2次元球面での計算例

相対論入門　第10章 §10.4　★★ 半径 $a$ の球面で Riemann テンソル・Ricci テンソル・スカラー曲率 $2/a^2$ を最後まで計算し、平行移動の回転と測地線の収束で確かめる

曲率の成分

半径 $a$ の球面の計量は、第8章 §8.2 で求めたとおり

$$\mathrm{d} s^2=a^2\bigl(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\bigr),\qquad g_{\theta\theta}=a^2,\quad g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta\tag{10.31}$$

で、0 でない Christoffel 記号は

$$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi\theta}=\cot\theta\tag{10.32}$$

である（第8章 §8.3 の例題）。2次元では独立な成分は1つなので、$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}$ を求めれば十分である。(10.7) で $(\rho,\sigma,\mu,\nu)=(\theta,\varphi,\theta,\varphi)$ とおく。

$$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\partial_\theta\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}-\partial_\varphi\Gamma^\theta{}_{\theta\varphi}+\Gamma^\theta{}_{\theta\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\varphi\varphi}-\Gamma^\theta{}_{\varphi\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\theta\varphi}.$$

各項を順に計算する。

• 第1項：$\partial_\theta(-\sin\theta\cos\theta)=-\cos^2\theta+\sin^2\theta$。
• 第2項：$\Gamma^\theta{}_{\theta\varphi}=0$ なので 0。
• 第3項：$\Gamma^\theta{}_{\theta\theta}=\Gamma^\theta{}_{\theta\varphi}=0$ なので 0。
• 第4項：$\lambda=\varphi$ だけが残り、$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=-\sin\theta\cos\theta\cdot\cot\theta=-\cos^2\theta$。

したがって

$$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=-\cos^2\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta=\sin^2\theta\tag{10.33}$$

を得る。添字を下げると $R_{\theta\varphi\theta\varphi}=g_{\theta\theta}R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=a^2\sin^2\theta$ である。残りの0でない成分は、対称性から

$$R_{\varphi\theta\varphi\theta}=a^2\sin^2\theta,\qquad R_{\theta\varphi\varphi\theta}=R_{\varphi\theta\theta\varphi}=-a^2\sin^2\theta$$

である。上付きの形では

$$R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=g^{\varphi\varphi}R_{\varphi\theta\varphi\theta}=\frac{a^2\sin^2\theta}{a^2\sin^2\theta}=1$$

となる。直接 (10.7) から計算しても、次のように同じ値になる。

$$-\partial_\theta\cot\theta-\cot^2\theta=\frac{1}{\sin^2\theta}-\cot^2\theta=1$$

Ricci テンソルは (10.26) から

$$R_{\theta\theta}=R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=1,\qquad R_{\varphi\varphi}=R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\sin^2\theta,\qquad R_{\theta\varphi}=0\tag{10.34}$$

で、まとめると $R_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}/a^2$ である。スカラー曲率は

$$R=g^{\theta\theta}R_{\theta\theta}+g^{\varphi\varphi}R_{\varphi\varphi}=\frac{1}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{a^2\sin^2\theta}=\frac{2}{a^2}\tag{10.35}$$

となる。曲率は場所によらない一定値で、球面がどこでも同じ形をしていることに対応する。半径が大きいほど曲率は小さい。

2次元の曲率は Gauss 曲率1つで決まる

2次元では独立な成分が1つなので、Riemann テンソルは計量と1つのスカラーで書ける。対称性 (10.21)〜(10.23) を満たす計量の組み合わせ $g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}$ に比例するはずである。比例係数を $K$ とおくと

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=K\bigl(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu}\bigr)\tag{10.36}$$

となる。縮約すると

$$R_{\sigma\nu}=g^{\rho\mu}R_{\rho\sigma\mu\nu}=K(2g_{\sigma\nu}-g_{\sigma\nu})=Kg_{\sigma\nu},\qquad R=2K$$

なので、$K=R/2$ である。$K$ を Gauss 曲率と呼ぶ。球面では $K=1/a^2$ である。(10.36) の $\theta\varphi\theta\varphi$ 成分は $K g_{\theta\theta}g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta$ となり、(10.33) を下げたものと一致する。

この式から、2次元では Einstein テンソルが恒等的に 0 になることも分かる。

$$G_{\mu\nu}=Kg_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}\cdot2K=0$$

2次元では Einstein 方程式の左辺が何の情報も持たないので、一般相対論は4次元（少なくとも3次元以上）で初めて意味のある理論になる。

第8章 §8.2 の例題で、球面上に描いた半径 $\rho$ の円の周が次のようになることを見た。

$$C(\rho)=2\pi a\sin(\rho/a)=2\pi\rho\Bigl(1-\frac{\rho^2}{6a^2}+\cdots\Bigr)$$

$1/a^2=K$ と書けば、周の相対的な不足は $K\rho^2/6$ である。Gauss 曲率は「円の周が平面の値からどれだけずれるか」という、曲面の上だけで測れる量で決まる。これは曲面を3次元の空間に置かずに、曲面の中の測定だけで曲率を決められることの1つの例である。

平行移動の回転と曲率

命題 10.4 を球面に当てはめる。点 $(\theta,\varphi)$ から小さな長方形を1周する。まず南に $\delta\theta$ 進み、次に東に $\delta\varphi$ 進む。$\delta a^\mu=(\delta\theta,0)$、$\delta b^\mu=(0,\delta\varphi)$ を (10.10) に入れると、

$$\delta V^\theta=-R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}V^\varphi\,\delta\theta\,\delta\varphi=-\sin^2\theta\,V^\varphi\,\delta\theta\,\delta\varphi,\qquad \delta V^\varphi=-R^\varphi{}_{\theta\theta\varphi}V^\theta\,\delta\theta\,\delta\varphi=V^\theta\,\delta\theta\,\delta\varphi$$

である（2つ目では $R^\varphi{}_{\theta\theta\varphi}=-R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=-1$ を使った）。長さ 1 の基底（南向きの $\bm e_{\hat\theta}$ と東向きの $\bm e_{\hat\varphi}$、第8章 §8.4）での成分

$$V^{\hat\theta}=aV^\theta,\qquad V^{\hat\varphi}=a\sin\theta\,V^\varphi$$

に直すと

$$\delta V^{\hat\theta}=-\epsilon\,V^{\hat\varphi},\qquad \delta V^{\hat\varphi}=+\epsilon\,V^{\hat\theta},\qquad \epsilon=\sin\theta\,\delta\theta\,\delta\varphi\tag{10.37}$$

となる。これは、ベクトルが角 $\epsilon$ だけ、南から東へ向かう向きに回ったことを表す。長方形の面積は $\delta A=a\,\delta\theta\cdot a\sin\theta\,\delta\varphi$ なので、

$$\epsilon=\frac{\delta A}{a^2}=K\,\delta A\tag{10.38}$$

である。回転の角は Gauss 曲率と囲んだ面積の積に等しく、回る向きは周回の向き（南へ進んでから東へ進む向き）と同じである。

小さな長方形をタイルのように並べると、大きな領域を1周したときの回転は、各タイルの回転の和になる（内側の辺は隣り合う2枚で逆向きに進むので打ち消し合う）。球面では $K$ が一定なので、回転は $K$ と面積の積になるはずである。第8章 §8.4 の2つの結果で確かめる。

• 極角 $\theta_0$ の緯線で囲まれた北極のまわりの領域（極冠）の面積は

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\theta_0}a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=2\pi a^2(1-\cos\theta_0)$$

である。Gauss 曲率を掛けると $2\pi(1-\cos\theta_0)$ で、第8章の緯線の1周の回転に一致する。

• 北極と赤道上の2点で作る八分円の三角形の面積は $4\pi a^2/8$ である。Gauss 曲率を掛けると $\pi/2$、つまり $90^\circ$ で、第8章の結果に一致する。この三角形の3つの角はどれも $90^\circ$ である。角の和は $270^\circ$ で、平面の値 $180^\circ$ との差も同じ直角になっている。

後の方は、測地線で囲まれた三角形の角の和の超過が $K\times(\text{面積})$ に等しいという、Gauss–Bonnet の定理の最も簡単な場合にあたる。

球面上の測地線偏差

§10.2 の測地線偏差を球面で確かめる。経線（子午線）は大円で、測地線である。赤道上で互いに平行に北へ向かって出発した2本の経線は、北極で交わる。この収束が (10.16) で表されることを次の例題で示す。

時空でも同じことが起こる。§10.2 の例で、地球のまわりで水平に並んで落下する2つの粒子が互いに近づくのは、2本の経線が北極へ向かって近づくのと同じ型の、正の曲率による測地線の収束である。違いは、時空では曲率の符号が方向ごとに異なりうることで、鉛直方向には測地線は離れていく（引き伸ばし）。

確認テスト

オリジナル

1. 10.4-1 地球を半径 $6.371\times10^6\ \mathrm m$ の球とみなす。地表に3本の大円の弧で、面積 $1.0\times10^4\ \mathrm{km^2}$ の三角形を描く。3つの角の和が $180^\circ$ を超える量を、秒角（3600分の1度）で求めよ。
2. 10.4-2 定数 $b>0$ を使った計量

$$\mathrm{d} s^2=b^2\bigl(\mathrm{d}\theta^2+\sinh^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2\bigr)$$

を考える。Christoffel 記号、$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}$、スカラー曲率 $R$ を求めよ。Gauss 曲率の符号を球面と比べよ。3. 10.4-3 2次元では、どんな計量に対しても Einstein テンソル $G_{\mu\nu}$ が恒等的に 0 になることを、(10.36) を使って示せ。4. 10.4-4 球面を時空の空間部分として、次のように書く。

$$\mathrm{d} s^2=-a^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$$

Christoffel 記号、Riemann テンソル、Ricci テンソル、スカラー曲率のうち、どれが変わりどれが変わらないかを答えよ。また $R=-2/a^2$ となることを示せ。5. 10.4-5 極角 $\theta_0$ の緯線で囲まれた極冠の面積に Gauss 曲率を掛けた量が、第8章で求めた緯線の1周の回転の角 $2\pi(1-\cos\theta_0)$ に一致することを示せ。また $\theta_0=\pi/2$（赤道）のときの値を答え、赤道を1周したベクトルの向きが変わるかどうかを説明せよ。