この章のまとめ

相対論入門　第10章 §10.5

この章では、時空が曲がっているかどうかを座標によらずに判定する量として、Riemann テンソルを作った。偏微分は順序を交換できるが、共変微分は交換できず、その差 $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho$ はベクトルの微分を含まない形 $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$ になる。係数 $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma\Gamma-\Gamma\Gamma$ は、Christoffel 記号そのものはテンソルでないのに $(1,3)$ 型テンソルになる。

平らな空間では、どんな曲線座標で書いても Riemann テンソルは 0 であり、逆に Riemann テンソルが 0 なら計量を定数にする座標がとれる。加速する座標の見かけの重力は Christoffel 記号を 0 でなくするが、曲率は 0 のままである。小さな平行四辺形に沿って平行移動すると、ベクトルは $-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma\delta a^\mu\delta b^\nu$ だけずれ、第8章で見た「回転の角が面積に比例する」性質はこの式に含まれる。

隣り合う測地線の間隔は、測地線偏差の方程式 $D^2\xi^\rho/\mathrm{d}\tau^2=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma u^\mu\xi^\nu$ に従って変わる。静的で弱い重力の場では $c^2R^i{}_{0j0}=\partial_i\partial_j\Phi$ となり、この方程式は第7章の Newton の潮汐力の式に戻る。等価原理で消せる重力の場は $\Gamma$ に、消せない潮汐力は Riemann テンソルに対応する。恒星質量のブラックホールでは地平面の手前で潮汐が地表の重力の $10^7$ 倍を超えるが、銀河中心のブラックホールでは地平面でも $10^{-4}$ 倍程度であることを見積もった。

Riemann テンソルは、2つの組の反対称性・組の入れ替えの対称性・第1 Bianchi 恒等式を満たし、独立な成分は $n^2(n^2-1)/12$ 個、4次元で 20 個である。これは第8章で数えた消せない計量の2階微分の数と一致する。

1番目と3番目の添字を縮約して Ricci テンソル $R_{\mu\nu}$、さらに計量で縮約してスカラー曲率 $R$ を作った。弱い場では $R_{00}=\nabla^2\Phi/c^2=4\pi G\rho_{\mathrm m}/c^2$ で、Ricci テンソルは物質の密度と、自由粒子の雲の体積の縮み方に結びついている。第2 Bianchi 恒等式を2回縮約すると、Einstein テンソル $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R$ の発散が恒等的に 0 になる。

最後に、半径 $a$ の球面で曲率を計算した。Riemann テンソルは $R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\sin^2\theta$ である。Ricci テンソルは $R_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}/a^2$、スカラー曲率は $2/a^2$ である。

2次元では Riemann テンソルが Gauss 曲率 $K=R/2$ だけで決まり、Einstein テンソルは恒等的に 0 である。平行移動の回転が $K\times(\text{面積})$ になることを極冠と八分円の三角形で確かめ、経線どうしの間隔が測地線偏差の方程式に従って $\cos(s/a)$ の形で縮んで北極で交わることを示した。

第11章では、重力の場の方程式の左辺に、ここで作った Einstein テンソルを置く。縮約した Bianchi 恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ は、物質のエネルギー運動量の保存則 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ と両立する条件になる。弱い場の $R_{00}=4\pi G\rho_{\mathrm m}/c^2$ は、Einstein 方程式の比例係数を Newton の重力に合わせるときに使う。

第12章では、Ricci テンソルが 0 になる球対称の時空として Schwarzschild 解を求め、そこでも Riemann テンソルは 0 でなく潮汐力が残ることを使う。第13章の重力波は、真空中で Ricci テンソルが 0 のまま伝わる Riemann テンソルの波である。