Einstein 方程式

相対論入門　第11章 §11.2　★★★ 恒等的に発散が0になる曲率の量は Einstein テンソルしかない。係数は Newton 極限で $8\pi G/c^4$ に決まる

方程式に求める条件

Poisson 方程式 (11.1) は、左辺がポテンシャルの2階微分、右辺が質量密度である。重力のポテンシャルの役をするのは計量 $g_{\mu\nu}$ であり（第9章 §9.2）、質量密度は $T^{00}\simeq\rho c^2$ の一部である。そこで、計量の方程式を

$$\mathcal G_{\mu\nu}=\kappa\,T_{\mu\nu}\tag{11.13}$$

の形に探す。$\kappa$ は定数で、$\mathcal G_{\mu\nu}$ は計量から作る量である。$\mathcal G_{\mu\nu}$ には次の4つを要求する。

1. (a) 対称な $(0,2)$ 型のテンソルである（右辺 $T_{\mu\nu}$ がそうなので）。
2. (b) 計量とその1階・2階の微分だけから作られ、2階微分については1次である（Poisson 方程式と同じ階数で、解が初期値で決まるようにするため）。
3. (c) 恒等的に $\nabla^\mu\mathcal G_{\mu\nu}=0$ を満たす（右辺が (11.4) を満たすので）。
4. (d) 平らな時空では 0 になる（物質が無ければ平らな時空が解になるように）。

(a) と (b) について調べる。第8章 §8.2 で示したように、各点で計量の1階微分はすべて 0 にでき、残る2階微分の組み合わせは Riemann テンソルにまとまる（第10章 §10.1）。したがって (a) と (b) を満たすテンソルは、Riemann テンソルの縮約で添字を2つ残すものに、計量を掛けたものの線形結合である。Riemann テンソルの対称性から、添字を2つ残す縮約は Ricci テンソル $R_{\mu\nu}$ だけ、スカラーは $R$ だけである。これに、2階微分を含まない $g_{\mu\nu}$ そのものを加えると、候補は

$$\mathcal G_{\mu\nu}=a\,R_{\mu\nu}+b\,g_{\mu\nu}R+\lambda\,g_{\mu\nu}\tag{11.14}$$

に限られる（$a,b,\lambda$ は定数）。4次元でこの候補のほかに (a)–(c) を満たすものが無いことは Lovelock の定理として知られている。証明は微分幾何の本に譲る。

縮約した Bianchi 恒等式と Einstein テンソル

条件 (c) を調べるには、第10章 §10.3 の縮約した Bianchi 恒等式を使う。第2 Bianchi 恒等式 $\nabla_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}+\nabla_\mu R^\rho{}_{\sigma\nu\lambda}+\nabla_\nu R^\rho{}_{\sigma\lambda\mu}=0$ を2回縮約すると

$$\nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac12\,\partial_\nu R\tag{11.15}$$

が得られる。また $\nabla g=0$ なので

$$\nabla^\mu(g_{\mu\nu}R)=\partial_\nu R,\qquad \nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$$

である。これらを (11.14) に当てはめると

$$\nabla^\mu\mathcal G_{\mu\nu}=\Bigl(\frac a2+b\Bigr)\partial_\nu R$$

となる。一般の計量では $\partial_\nu R\ne0$ なので、(c) が恒等的に成り立つためには $b=-a/2$ でなければならない。全体の定数倍は $\kappa$ に含められるので $a=1$ とし、

$$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}R\tag{11.16}$$

を Einstein テンソルと呼ぶ。(11.15) は $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ と同じ内容である。$\lambda g_{\mu\nu}$ の項は (c) を満たすが、(d) を満たさない。この項は §11.3 で別に扱い、この節では $\lambda=0$ とする。こうして

$$R_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}R=\kappa\,T_{\mu\nu}\tag{11.17}$$

が得られる。これが Einstein 方程式である。

トレースを反転した形

(11.17) の両辺に $g^{\mu\nu}$ を掛けて縮約する。$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$ なので $R-2R=\kappa T$、すなわち

$$R=-\kappa\,T\tag{11.18}$$

である。これを (11.17) に戻すと

$$R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}+\frac12g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}-\frac12\kappa g_{\mu\nu}T$$

より

$$R_{\mu\nu}=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}T\Bigr)\tag{11.19}$$

を得る。2つの形は同じ内容である。物質の無い所（$T_{\mu\nu}=0$）では (11.19) から

$$R_{\mu\nu}=0\tag{11.20}$$

となる。これが真空の Einstein 方程式で、第12章ではこれを球対称の場合に解いて Schwarzschild 解を得る。真空で 0 になるのは Ricci テンソルであって、Riemann テンソルではない。Riemann テンソルの20個の成分のうち Ricci テンソルの10個に入らない部分は真空でも残り、星のまわりの潮汐力（第10章 §10.2）を表す。

Newton 極限での係数合わせ

定数 $\kappa$ を、Newton の重力に戻る条件で決める。第9章 §9.2 と同じく、静的で弱い場と遅い物質を考える。物質は静止したダストで $P\ll\rho c^2$ とし、

$$u^\mu\simeq(c,\bm{0}),\qquad T_{00}\simeq\rho c^2,\qquad T\simeq\rho c^2$$

とする。$T_{\mu\nu}$ のほかの成分は $\rho c^2$ に比べて小さい。(11.19) の 00 成分は、$g_{00}\simeq1$ として

$$R_{00}\simeq\kappa\Bigl(\rho c^2-\frac12\rho c^2\Bigr)=\frac{\kappa\rho c^2}{2}\tag{11.21}$$

となる。

左辺の $R_{00}$ を計量から計算する。Ricci テンソルの定義と Riemann テンソルの式（第10章 §10.1）から

$$R_{00}=R^\rho{}_{0\rho0}=\partial_\rho\Gamma^\rho{}_{00}-\partial_0\Gamma^\rho{}_{\rho0}+\Gamma^\rho{}_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda{}_{00}-\Gamma^\rho{}_{0\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\rho0}$$

である。右辺の項を2つの理由で落とす。

• 弱い場では $\Gamma$ は計量のずれ $h_{\mu\nu}$ の1次の大きさである。$\Gamma\Gamma$ の項は2次なので無視する。
• 静的な場では $\partial_0$ の付いた項も消える。

残る項は $\partial_i\Gamma^i{}_{00}$ だけである。第9章 §9.2 で計算したように

$$\begin{aligned}\Gamma^i{}_{00}&=-\frac12g^{ij}\partial_jg_{00}\simeq\frac12\partial_ig_{00} &&\text{（$g^{ij}\simeq-\delta_{ij}$）}\\ &\simeq\frac{\partial_i\Phi}{c^2} &&\text{（$g_{00}=1+2\Phi/c^2$ を入れた）}\end{aligned}$$

である。したがって

$$R_{00}\simeq\sum_i\partial_i\Gamma^i{}_{00}=\frac{\nabla^2\Phi}{c^2}\tag{11.22}$$

となる。この計算には $g_{ij}$ のずれは入らない。

(11.21) と (11.22) を等しいと置くと $\nabla^2\Phi=\kappa\rho c^4/2$ で、これが Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ に一致するためには

$$\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}\tag{11.23}$$

でなければならない。以上をまとめて、Einstein 方程式は

$$R_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}\tag{11.24}$$

である。右辺の符号が $+$ であることは、引力（$\nabla^2\Phi>0$ で物質に向かって引かれる）に対応している。

方程式の数と座標の自由度

$g_{\mu\nu}$ も $T_{\mu\nu}$ も対称なので、(11.24) は10個の方程式である。求める計量の成分も10個ある。

しかし縮約した Bianchi 恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ は、10個の方程式のあいだの4個の恒等的な関係になっている。独立な方程式は6個しかない。

これは不足ではない。計量は座標を取り替えると変わり、4つの関数 $x'^\mu(x)$ の分だけの自由度は方程式では決まらない。この4つは、問題に合わせて座標を選ぶことで固定する。電磁気学で、4元ポテンシャル $A^\mu$ がゲージ変換の自由度を持ち、Maxwell 方程式がそれを決めないことと同じ事情である。

確認テスト

オリジナル

1. 11.2-1 Einstein 方程式 (11.17) から $R=-\kappa T$ と (11.19) を導け。真空では $R=0$ かつ $R_{\mu\nu}=0$ となることを確かめよ。
2. 11.2-2 原子核の密度 $\rho=2.3\times10^{17}\,\mathrm{kg/m^3}$ について、例題 11.2 の曲率の長さ $L$ を求めよ。この長さと中性子星の半径（およそ $10\,\mathrm{km}$）を比べて、中性子星の重力について何が言えるか述べよ。
3. 11.2-3 方程式を $R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ とした場合を考える。縮約した Bianchi 恒等式 (11.15) と $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ から、$T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ が時空のどこでも一定でなければならないことを示し、この方程式が星の内部と外部を同時に記述できない理由を述べよ。
4. 11.2-4 静止した完全流体（圧力 $P$ を無視しない）を源とする。(11.19) の 00 成分から $\nabla^2\Phi=4\pi G(\rho+3P/c^2)$ を導け。放射（$P=\rho c^2/3$）では、同じ $\rho$ のダストの何倍の重力を作るか。