Ricci テンソル・スカラー曲率・Bianchi 恒等式

相対論入門　第10章 §10.3　★★★ Riemann テンソルの対称性から独立な成分を数え、縮約して Ricci テンソルとスカラー曲率を作る。縮約した Bianchi 恒等式は Einstein 方程式の左辺を決める

局所慣性系での形と対称性

Riemann テンソルの性質を調べるには、点 $p$ で $\Gamma(p)=0$ になる座標を使うのが便利である。言い換えると $\partial_\lambda g_{\mu\nu}(p)=0$ になる座標で、第8章 §8.2 の局所平坦性の定理の座標である。この座標では、その点で $\Gamma\Gamma$ の項が消え、(10.7) は

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$$

になる。

添字を下げた $R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\alpha}R^\alpha{}_{\sigma\mu\nu}$ を計算する。$\partial g(p)=0$ なので、計量を微分の中に入れてもその点では値が変わらない。したがって

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\bigl(g_{\rho\alpha}\Gamma^\alpha{}_{\nu\sigma}\bigr)-\partial_\nu\bigl(g_{\rho\alpha}\Gamma^\alpha{}_{\mu\sigma}\bigr),\qquad g_{\rho\alpha}\Gamma^\alpha{}_{\nu\sigma}=\frac12\bigl(\partial_\nu g_{\rho\sigma}+\partial_\sigma g_{\rho\nu}-\partial_\rho g_{\nu\sigma}\bigr)$$

となる。微分すると $\partial_\mu\partial_\nu g_{\rho\sigma}$ の項は $\mu,\nu$ について対称なので引き算で消え、

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac12\bigl(\partial_\mu\partial_\sigma g_{\rho\nu}-\partial_\mu\partial_\rho g_{\sigma\nu}-\partial_\nu\partial_\sigma g_{\rho\mu}+\partial_\nu\partial_\rho g_{\sigma\mu}\bigr) \qquad(\text{点 }p\text{ で、}\partial g(p)=0\text{ の座標})\tag{10.20}$$

が残る。Riemann テンソルは計量の2階微分で書け、第8章で「消せない」とした2階微分の組み合わせがこれである。

(10.20) の右辺を見ると、次の対称性が読み取れる。どれもテンソルの等式なので、この座標で示せばどの座標でも成り立つ。

証明

(10.20) の4つの項を、順に (1)(2)(3)(4) と呼ぶ。

• $\mu\leftrightarrow\nu$ で、(1) と (3)、(2) と (4) が入れ替わる。それぞれ符号が逆なので、全体が $-1$ 倍になる。これが (10.21)。
• $\rho\leftrightarrow\sigma$ で、(1) と (2)、(3) と (4) が入れ替わる（$g$ の対称性を使う）。全体が $-1$ 倍になる。これが (10.22)。
• 組の入れ替え $(\rho\sigma)\leftrightarrow(\mu\nu)$ を考える。(1) $\partial_\mu\partial_\sigma g_{\rho\nu}$ は $\partial_\rho\partial_\nu g_{\mu\sigma}$、つまり (4) になる。 (2) と (3) は自分自身に移る。全体は変わらない。これが (10.23)。
• (10.24) は、$\rho$ を固定して後ろの3つの添字 $(\sigma,\mu,\nu)$ を巡回させた和である。3つの項を (10.20) で書くと、それぞれの 2 倍は

$$\begin{aligned}2R_{\rho\sigma\mu\nu}&=\partial_\mu\partial_\sigma g_{\rho\nu}-\partial_\mu\partial_\rho g_{\sigma\nu}-\partial_\nu\partial_\sigma g_{\rho\mu}+\partial_\nu\partial_\rho g_{\sigma\mu},\\ 2R_{\rho\mu\nu\sigma}&=\partial_\nu\partial_\mu g_{\rho\sigma}-\partial_\nu\partial_\rho g_{\mu\sigma}-\partial_\sigma\partial_\mu g_{\rho\nu}+\partial_\sigma\partial_\rho g_{\mu\nu},\\ 2R_{\rho\nu\sigma\mu}&=\partial_\sigma\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\sigma\partial_\rho g_{\nu\mu}-\partial_\mu\partial_\nu g_{\rho\sigma}+\partial_\mu\partial_\rho g_{\nu\sigma}\end{aligned}$$

である。12個の項は、次の6組がそれぞれ打ち消し合う（偏微分の順序の交換と $g$ の対称性を使う）。

• 1行目の第1項と2行目の第3項。
• 1行目の第2項と3行目の第4項。
• 1行目の第3項と3行目の第1項。
• 1行目の第4項と2行目の第2項。
• 2行目の第1項と3行目の第3項。
• 2行目の第4項と3行目の第2項。

独立な成分の数

対称性を使って、$n$ 次元での独立な成分を数える。

1. (10.21)・(10.22) により、前の組 $(\rho\sigma)$ と後ろの組 $(\mu\nu)$ はどちらも反対称な組である。それぞれ $N=n(n-1)/2$ 通りの値をとる。
2. (10.23) により、Riemann テンソルは組を添字とする $N\times N$ の対称行列とみなせる。成分は $N(N+1)/2$ 個になる。

第1 Bianchi 恒等式は、この3つの対称性のもとでは、4つの添字がすべて異なるときにだけ新しい条件になり、その数は4つの添字の選び方 $\binom n4$ である（確認テスト 10.3-3）。したがって独立な成分の数は

$$\frac{N(N+1)}{2}-\binom n4=\frac{n^2(n^2-1)}{12}\tag{10.25}$$

で、$n=2,3,4$ に対して $1,\,6,\,20$ である。4次元では $N=6$、$21-1=20$ となる。これは第8章 §8.2 の数え上げで「座標をどう選んでも消せない計量の2階微分」の数と一致する。第8章で数えた消せない量は、Riemann テンソルの独立な成分そのものだったことになる。

Ricci テンソルとスカラー曲率

Riemann テンソルを縮約して、添字の少ないテンソルを作る。前の組の2つの添字の縮約 $R^\rho{}_{\rho\mu\nu}=g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma\mu\nu}$ は、対称な逆計量と反対称な組の縮約なので 0 である。後ろの組の縮約も同じく 0 である。0 にならないのは、前の組の1つと後ろの組の1つを縮約するもので、対称性によってどれを選んでも符号を除いて同じになる。

Ricci テンソルは対称である。

$$R_{\nu\mu}=g^{\rho\sigma}R_{\sigma\nu\rho\mu}=g^{\rho\sigma}R_{\rho\mu\sigma\nu}=R_{\mu\nu}$$

2つ目の等号で (10.23) を使い、和の添字 $\rho,\sigma$ の名前を入れ替えた。4次元では、Ricci テンソルは 10 個の成分を持ち、Riemann テンソルの 20 個の成分のうち半分を担う。残りの 10 個を担うのは Weyl テンソルと呼ばれる部分で、真空中でも 0 にならない曲率（潮汐力・重力波）を表す。

Ricci テンソルの物理的な意味を、§10.2 の弱い場で確かめる。静止した観測者 $u^\mu=(c,0,0,0)$ に対して

$$R_{00}=R^\rho{}_{0\rho0}=\sum_iR^i{}_{0i0}=\frac{1}{c^2}\nabla^2\Phi=\frac{4\pi G\rho_{\mathrm m}}{c^2}\tag{10.27}$$

である。各等号の理由は次のとおりである。

• $\rho=0$ の項 $R^0{}_{000}$ は、(10.8) で 0 である。
• 3つ目の等号は (10.18) による。
• 最後は Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho_{\mathrm m}$ による（$\rho_{\mathrm m}$ は質量密度）。

潮汐の行列 $\partial_i\partial_j\Phi$ の跡が $R_{00}$ になり、それは物質の密度で決まる。物質の無い所では $R_{00}=0$ だが、成分 $R^i{}_{0j0}$ そのものは 0 でない。点質量のまわりの潮汐 $(+2,-1,-1)GM/r^3$ は、跡が 0 になっている。第11章では、この関係を手がかりに Ricci テンソルを物質のエネルギー運動量テンソルに結びつける。

第2 Bianchi 恒等式と Einstein テンソル

Riemann テンソルの共変微分には、次の恒等式がある。

証明

左辺はテンソルなので、点 $p$ で $\Gamma(p)=0$ となる座標で示せばよい。その点では共変微分の Christoffel 記号の項が消え、$\nabla_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ である。さらに (10.7) の $\Gamma\Gamma$ の項は、微分しても $\Gamma(p)=0$ が掛かる項しか出さない。したがってその点では

$$\nabla_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\lambda\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\lambda\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$$

となる。$(\lambda,\mu,\nu)$ を巡回させて足すと、

$$\bigl(\partial_\lambda\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\lambda\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\bigr) +\bigl(\partial_\mu\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\lambda\sigma}-\partial_\mu\partial_\lambda\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\bigr) +\bigl(\partial_\nu\partial_\lambda\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}-\partial_\nu\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\lambda\sigma}\bigr)$$

で、偏微分の順序が交換できるので、6つの項は2つずつ打ち消し合い 0 になる。

第2 Bianchi 恒等式を2回縮約すると、次の重要な結果が得られる。

証明

(10.28) の添字を下げた形

$$\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}+\nabla_\mu R_{\rho\sigma\nu\lambda}+\nabla_\nu R_{\rho\sigma\lambda\mu}=0$$

に $g^{\rho\mu}$ を掛けて縮約する。計量は共変微分と交換する（$\nabla g=0$）ので、$g$ を微分の中に入れてよい。3つの項は順に

$$g^{\rho\mu}\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}=\nabla_\lambda R_{\sigma\nu},\qquad g^{\rho\mu}\nabla_\mu R_{\rho\sigma\nu\lambda}=\nabla^\rho R_{\rho\sigma\nu\lambda},\qquad g^{\rho\mu}\nabla_\nu R_{\rho\sigma\lambda\mu}=-\nabla_\nu R_{\sigma\lambda}$$

となる（3つ目は (10.21) で後ろの2つを入れ替えてから Ricci テンソルの定義を使った）。したがって

$$\nabla_\lambda R_{\sigma\nu}+\nabla^\rho R_{\rho\sigma\nu\lambda}-\nabla_\nu R_{\sigma\lambda}=0 .$$

さらに $g^{\sigma\nu}$ を掛けて縮約する。第1項は $\nabla_\lambda R$、第3項は $-\nabla^\sigma R_{\sigma\lambda}$ になる。第2項は、(10.23) と (10.21) を使って

$$g^{\sigma\nu}R_{\rho\sigma\nu\lambda}=g^{\sigma\nu}R_{\nu\lambda\rho\sigma}=R^\sigma{}_{\lambda\rho\sigma}=-R^\sigma{}_{\lambda\sigma\rho}=-R_{\lambda\rho}$$

となるので $-\nabla^\rho R_{\rho\lambda}$ である。まとめると $\nabla_\lambda R-2\nabla^\rho R_{\rho\lambda}=0$、つまり

$$\nabla^\rho\Bigl(R_{\rho\lambda}-\frac12g_{\rho\lambda}R\Bigr)=0$$

を得る（$\nabla^\rho(g_{\rho\lambda}R)=\nabla_\lambda R$）。$G_{\mu\nu}$ が対称なのは、Ricci テンソルと計量が対称だからである。

(10.30) は、計量がどんな形であっても成り立つ恒等式である。一方、第6章 §6.3・§6.4 で見たように、物質のエネルギーと運動量の保存は、平らな時空で $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ と書かれ、曲がった時空では $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ になる（第11章 §11.1）。

第11章では、重力の場の方程式の左辺に、計量の2階微分までを含み、対称で、発散が恒等的に 0 になる $(0,2)$ 型テンソルを置く。$G_{\mu\nu}$ はその条件を満たし、右辺のエネルギー運動量テンソルの保存則と矛盾しない。4次元での $G_{\mu\nu}$ の跡は $g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=R-2R=-R$ である（確認テスト 10.3-4）。

確認テスト

オリジナル

1. 10.3-1 次を示せ。

   1. (a) 対称性 (10.23) だけを使って、Ricci テンソルが対称であること。
   2. (b) (10.23) を仮定しないとき、第1 Bianchi 恒等式と (10.21)・(10.22) から (10.23) が導けること。

2. 10.3-2 $R^\rho{}_{\rho\mu\nu}=0$ を示せ。また、Riemann テンソルの1番目と4番目の添字の縮約 $R^\rho{}_{\mu\nu\rho}$ を Ricci テンソルで表せ。

3. 10.3-3 (10.21)〜(10.23) を満たすテンソルについて、次に答えよ。

   1. (a) 4つの添字のどれか2つが等しいとき、第1 Bianchi 恒等式の左辺は自動的に 0 になることを示せ。
   2. (b) 独立な条件の数が $\binom n4$ であることを説明せよ。
   3. (c) $N=n(n-1)/2$ として、次を確かめよ。

$$\frac{N(N+1)}{2}-\binom n4=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$$ 4. 10.3-4 $n$ 次元で、Einstein テンソルの跡 $g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}$ をスカラー曲率で表せ。4次元で $G_{\mu\nu}=0$ と $R_{\mu\nu}=0$ が同値であることを示せ。5. 10.3-5 点質量 $M$ の外の Newton のポテンシャル $\Phi=-GM/r$ を考える。

1. (a) $\sum_i\partial_i\partial_i\Phi=0$ を示せ。
2. (b) 第3軸上の点 $(0,0,r)$ で、行列 $\partial_i\partial_j\Phi$ を求めよ。
3. (c) 測地線偏差の方程式から、どの向きに引き伸ばしと圧縮が生じるかを答えよ。