測地線偏差と潮汐力

相対論入門　第10章 §10.2　★★★ 隣り合う自由落下の世界線の間隔の加速度は Riemann テンソルで決まる。弱い場ではそれが Newton の潮汐力 $-\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j$ に戻る

測地線の族と偏差ベクトル

第7章 §7.2 では、自由落下する実験室の中で重力が消えたあとにも、離れた2点の加速度の差（潮汐力）が残ることを Newton 力学で見た。点 $\bm x$ と $\bm x+\bm\xi$ の2つの自由粒子の間隔は

$$\ddot\xi^i=-\sum_j\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\,\xi^j\tag{10.11}$$

に従って変わった（第7章 §7.2）。一般相対論では、自由粒子の世界線は測地線である。そこで、隣り合う2本の測地線の間隔がどう変わるかを、共変な形で計算する。

測地線が1つのパラメータ $s$ で番号づけられて連続に並んでいる状況を考える（図 10.2）。各番号に対して、$x^\mu(\tau,s)$ は固有時 $\tau$ をパラメータとする測地線である。2つのベクトル場

$$u^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial \tau},\qquad \xi^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial s}\tag{10.12}$$

を定義する。$u^\mu$ は各測地線の4元速度である。$\xi^\mu$ は同じ固有時の点どうしを結ぶ、隣の測地線への変位（を $\delta s$ で割ったもの）である。$\xi^\mu$ を偏差ベクトルと呼ぶ。2つの曲線の族に沿った共変微分を、第8章 §8.4 の曲線に沿った共変微分にならって

$$\frac{DV^\rho}{\mathrm{d}\tau}=\frac{\partial V^\rho}{\partial \tau}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}u^\mu V^\sigma,\qquad \frac{DV^\rho}{\mathrm{d} s}=\frac{\partial V^\rho}{\partial s}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\xi^\mu V^\sigma\tag{10.13}$$

と書く。測地線であることは $Du^\rho/\mathrm{d}\tau=0$ で表される。

測地線偏差の方程式

証明

(10.13) から $D\xi^\rho/\mathrm{d}\tau=\partial_\tau\xi^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}u^\mu\xi^\sigma$、$Du^\rho/\mathrm{d} s=\partial_su^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\xi^\mu u^\sigma$。第1項どうしは $\partial_\tau\partial_sx^\rho=\partial_s\partial_\tau x^\rho$ で等しく、第2項どうしは $\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}=\Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}$ で等しい。

証明

$W^\rho=DV^\rho/\mathrm{d} s=\partial_sV^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\xi^\nu V^\sigma$ に $D/\mathrm{d}\tau$ を掛ける。Christoffel 記号は場所 $x(\tau,s)$ の関数なので、$\partial_\tau\Gamma=u^\lambda\partial_\lambda\Gamma$ である。

$$\begin{aligned}\frac{DW^\rho}{\mathrm{d}\tau} &=\partial_\tau\partial_sV^\rho+u^\lambda\partial_\lambda\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\,\xi^\nu V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\,\partial_\tau\xi^\nu\,V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\xi^\nu\,\partial_\tau V^\sigma\\ &\qquad+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}u^\mu\,\partial_sV^\lambda+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}\,u^\mu\xi^\nu V^\sigma .\end{aligned}$$

2つのパラメータを入れ替えた式（$\tau\leftrightarrow s$、$u\leftrightarrow\xi$）を引く。

• 第1項は $\partial_\tau\partial_s=\partial_s\partial_\tau$ で消える。
• 第3項は $\partial_\tau\xi^\nu=\partial_su^\nu$ なので、入れ替えた式の対応する項 $\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_su^\mu V^\sigma$ と消し合う。
• 第4項と第5項は、入れ替えた式の第5項と第4項にそれぞれ一致し、消し合う。

残るのは第2項と第6項の差で、

$$\bigl(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}\bigr)u^\mu\xi^\nu V^\sigma$$

となる（第2項では和の添字 $\lambda$ を $\mu$ と書き直した）。括弧の中は (10.7) の $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ である。

証明

補題 10.5 を使ってから、補題 10.6 を $V=u$ に当てはめる。

$$\frac{D^2\xi^\rho}{\mathrm{d}\tau^2}=\frac{D}{\mathrm{d}\tau}\frac{Du^\rho}{\mathrm{d} s} =\frac{D}{\mathrm{d} s}\frac{Du^\rho}{\mathrm{d}\tau}+R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}u^\sigma u^\mu\xi^\nu .$$

各曲線が測地線なので $Du^\rho/\mathrm{d}\tau=0$ で、第1項は 0 になる。

(10.16) の右辺は、偏差 $\xi$ について1次で、係数は Riemann テンソルと4元速度で決まる。平坦な時空では右辺が 0 で、$D^2\xi/\mathrm{d}\tau^2=0$、つまり自由粒子どうしの相対速度は一定である。曲がった時空では、最初に互いに静止していた自由粒子どうしが加速度をもって近づいたり離れたりする。Riemann テンソルが後ろの2つの添字について反対称なので、$\xi^\nu$ が $u^\nu$ に比例する成分（同じ測地線に沿ったずれ）は右辺に寄与しない。

弱い場の極限と潮汐力

静的で弱い重力の場 (10.2) の中で、ゆっくり動く粒子の族を考える。$\Phi/c^2$ について1次の量だけを残す。

まず Christoffel 記号である。計量は時刻によらず、$g_{0i}=0$ なので、$\Phi$ の1次で0でないのは

$$\Gamma^i{}_{00}=-\frac12g^{ij}\partial_jg_{00}=\frac12\partial_ig_{00}=\frac{1}{c^2}\partial_i\Phi,\qquad \Gamma^0{}_{0i}=\Gamma^0{}_{i0}=\frac12g^{00}\partial_ig_{00}=\frac{1}{c^2}\partial_i\Phi\tag{10.17}$$

である。2つ目の等号で $g^{ij}=-\delta_{ij}$ を、最後の式で $g^{00}\simeq1$ を使った。第9章 §9.2 で見たとおり、(10.1) の空間成分の先頭は $\mathrm{d}^2x^i/\mathrm{d} t^2=-c^2\Gamma^i{}_{00}=-\partial_i\Phi$ で、Newton の運動方程式である。

次に Riemann テンソルの成分 $R^i{}_{0j0}$ を求める。(10.7) で $(\rho,\sigma,\mu,\nu)=(i,0,j,0)$ とおくと

$$R^i{}_{0j0}=\partial_j\Gamma^i{}_{00}-\partial_0\Gamma^i{}_{j0}+\Gamma^i{}_{j\lambda}\Gamma^\lambda{}_{00}-\Gamma^i{}_{0\lambda}\Gamma^\lambda{}_{j0}.$$

第2項は時刻による微分で 0、第3項と第4項は $\Gamma$ の2乗で $\Phi$ の2次なので無視する。したがって

$$c^2R^i{}_{0j0}=\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\tag{10.18}$$

である。実際の弱い場では空間成分にも補正があり、$g_{ij}=-(1-2\Phi/c^2)\delta_{ij}$ である。この補正を入れても、結果はポテンシャルの1次では変わらない。空間成分の補正は $\Gamma^i{}_{jk}$ に現れるが、この成分には $\Gamma\Gamma$ の積の形でしか入らないからである。

偏差の方程式 (10.16) に入れる。粒子がゆっくり動くので $u^\mu\simeq(c,0,0,0)$、$\tau\simeq t$ とする。偏差は、同じ時刻の2点を結ぶ $\xi^0=0$ のものを選ぶ。空間成分は

$$\frac{D^2\xi^i}{\mathrm{d} t^2}=R^i{}_{00j}\,c^2\,\xi^j=-c^2R^i{}_{0j0}\,\xi^j$$

である（(10.8) で後ろの2つを入れ替えた）。左辺の共変微分は、$\Gamma^i{}_{0j}=0$ と $\xi^0=0$ により、ポテンシャルの1次までは普通の時間微分に等しい。残る補正は $\Gamma^i{}_{00}\Gamma^0{}_{0j}$ の形で、ポテンシャルの2次である。(10.18) を使うと

$$\ddot\xi^i=-\sum_j\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\,\xi^j\tag{10.19}$$

となり、Newton の潮汐力 (10.11) に一致する。

点質量 $M$ のまわり（$\Phi=-GM/r$）では、次の潮汐がはたらく（第7章 §7.2）。

• 質量の方向には、$+2GM/r^3$ の引き伸ばし。
• 垂直な2方向には、$-GM/r^3$ の圧縮。

この引き伸ばしは、Schwarzschild 時空で厳密に計算しても、静止した観測者や中心へまっすぐ落ちる観測者に対して同じ $2GM/r^3$ の形で現れることが知られている（Schwarzschild 時空は第12章で扱う）。

確認テスト

オリジナル

1. 10.2-1 補題 10.5 の証明で、接続のねじれが無いことをどこで使ったかを指摘せよ。また、ねじれ

$$S^\rho{}_{\mu\sigma}=\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}$$

があるときの $D\xi^\rho/\mathrm{d}\tau-Du^\rho/\mathrm{d} s$ を求めよ。2. 10.2-2 地表（半径 $R_{\mathrm E}=6.371\times10^6\ \mathrm m$、重力加速度 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$）で、水平に 10 m 離れた2つの物体を同時に静かに放す。空気の抵抗は無視する。

1. (a) (10.19) と $\Phi=-GM/r$ から、2つの物体の間隔の加速度を求めよ。

2. (b) 2 s 後までに間隔が縮む量を求めよ。

3. 10.2-3 密度 $\rho$ が一様な球の内部では $\Phi=\frac{2\pi}{3}G\rho\,r^2+(\text{定数})$ である。

   1. (a) 球の内部で互いに静止して放した自由粒子の間隔が、どの向きにも同じ角振動数で振動することを (10.19) から示せ。
   2. (b) 地球の平均密度 $\rho=5514\ \mathrm{kg/m^3}$ のときの周期を求めよ。

4. 10.2-4 $M=10M_\odot$ のブラックホールに中心の方向へ落ちる、長さ 2 m の物体を考える。両端の加速度の差が地表の重力加速度の 10 倍（$98.1\ \mathrm{m/s^2}$）になる中心からの距離を求め、$r_{\mathrm s}$ の何倍かを答えよ。例題 10.2 の数値を使ってよい。