\rho{}_{\sigma\nu\mu}.\tag{10.8}$$

交換子 $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]$ が $\mu,\nu$ について反対称であることの表れである。ほかの対称性は §10.3 で調べる。

余接ベクトル $\omega_\sigma$ に対しても同じ計算ができて、結果は

$$\bigl[\nabla_\mu,\nabla_\nu\bigr]\omega_\sigma=-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\,\omega_\rho\tag{10.9}$$

になる（確認テスト 10.1-3）。一般のテンソルでは、上付きの添字1つごとに $+R$ の項、下付きの添字1つごとに $-R$ の項が付く。

平坦な空間では $R=0$、その逆

平らな空間の直交座標（時空なら Minkowski 座標）では $\Gamma=0$ なので、(10.7) から $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=0$ である。Riemann テンソルはテンソルなので、同じ空間をどんな曲線座標で表しても $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=0$ のままである。平面の極座標は $\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r$ のように 0 でない Christoffel 記号を持つが、Riemann テンソルは 0 になる（確認テスト 10.1-2）。

Christoffel 記号が 0 でないことは、座標が曲がっていることを表すだけで、空間の曲がりを表すとは限らない。曲がっているかどうかを判定するのは Riemann テンソルである。

逆向きの主張も成り立つ。

証明の筋

1. 次の小節で示すように、平行移動のずれは囲んだ領域の Riemann テンソルの積分で決まる。曲率が0なら、点 $p$ から点 $q$ へベクトルを平行移動した結果は経路によらない。
2. そこで点 $p$ で正規直交な基底 $e_{(a)}$ を選ぶ。添字の範囲は $a=0,\dots,n-1$ である。それを各点へ平行移動して、$n$ 本のベクトル場 $e_{(a)}{}^\mu(x)$ を作る。経路によらないので、場は一意に決まり、どこでも $\nabla_\nu e_{(a)}{}^\mu=0$ を満たす。
3. 平行移動は内積を保つ（第8章 §8.4）ので、各点で $g_{\mu\nu}e_{(a)}{}^\mu e_{(b)}{}^\nu=\eta_{ab}$ である。
4. 添字を下げた $e_{(a)\mu}=g_{\mu\nu}e_{(a)}{}^\nu$ は $\nabla_\nu e_{(a)\mu}=0$ を満たす。$\Gamma$ が下2つの添字について対称なので

$$\partial_\nu e_{(a)\mu}-\partial_\mu e_{(a)\nu}=\nabla_\nu e_{(a)\mu}-\nabla_\mu e_{(a)\nu}=0$$

である。したがって各点の近くで、$e_{(a)\mu}=\partial_\mu y_a$ を満たす関数 $y_a$ がある。5. $y^a=\eta^{ab}y_b$ を新しい座標に選ぶと、線素は

$$\mathrm{d} s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d} x^\mu\mathrm{d} x^\nu=\eta_{ab}\mathrm{d} y^a\mathrm{d} y^b$$

となる。

最後の段は、逆行列の関係 $g^{\mu\nu}=\eta^{ab}e_{(a)}{}^\mu e_{(b)}{}^\nu$ から、$g_{\mu\nu}=\eta^{ab}e_{(a)\mu}e_{(b)\nu}$ が出ることによる。4番目の段の「回転が 0 の余接ベクトル場は勾配で書ける」ことは、単連結な領域で成り立つ Poincaré の補題である。

定理 10.3 により、「重力の場があるかどうか」という問いは、「Riemann テンソルが 0 かどうか」という座標によらない問いに置き換わる。加速する座標や回転する座標で現れる見かけの重力は、Christoffel 記号を 0 でなくするが、Riemann テンソルは 0 のままである。その例を次の例題で確かめる。

小さな閉曲線に沿った平行移動

第8章 §8.4 では、球面上でベクトルを閉じた道に沿って平行移動すると、1周したときに向きが変わることを見た。その変化を Riemann テンソルで書く。

2つの小さなベクトル $\delta a^\mu$、$\delta b^\mu$ を考える。点 $p$ から出るこの2本で張られた平行四辺形をとる。点 $p$ を出て

$$p\to p+\delta a\to p+\delta a+\delta b\to p+\delta b\to p$$

の順に1周する（図 10.1）。出発点でのベクトル $V^\rho$ をこの道に沿って平行移動し、戻ってきたときのベクトルを $V^\rho+\delta V^\rho$ とする。

証明

点 $p$ で $\Gamma(p)=0$ となる座標を使い、その点を原点にとる。これは第8章 §8.3 で作った座標

$$x'^\rho=y^\rho+\frac12\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)y^\mu y^\nu$$

である。原点の近くで Christoffel 記号は

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}(x)=\partial_\lambda\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}(p)\,x^\lambda+O(x^2)$$

と展開できる。平行移動の方程式（第8章 §8.4）は、道の上の点 $x^\mu(\lambda)$ で

$$\frac{d V^\rho}{d \lambda}=-\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}(x)\,\frac{d x^\mu}{d \lambda}\,V^\sigma$$

である。Christoffel 記号が $O(x)$ なので、道に沿ったベクトルの変化は $O(x^2)$ である。次の2つは、どちらも $\mathrm{d} x$ を掛けて積分すると3次以上の量になる。

• 右辺の $V^\sigma$ を出発時の値に置き換えた誤差。
• Christoffel 記号の展開の $O(x^2)$ の項の寄与。

したがって2次までで

$$\delta V^\rho=-\oint\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}(x)\,V^\sigma\,\mathrm{d} x^\mu =-\partial_\lambda\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}(p)\,V^\sigma\oint x^\lambda\,\mathrm{d} x^\mu$$

となる。残った積分は平行四辺形の形だけで決まり、

$$\oint x^\lambda\,\mathrm{d} x^\mu=\delta a^\lambda\delta b^\mu-\delta b^\lambda\delta a^\mu$$

である。たとえば2辺を座標軸にとった長方形を考える。2辺 $\delta a$、$\delta b$ をそれぞれ1番目と2番目の座標軸にとると、次のようになる。

• $\oint x^1\mathrm{d} x^2$ は、右の辺からの $\delta a\,\delta b$ である。
• $\oint x^2\mathrm{d} x^1$ は、上の辺を逆向きに進む $-\delta a\,\delta b$ である。
• ほかは0である。

代入すると

$$\delta V^\rho=-\bigl(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\bigr)(p)\,V^\sigma\,\delta a^\mu\,\delta b^\nu$$

を得る（和の添字の名前を付け替えた）。$\Gamma(p)=0$ の座標では、(10.7) の $\Gamma\Gamma$ の項がその点で消える。したがって括弧の中は $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}(p)$ に等しい。$\delta V^\rho$ は同じ点 $p$ での2つのベクトルの差なのでベクトルであり、右辺もテンソルの縮約なので、この座標で成り立つ等式はどの座標でも成り立つ。

(10.10) は、ずれが囲んだ面積に比例し、その比例係数が Riemann テンソルであることを表している。第8章で見た「回転の角が囲んだ面積に比例する」という性質は、この式の特別な場合である。§10.4 で、球面のずれが面積を $a^2$ で割った角の回転になることを確かめる。周回の向きを逆にすると $\delta a$ と $\delta b$ の役割が入れ替わり、(10.8) によってずれの符号が反転する。

確認テスト

オリジナル

1. 10.1-1 Riemann テンソルが後ろの2つの添字について反対称であること (10.8) を、定義 (10.7) から確かめよ。
2. 10.1-2 平面の極座標 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2$ を考える。0でない Christoffel 記号は $\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r$、$\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}=1/r$ である。$R^r{}_{\varphi r\varphi}$ と $R^\varphi{}_{r\varphi r}$ を計算し、どちらも 0 になることを示せ。
3. 10.1-3 スカラー場 $f$ に対して $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]f=0$ であることを示し、それと (10.6) を使って、余接ベクトルの交換子 (10.9) を導け。
4. 10.1-4 半径 $a$ の円柱の表面 $\mathrm{d} s^2=a^2\mathrm{d}\varphi^2+\mathrm{d} z^2$ の Riemann テンソルを求めよ。円柱の表面は3次元の空間の中で曲がって見えるのに、この結果になる理由を、円柱を切り開く操作と結びつけて説明せよ。